目 錄
中譯本前言
英文版原序摘譯
第1章 線性代數(shù)和二次型 1
1.1 線性方程和線性變換 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 正交矢量組、完備性 3
1.1.3 線性變換、矩陣 4
1.1.4 雙線型、二次型和埃爾米特型 9
1.1.5 正交變換和復(fù)正交變換 12
1.2 含線性參數(shù)的線性變換 14
1.3 三次型和埃爾米特型的主軸變換 19
1.3.1 根據(jù)極太值原理作主軸變換 19
1.3.2 本征值 22
1.3.3 推廣于埃爾米特型 23
1.3.4 二次型的惰性定理 23
1.3.5 二次型的預(yù)解式的表示 24
1.3.6 與二次型相聯(lián)屬的線性方程組的解 25
1.4 本征值的極小極大性 26
1.4.1 用極小極大問(wèn)題表征本征值 26
1.4.2 應(yīng)用、約束 28
1.5 補(bǔ)充材料及問(wèn)題 29
1.5.1 線性獨(dú)立性及格拉姆行列式 29
1.5.2 行列式的阿達(dá)馬不等式 30
1.5.3 正則變換的廣義處理 31
1.5.4 無(wú)窮多個(gè)變數(shù)的變線型和二次型 34
1.5.5 無(wú)窮小線性變換 35
1.5.6 微擾 36
1.5.7 約束 38
1.5.8 矩陣或變結(jié)型的初等除數(shù) 38
1.5.9 復(fù)正交矩陣的譜 39
參考文獻(xiàn) 39
第2章 任意函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi) 41
2.1 正交函數(shù)組 41
2.1.1 定義 41
2.1.2 一組函數(shù)的正變化 43
2.1.3 貝塞爾不等式、完備性關(guān)系、平均逼近 43
2.1.4 無(wú)窮多個(gè)變數(shù)的正交變換和復(fù)正變變換 46
2.1.5 在多個(gè)自變數(shù)及更一般的假定下上述結(jié)果的正確性 47
2.1.6 多變數(shù)完備函數(shù)組的構(gòu)造 47
2.2 函數(shù)的聚點(diǎn)定理 48
2.2.1 函數(shù)空間的收斂性 48
2.3 獨(dú)立性測(cè)度和維數(shù) 51
2.3.1 獨(dú)立性測(cè)度 51
2.3.2 一函數(shù)序列的漸近維數(shù) 51
2.4魏爾斯特拉斯逼近定理、軍函數(shù)和三角函數(shù)的完備性 54
2.4.1 魏爾斯特拉斯逼近定理 54
2.4.2 推廣到多元函數(shù)的情形 56
2.4.3 函數(shù)及其微商同時(shí)用多項(xiàng)式逼近 57
2.4.4三角函數(shù)的完備性 57
2.5 傅里葉級(jí)數(shù) 58
2.5.1 基本定理的證明 58
2.5.2 重傅里葉級(jí)數(shù) 61
2.5.3 傅里葉系數(shù)的數(shù)量級(jí) 62
2.5.4基本區(qū)間長(zhǎng)度的更改 62
2.5.5 例子 62
2.6 儒里葉積分 64
2.6.1 基本定理 64
2.6.2 把上節(jié)結(jié)果推廣到多元函數(shù)的情形 66
2.6.3 互逆公式 67
2.7 傅里葉積分的例子 68
2.8 勒讓德多項(xiàng)式 69
2.8.1 從冪函數(shù)1，x，x2，...的正變化作出勒讓德多項(xiàng)式 69
2.8.2 母函數(shù) 71
2.8.3 勒讓德多項(xiàng)式的其他性質(zhì) 72
2.9 其他正交組的例子 73
2.9.1 導(dǎo)致勒讓德多項(xiàng)式的問(wèn)題的推廣 73
2.9.2 切比雪夫多項(xiàng)式 74
2.9.3 雅可比多項(xiàng)式 76
2.9.4 埃爾米特多項(xiàng)式 77
2.9.5 拉蓋爾多項(xiàng)式 79
2.9.6 拉蓋爾函數(shù)和埃爾米特函數(shù)的完備性 81
2.10 補(bǔ)充材料和問(wèn)題 82
2.10.1 等周問(wèn)題的赫爾維夜解 82
2.10.2 互逆公式 83
