隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，不適定問題的有效求解在地質(zhì)勘探、遙測遙感、圖像處理、深度學(xué)習(xí)等領(lǐng)域發(fā)揮著日益重要的作用。所謂不適定問題，是指由于客觀條件的限制，待求解問題解的存在性、唯一性或者穩(wěn)定性難以保證。由于工程應(yīng)用中的輸入數(shù)據(jù)總是帶有誤差的，不適定問題穩(wěn)定性的恢復(fù)，對求解實際應(yīng)用問題具有特別重要的意義。
在本書前五章，我們系統(tǒng)闡述了求解不適定問題的正則化方法，第3章和第4章是關(guān)于線性不適定問題的求解，第5章是關(guān)于非線性不適定問題的求解。在第6章，我們研究了用正則化方法求解幾類重要的應(yīng)用問題，分別是慢擴(kuò)散過程的逆時問題、圖像處理、非局部輸入數(shù)據(jù)的非線性反問題、介質(zhì)逆散射問題和分?jǐn)?shù)階微分方程多參數(shù)重建，反映了作者和其研究團(tuán)隊近三十年來的主要研究工作。
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目錄
《信息與計算科學(xué)叢書》序
前言
第1章 適定問題和不適定問題 1
1.1 物理問題的描述方法 1
1.2 問題適定性 2
1.3 反問題和不適定問題 2
1.4 反問題和氣候數(shù)值預(yù)報 4
1.5 不適定問題的例子及難點 5
1.6 輸入數(shù)據(jù)和模型的完全匹配 15
第2章 預(yù)備理論 23
2.1 賦范空間若干結(jié)果 23
2.2 有界算子和緊算子 26
2.3 Riesz理論和Fredholm理論 30
2.4 線性積分算子 34
2.5 緊算子的譜理論 42
第3章 線性不適定問題的正則化方法 52
3.1 一般的正則化理論 52
3.2 允許的α=α（δ）的取法 57
3.3 q（α，μ）的取法 60
3.4 Tikhonov正則化方法 62
3.5 擬解和相容性原理 72
3.6 Landweber迭代正則化 84
3.7 條件穩(wěn)定性和正則化參數(shù)選取 94
3.8 線性反問題正則化參數(shù)的迭代選取 97
3.9 求正則化參數(shù)的模型函數(shù)方法 104
3.10 兩類正則化方法的比較 111
3.11 線性不適定問題Tikhonov正則化方法的推廣 116
第4章 離散化的正則化方法 119
4.1 一般的投影方法 119
4.2 Galerkin方法 129
4.3 配置方法 134
4.4 投影方法的應(yīng)用 139
4.4.1 Laplace方程邊值問題的勢函數(shù)解法 140
4.4.2 Galerkin方法解 Symm方程 144
4.4.3 配置方法解Symm方程 146
4.4.4 解Symm方程的數(shù)值實驗 152
第5章 非線性不適定問題的正則化方法 156
5.1 Tikhonov正則化 156
5.2 梯度方法 164
5.2.1 非線性Landweber迭代 164
5.2.2 最速下降法和最小誤差法 172
5.2.3 Hilbert尺度下的Landweber迭代 176
5.2.4 迭代正則化Landweber方法 179
5.3 Newton型方法 190
5.3.1 Levenberg-Marquardt方法 190
5.3.2 迭代正則化Gauss-Newton方法 197
第6章 正則化方法應(yīng)用 201
6.1 擴(kuò)散過程的逆時問題 201
6.1.1 逆時熱傳導(dǎo)問題不適定性 202
6.1.2 逆時問題的正則化方法 206
6.1.3 二維逆時問題數(shù)值結(jié)果 212
6.1.4 一維逆時問題數(shù)值結(jié)果 217
6.2 時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)偏微分方程的逆時問題 227
6.2.1 基于方程修正的正則化策略 228
6.2.2 正則化解的收斂性 232
6.2.3 數(shù)值實驗 241
6.2.4 圖像去模糊的慢擴(kuò)散過程逆時問題模型 246
6.2.5 基于有限項級數(shù)展開的正則化策略 248
6.2.6 圖像去模糊的數(shù)值實驗 254
6.3 數(shù)值微分問題 256
6.3.1 樣條插值方法 256
6.3.2 光滑化方法 266
6.3.3 積分算子方法 271
6.4 聲波逆散射問題的正則化求解 275
6.4.1 波場的散射問題 275
6.4.2 由遠(yuǎn)場近似數(shù)據(jù)求散射波近場正則化方法 279
6.4.3 數(shù)值實驗 284
6.4.4 求散射場的近似模型函數(shù)方法 289
6.5 基本解的Runge逼近 297
6.5.1 Helmholtz方程基本解的 Runge 逼近 297
6.5.2 逼近的數(shù)值實現(xiàn) 300
6.5.3 位勢函數(shù)的離散計算公式 302
6.6 圖像處理中的正則化方法 309
6.6.1 圖像光滑化的模擬 309
6.6.2 頻域上不完備數(shù)據(jù)的離散圖像恢復(fù)模型 311
6.6.3 循環(huán)嵌套的交替迭代格式 314
6.6.4 迭代格式的收斂性 321
6.6.5 數(shù)值模擬 326
6.7 非局部數(shù)據(jù)作為反演輸入的Robin系數(shù)重建 334
6.7.1 反問題的唯一性和穩(wěn)定性 334
6.7.2 優(yōu)化方案和收斂性 340
6.7.3 優(yōu)化問題的迭代方案及數(shù)值實驗 344
6.8 時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散系統(tǒng)邊界阻尼系數(shù)和內(nèi)部源項的同時重建 350
6.8.1 反問題解的唯一性 351
6.8.2 正則化解的誤差估計 353
6.8.3 正則化反演方案和數(shù)值實驗 363
6.9 分層介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程反邊值問題 372
6.9.1 反問題的重建方法 374
6.9.2 數(shù)值計算方案 380
6.9.3 數(shù)值例子 386
6.10 一類具有廣義斜導(dǎo)數(shù)邊界條件的逆散射問題 389
6.10.1 正散射問題解的唯一性和存在性 390
6.10.2 逆散射問題解的唯一性 395
6.10.3 逆散射問題的線性采樣法 399
6.10.4 數(shù)值實驗 405
參考文獻(xiàn) 411
索引 423
《信息與計算科學(xué)叢書》已出版書目 425
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