Calabi�瞃au三角范疇中扭對的分類及其應用前言前言扭理論作為t�步Y構與叢傾斜子范疇的推廣，是代數表示論中一個重要的研究課題，也是代數和幾何領域一類重要的研究對象。它在幫助我們理解三角范疇的代數結構和幾何結構方面起到重要的作用，因而對三角范疇中的扭對進行分類具有重要的意義。本書圍繞有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇這三類特殊的三角范疇展開闡述，利用幾何模型，用組合理論的方法研究三角范疇中的扭對分類及其應用。本書可供從事代數表示論領域的科研人員了解三角范疇、AR箭圖、扭理論、特殊三角范疇(包括有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇)的幾何模型等，以及扭對分類的方法及其應用。本書共分為9章，第1章為扭理論簡介，主要介紹扭理論的研究背景和研究扭理論的意義，并介紹了有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇的研究現狀和趨勢。第2章給出本書需要用到的一些基本的定義和結果。我們主要回顧一些關于加法范疇、阿貝爾范疇、三角范疇的預備知識，給出扭理論、叢結構、有限2�睠alabi�瞃au三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇的相關概念和主要結果，同時介紹了本書一些常用的記號，為后面章節(jié)的學習做鋪墊。第3章介紹有限2�睠alabi�瞃au三角范疇中的扭理論及其應用，主要研究An,t和Dn,t(帶極大剛性對象而非叢傾斜對象的有限2�睠alabi�瞃au三角范疇)中扭對的幾何刻畫，計算出扭對的個數，并且將所有扭對的heart進行分類。另外，我們研究了An,t和Dn,t中不可分解剛性對象的性質，分別定義了An,t和Dn,t上叢復形(cluster complex)的概念，證明了存在從An,t和Dn,t的叢復形到Bn型根系的叢復形的同構。在這個同構下，An,t和Dn,t中極大剛性對象對應到Bn型根系的極大相容子集。其中包含我們已經發(fā)表的文章中的結論。第4章重點介紹高階叢范疇中的扭理論及其應用，包含A型高階叢范疇和D型高階叢范疇。對于A型m�矃卜懂�，我們利用其幾何模型，將余扭對完全分類。當m=1時，該結論推廣了Holm�睯�irgensen�睷ubey關于經典A型叢范疇上扭對的分類。同樣的，對于D型m�矃卜懂牐�我們利用其幾何模型，將m為奇數時的D型m�矃卜懂犞械呐�對完全分類。當m為偶數時，仍然是一個開放的問題，目前還沒有相應扭對分類的結果。第5章介紹高階叢范疇中扭對分類的應用，在第4章扭對分類完成的基礎上，將A型和D型高階叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類(注意對于D型，仍然只能將m為奇數時的D型m�矃卜懂犞械母唠A剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類)。回到經典叢范疇中，該結論包含了m=1時經典叢范疇中扭對分類的結果。第6章重點介紹A型叢范疇。我們研究A型叢范疇的幾何模型，在其幾何模型上定義A型的Ptolemy圖，利用該幾何模型，給出A型叢范疇上余扭對的完全分類。利用該結論，得到了A型叢范疇中函子有限子范疇、叢傾斜子范疇和t�步Y構以及t�步Y構heart的分類。第7章給出離散型D型無窮叢范疇的幾何模型，以及包含n個極限點的D型無窮叢范疇和完備化的D型無窮叢范疇的實現，考慮了D型無窮叢范疇中弱叢傾斜子范疇的幾何刻畫，為研究離散型D型無窮叢范疇中扭對的分類及其應用提供可行性分析。最后，給出了一個弱叢結構的猜想，留給感興趣的讀者。第8章總結了三角范疇中Grothendieck群常見的計算方法，與扭對分類之間的關系，利用叢傾斜子范疇計算Grothendieck群的技巧等。給出有限叢范疇，包括A型、D型和E型的Grothendieck群，高階叢范疇包括A型和D型的Grothendieck群，以及A型無窮叢范疇Grothendieck群的計算。第9章總結了前面的主要工作，對于目前的研究趨勢進行了展望。對于三角范疇中扭對分類的研究，正在向無窮方向發(fā)展：一方面是將無窮Dynkin型叢范疇得以實現，并研究其相關代數和幾何性質；另一方面是將無窮叢范疇一般化，研究高階無窮叢范疇的代數性質和幾何結構。未來在這些無窮叢范疇的研究中，扭理論可能發(fā)揮著重要的作用。本書是作者在近幾年科研工作和博士研究的基礎上編寫而成的，感謝國家開放大學的支持和博士生導師朱彬教授的指導和幫助。由于作者水平有限，時間緊張，書中難免出現疏漏，希望讀者提出寶貴的意見，甚為感謝。著者2023年5月