2.10.3 傅里葉積分和平均收斂性 84
2.10.4 由傅墾葉級(jí)數(shù)和積分所得的譜分解 85
2.10.5 稠密函數(shù)組 85
2.10.6 赫明茲關(guān)于事函數(shù)完備性的一個(gè)定理 86
2.10.7 費(fèi)耶求和定理 86
2.10.8 梅林反搞公式 87
2.10.9 吉布斯現(xiàn)象 89
2.10.10 關(guān)于格拉姆行列式的一個(gè)定理 91
2.10.11 勒貝格積分的應(yīng)用 92
參考文獻(xiàn) 93
第3章 線性積分方程 95
3.1 引論 95
3.1.1 符號(hào)和基本概念 95
3.1.2 以積分表示的函數(shù) 96
3.1.3 退化核 97
3.2 退化核的弗雷德霍姆定理 97
3.3 對(duì)任意核的弗雷德霍姆定理 100
3.4對(duì)稱核及其本征值 103
3.4.1 對(duì)稱核的本征值的存在性 103
3.4.2 本征函數(shù)和本征值的全體 106
3.4.3 本征值的極大報(bào)小性質(zhì) 110
3.5 展開(kāi)定理及其應(yīng)用 112
3.5.1 展開(kāi)走理 112
3.5.2 非齊次線性積分方程的解 113
3.5.3 累次核的雙線公式 114
3.5.4 Mercer定理 116
3.6 諾伊曼級(jí)數(shù)和預(yù)解核 117
3.7 弗雷德霍姆公式 119
3.8 積分方程理論的另一推導(dǎo) 123
3.8.1 一個(gè)引理 123
3.8.2 對(duì)稱核的本征函數(shù) 124
3.8.3 非對(duì)稱核 125
3.8.4 本征值和本征函數(shù)對(duì)核的連續(xù)依賴性 126
3.9 本理論的推廣 126
3.10 補(bǔ)充材料和問(wèn)題 127
3.10.1 問(wèn)題 127
3.10.2 奇異積分方程 128
3.10.3 依施密特關(guān)于弗雷德霍姆定理的推導(dǎo) 129
3.10.4 解對(duì)稱積分方程的凰斯庫(kù)格法 129
3.10.5 決定本征函數(shù)的凱格格法 130
3.10.6 核的形式函數(shù)及其本征值 130
3.10.7 沒(méi)有本征函數(shù)的一個(gè)非對(duì)稱核例子 131
3.10.8 沃爾泰拉積分方程 131
3.10.9 阿貝爾積分方程 131
3.10.10 屬于一非對(duì)稱核的共輒正變組 132
3.10.11 第一類積分方程 132
3.10.12 無(wú)窮多變數(shù)法 133
3.10.13 本征函數(shù)的極小性 134
3.10.14 極性積分方程 134
3.10.15 可對(duì)稱化的核 134
3.10.16 由函數(shù)方程決定預(yù)解核 134
3.10.17 正(負(fù))定核的連續(xù)性 135
3.10.18 哈默斯坦定理 135
參考文獻(xiàn) 135
第4章 變分法 137
4.1 變分法的問(wèn)題 137
4.1.1 函數(shù)的極大和極小 137
4.1.2 泛函 139
4.1.3 變分法的典型問(wèn)題 140
4.1.4 變分法特有的困難 143
4.2 直接解 144
4.2.1 等用問(wèn)題 144
4.2.2 瑞利里茨方法、極小化序列 144
4.2.3 其他直接方法、有限差法、無(wú)窮多個(gè)變數(shù)法 145
4.2.4 關(guān)于變分直接方法的一般討論 149
4.3 歐拉方程 151
4.3.1 變分法中最簡(jiǎn)單的問(wèn)題 151
4.3.2 多個(gè)未知函數(shù)的問(wèn)題 153
4.3.3 高階微商的出現(xiàn) 155
4.3.4 多個(gè)自變數(shù)的情形 156
4.3.5 歐拉微分式之恒等于零 158
4.3.6 齊次形的歐拉方程 160
4.3.7 條件的放寬、杜布瓦雷蒙和哈爾定理 163
4.3.8 變分問(wèn)題和函數(shù)方程 167
4.4 歐拉微分方程的積分168
4.5 邊界條件 169
4.5.1 自由邊界的自然邊界條件 170
