目 錄
第一章 方程的推導(dǎo)和定解條件………………………………………………… 1
1.1 弦振動(dòng)方程和定解條件 …………………………………………… 1
1.2 薄膜的振動(dòng)和定解條件 …………………………………………… 7
1.3 熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程…………………………………………… 11
1.4 電報(bào)方程…………………………………………………………… 15
1.5 流體力學(xué)方程和聲波方程………………………………………… 18
1.6 彈性波方程………………………………………………………… 22
1.7 靜電場(chǎng)……………………………………………………………… 30
1.8 穩(wěn)定電流的電場(chǎng)…………………………………………………… 34
1.9 穩(wěn)定電流形成的磁場(chǎng)……………………………………………… 38
1.10 交變電磁場(chǎng)和 Maxwell方程組 ………………………………… 42
習(xí)題一 ……………………………………………………………………… 50
第二章 波動(dòng)方程 ……………………………………………………………… 53
2.1 行波法解一維齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題………………………… 53
2.2 非齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題的解和Duhamel原理 ……………… 63
2.3 直接積分法解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題………………………… 67
2.4 特征線(xiàn)法解波動(dòng)方程的初值問(wèn)題………………………………… 71
2.5 Fourier積分變換法解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題 ……………… 75
2.6 Laplace變換解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題 ……………………… 79
*2.7 周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi) …………………………………… 83
2.8 分離變量法解一維波動(dòng)方程的混合初值、邊值問(wèn)題 …………… 94
習(xí)題二……………………………………………………………………… 110
第三章 二、三維空間中的波動(dòng)方程 ………………………………………… 115
3.1 二、三維空間中波動(dòng)方程初值問(wèn)題的解………………………… 115
3.2 非齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題的解 ………………………………… 125
*3.3 Fourier積分變換法解三維空間波動(dòng)方程初值問(wèn)題…………… 126
3.4 點(diǎn)源輻射解及在解波動(dòng)方程初值問(wèn)題中的應(yīng)用 ……………… 131
3.5 波動(dòng)方程初值問(wèn)題和混合初值、邊值問(wèn)題解的唯一性………… 137
習(xí)題三……………………………………………………………………… 146
第四章 熱傳導(dǎo)方程…………………………………………………………… 149
4.1 Fourier積分變換解熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題…………………… 149
4.2 Fourier正弦或余弦變換解半無(wú)限區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程的
混合初值、邊值問(wèn)題……………………………………………… 155
4.3 有限區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的混合初值、邊值問(wèn)題………………… 168
4.4 Laplace變換解有限區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的混合初值、邊值
問(wèn)題 ……………………………………………………………… 170
*4.5 一維熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題的周期解 …………………………… 176
4.6 熱傳導(dǎo)方程解的最大值原理和唯一性定理 …………………… 179
習(xí)題四……………………………………………………………………… 181
第五章 調(diào)和方程……………………………………………………………… 185
5.1 分離變量法解圓域上調(diào)和方程的Dirichlet問(wèn)題 ……………… 185
5.2 Fourier積分變換解半平面上調(diào)和方程邊值問(wèn)題……………… 194
5.3 調(diào)和函數(shù)的積分表示式 ………………………………………… 195
5.4 Green函數(shù)和Poisson公式……………………………………… 201
5.5 Green函數(shù)的性質(zhì) ……………………………………………… 208
5.6 調(diào)和方程第二、第三邊值問(wèn)題…………………………………… 214
5.7 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) ………………………………………………… 219
習(xí)題五……………………………………………………………………… 225
第六章 二階線(xiàn)性偏微分方程概論…………………………………………… 228
6.1 基本概念 ………………………………………………………… 228
6.2 二階方程的分類(lèi) ………………………………………………… 230
6.3 二階方程的特征理論 …………………………………………… 239
6.4 推廣的Green公式及應(yīng)用 ……………………………………… 248
6.5 三類(lèi)方程的總結(jié) ………………………………………………… 258
習(xí)題六……………………………………………………………………… 264
附錄1 Fourier變換與Laplace變換 ………………………………………… 266
附錄2 Fourier變換與Laplace變換簡(jiǎn)表 …………………………………… 277
附錄3 函數(shù) ………………………………………………………………… 280
習(xí)題參考答案 ………………………………………………………………… 285
參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………… 301