4.5.2 幾何問(wèn)題、橫交條件 172
4.6 二級(jí)變分及勒讓德條件 174
4.7 帶附加條件的變分問(wèn)題 176
4.7.1 等周問(wèn)題 176
4.7.2 有限附加條件 178
4.7.3 微分方程作為附加條件 180
4.8 歐拉方程的不變性 181
4.8.1 歐拉式作為函數(shù)空間的梯度、歐拉式的不變性 181
4.8.2 u的變換、球坐標(biāo) 183
4.8.3 橢球坐標(biāo) 184
4.9 變分問(wèn)題之變換為正則形和回轉(zhuǎn)形 188
4.9.1 在附加條件下通常極小問(wèn)題的變換 188
4.9.2 最簡(jiǎn)單的一些變分問(wèn)題的回轉(zhuǎn)變換 190
4.9.3 變分問(wèn)題向正則形的變換 194
4.9.4 推廣 195
4.10 變分法和數(shù)學(xué)物理微分方程 197
4.10.1 一般的討論 197
4.10.2 振動(dòng)的弦和振動(dòng)的桿 199
4.10.3 膜與板 200
4.11 互逆二次變分問(wèn)題 204
4.12 補(bǔ)充材料和練習(xí) 209
4.12.1 一給定微分方程的變分問(wèn)題 209
4.12.2 等周問(wèn)題的可逆性 209
4.12.3 圓形光線 209
4.12.4 代多問(wèn)題 209
4.12.5 空間問(wèn)題的例 209
4.12.6 示性曲線及其應(yīng)用 210
4.12.7 變動(dòng)的區(qū)域 211
4.12.8 諾特關(guān)于不變變分問(wèn)題的定理、質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題中的積分 213
4.12.9 重積分的橫交條件 216
4.12.10 曲面上的歐拉徽分式 217
4.12.11 靜電學(xué)中的湯姆生原理 217
4.12.12 彈性體的平衡問(wèn)題、卡斯泰爾諾沃原理 218
4.12.13 翹曲的變分問(wèn)題 221
參考文獻(xiàn) 223
第5章 振動(dòng)和本征值問(wèn)題 224
5.1 線性微分方程述引 224
5.1.1 疊加原理 224
5.1.2 齊次和非齊次問(wèn)題、邊界條件 225
5.1.3 形式關(guān)系、伴隨微分式、格林公式 226
5.1.4 結(jié)性函數(shù)方程線性方程組的類似和極限情形 228
5.2 有限自由度的系統(tǒng) 228
5.2.1 簡(jiǎn)正形振動(dòng)、簡(jiǎn)正坐標(biāo)、運(yùn)動(dòng)的普遍理論 229
5.2.2 振動(dòng)系統(tǒng)的一般性質(zhì) 232
5.3 弦的振動(dòng) 232
5.3.1 均勻弦的自由運(yùn)動(dòng) 233
5.3.2 受迫振動(dòng) 235
5.3.3 一般的不均勻的弦和施圈姆-劉維爾本征值問(wèn)題 236
5.4 桿的振動(dòng) 239
5.5 膜的振動(dòng) 241
5.5.1 關(guān)于均勻膜的一般本征值問(wèn)題 241
5.5.2 受迫運(yùn)動(dòng) 242
5.5.3 節(jié)錢 243
5.5.4矩形膜 243
5.5.5 圓形膜、貝塞爾函數(shù) 245
5.5.6 不均勻的膜 247
5.6 板的振動(dòng) 248
5.6.1 概述 248
5.6.2 圓形邊界 248
5.7 關(guān)于本征函數(shù)法的一般性問(wèn)題 249
5.7.1 振動(dòng)及平衡問(wèn)題 249
5.7.2 熱傳導(dǎo)及本征值問(wèn)題 252
5.8 三維連續(xù)體的振動(dòng)、分離變數(shù)法 253
5.9 本征函數(shù)和勢(shì)論中的邊值問(wèn)題 254
5.9.1 圓、球、球殼 254
5.9.2 柱形區(qū)域 257
5.9.3 拉梅問(wèn)題 257
5.10 施圖姆-劉維爾型問(wèn)題、奇異邊界點(diǎn) 261
5.10.1 貝塞爾函數(shù) 261
5.10.2 任意階的勒讓德函數(shù) 262
5.10.3 雅可比及切比雪夫多項(xiàng)式 264
5.10.4 埃爾米特及拉蓋爾多項(xiàng)式 264
5.11 施圖姆-劉維爾方程解的漸近行為 266
5.11.1 當(dāng)自變數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)解的有界性 267
5.11.2 更確切一點(diǎn)的結(jié)果(貝塞爾函數(shù)) 267
5.11.3 當(dāng)參數(shù)增末時(shí)的有界性 269
5.11.4 解的漸近表示 270
5.11.5 施圖姆-劉維爾本征函數(shù)的漸近表示271
5.12 具有連續(xù)譜的本征值問(wèn)題 273
5.12.1 三角函數(shù) 274
5.12.2 貝塞爾函數(shù) 274
5.12.3 無(wú)窮平面的膜振動(dòng)方程的本征值問(wèn)題 274
5.12.4 薛定詩(shī)本征值問(wèn)題 275
5.13 微擾理論 277
5.13.1 單重本征值 277
5.13.2 重本征值 279
5.13.3 轍擾理論的一例 281
5.14 格林函數(shù)(影響函數(shù))及化微分方程為積分方程 282
5.14.1 格林函數(shù)及常微分方程的邊值問(wèn)題 283
5.14.2 格林函數(shù)的構(gòu)造、廣義格林函數(shù) 285
5.14.3 微分方程和積分方程的等價(jià) 288
5.14.4 高階常微分方程 290
5.14.5 偏微分方程 292
5.15 格林函數(shù)的例子 297
5.15.1 常微分方程 297
5.15.2 對(duì)圓和球u的格林函數(shù) 302
5.15.3 格林函數(shù)和保角映射 302
5.15.4 在球面上的勢(shì)方程的格林畫數(shù) 303
5.15.5 直角平行六面體中u=0的格林函數(shù) 303
5.15.6 矩形內(nèi)u的梅林函數(shù) 308
5.15.7 圓形環(huán)的格林函數(shù) 310
5.16 補(bǔ)充材料 311
5.16.1 弦振動(dòng)的例子 311
5.16.2 自由懸掛的繩的振動(dòng)、貝塞爾函數(shù) 313
5.16.3 振動(dòng)方程明顯解的例子、橢圓柱函數(shù) 314
5.16.4 含有參數(shù)的邊界條件 315
5.16.5 微分方程組的格林張量 315
5.16.6 方程u+加=0解的解析延拓 316
5.16.7 關(guān)于A也+加=0解的節(jié)緝的定理 317
5.16.8 無(wú)窮重?cái)?shù)的本征值的例 317
5.16.9 展開(kāi)定理的有效范圍 317
參考文獻(xiàn) 317
第6章 變分法在本征值問(wèn)題上的應(yīng)用 319
6.1 本征值的極值性質(zhì) 319
6.1.1 經(jīng)典的極值性質(zhì) 319
6.1.2 推廣 322
6.1.3 當(dāng)區(qū)域具有分隔組成部分時(shí)的本征值問(wèn)題 325
6.1.4 本征值的極大-極小性質(zhì) 325
6.2 由本征值的極值性質(zhì)所得的一般結(jié)論 326
6.2.1 一般定理 326
6.2.2 本征值的無(wú)限增大 330
6.2.3 施圖姆劉維爾問(wèn)題中本征值的漸近性質(zhì) 331
6.2.4 奇異微分方程 332
6.2.5 關(guān)于本征值增大的進(jìn)一步討論、負(fù)本征值的出現(xiàn) 333
6.2.6 本征值的連續(xù)性 335
6.3 完備性和展開(kāi)定理 339
6.3.1 本征畫數(shù)的完備性 339
6.3.2 展開(kāi)定理 341
6.3.3 展開(kāi)走理的推廣 342
6.4 本征值的漸近分布 343
6.4.1 在矩形上的方程 344
6.4.2 在有限多個(gè)方形或立方體所作成的區(qū)輯上的方程 345
6.4.3 把結(jié)果推廣于一般的微分方程 347
6.4.4 對(duì)任意區(qū)域本征值的漸近分布 349
6.4.5 對(duì)微分方程而言本征值的漸近分布規(guī)律較精確的形式 354
6.5 薛定誨型的本征值問(wèn)題 355
6.6 本征函數(shù)的節(jié) 360
6.7 補(bǔ)充材料和問(wèn)題 364
6.7.1 本征值的極小性質(zhì)、由完備性所作的推導(dǎo) 364
6.7.2 用沒(méi)有節(jié)這個(gè)性質(zhì)來(lái)刻畫第一個(gè)本征函數(shù) 365
6.7.3 本征值的另外一些極小性質(zhì) 366
6.7.4 本征值的漸近分布 367
6.7.5 雙參數(shù)本征值問(wèn)題 367
6.7.6 包含參數(shù)的邊界條件 367
6.7.7 閉曲面的本征值問(wèn)題 368
6.7.8 當(dāng)杳奇點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)本征值的估計(jì) 368
6.7.9 暖和膜的極小定理 369
6.7.10 雙質(zhì)量分布的極小問(wèn)題 369
6.7.11 施圄姆-劉維爾問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)、極大-極小原理 369
參考文獻(xiàn) 370
第7章 本征值問(wèn)題所定義的特殊函數(shù) 372
7.1 線性二階微分方程的初步討論 372
7.2 貝塞爾函數(shù) 373
7.2.1 積分變換的應(yīng)用 373
7.2.2 漢克爾函數(shù) 374
7.2.3 貝塞爾函數(shù)和諾伊曼函數(shù) 376
7.2.4 貝塞爾函數(shù)的積分表示式 378
7.2.5 漢克爾函數(shù)和貝塞爾函數(shù)的另一積分表示式 380
7.2.6 貝塞爾函數(shù)的事級(jí)數(shù)展開(kāi) 385
7.2.7 各貝塞爾函數(shù)閘的關(guān)系 388
7.2.8 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn) 394
7.2.9 諾伊曼函數(shù) 397
7.3 勒讓德函數(shù) 401
7.3.1 施拉夫利積分 401
7.3.2 拉普拉斯的積分表示式 403
7.3.3 第二類勒讓德函數(shù) 403
7.3.4 聯(lián)屬勒讓德畫數(shù)(高階勒讓德函數(shù)) 404
7.4 應(yīng)用積分變換方法于勒讓德、切比雪夫、埃爾米特及拉蓋爾方程 405
7.4.1 勒讓德函數(shù) 405
7.4.2 切比雪夫函數(shù) 406
7.4.3 埃爾米特函數(shù) 407
7.4.4 拉蓋爾函數(shù) 408
7.5 拉普拉斯球面調(diào)和函數(shù) 409
7.5.1 2n+1個(gè)π階球面調(diào)和函數(shù)的確定 409
7.5.2 函數(shù)組的完備性410
7.5.3 展開(kāi)走理 410
7.5.4 泊松積分 411
7.5.5 麥克斯韋一西爾維斯特的球面調(diào)和函數(shù)表示式 412
7.6 漸近展開(kāi) 417
7.6.1 斯特林公式 417
7.6.2 當(dāng)變量值大時(shí)漢克爾和貝塞爾函數(shù)的漸近計(jì)算 419
7.6.3 馬鞍點(diǎn)法 421
7.6.4 應(yīng)用馬鞍點(diǎn)法計(jì)算太參量和太變量的漢克爾函數(shù)和貝塞爾函數(shù) 422
7.6.5 馬鞍點(diǎn)法的一般討論 426
7.6.6 達(dá)布方法 426
7.6.7 應(yīng)用達(dá)布方法于勒讓德多項(xiàng)式的漸近展開(kāi) 427
7.7 附錄：球面調(diào)和函數(shù)的變換 429
7.7.1 導(dǎo)言及符號(hào) 429
7.7.2 正變變換 429
7.7.3 球面調(diào)和函數(shù)的一個(gè)母函數(shù) 432
7.7.4 變換公式 434
7.7.5 直角坐標(biāo)下的表示式 435
附加參考文獻(xiàn) 438
索引 443