本書是作者根據(jù)多年從事高等代數(shù)與解析幾何課程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)編寫而成的, 在編寫中盡量站在學(xué)生的角度來合理地安排全書的結(jié)構(gòu)體系, 將二次型及 其矩陣的特征值這一歷史上的經(jīng)典問題作為引入整個(gè)課程內(nèi)容的一條敘述主 線, 真正將高等代數(shù)與解析幾何有機(jī)地結(jié)合起來, 相得益彰. 本書對每一個(gè)重 要概念都盡可能地給出要引入的理由, 努力講清楚抽象概念和理論的內(nèi)涵(包括其思想來源與相關(guān)的幾何意義等), 特別是對線性空間和線性變換這兩個(gè)中 心概念就更是如此. 本書還比較細(xì)致地解說了各個(gè)主要定理的推理步驟, 并安 排了不少典型的例題和習(xí)題來指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用這些定理.
本書分上、下兩冊. 上冊主要內(nèi)容包括: 空間向量、平面與直線、矩陣 初步與 n 階行列式、矩陣的秩與線性方程組、多項(xiàng)式、矩陣的相似與若爾 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.
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目錄
前言
第1章 空間向量、平面與直線 1
1.1 二階與三階行列式 1
1.1.1 二階行列式 1
1.1.2 三階行列式 4
1.1.3 三元齊次線性方程組 10
習(xí)題1.1 11
1.2 空間向量的線性運(yùn)算 12
1.2.1 空間向量的加法與數(shù)乘 12
1.2.2 向量共線的條件 15
1.2.3 向量共面的條件 16
習(xí)題1.2 18
1.3 內(nèi)積 20
1.3.1 內(nèi)積及其主要性質(zhì) 20
1.3.2 投影向量 23
習(xí)題1.3 25
1.4 外積與混合積 26
1.4.1 外積的定義與計(jì)算公式 26
1.4.2 外積的主要用途 28
1.4.3 混合積 30
1.4.4 雙重外積 32
習(xí)題1.4 34
1.5 平面方程 35
1.5.1 平面方程的計(jì)算 35
1.5.2 平面束方法 39
1.5.3 點(diǎn)到平面的距離公式 40
1.5.4 平面作圖 42
習(xí)題1.5 45
1.6 空間直線 46
1.6.1 直線標(biāo)準(zhǔn)方程的計(jì)算 46
1.6.2 空間直線的異面與相交 50
1.6.3 點(diǎn)到空間直線的距離公式 53
習(xí)題1.6 54
第2章 矩陣初步與n階行列式 56
2.1 高斯消元法 56
2.1.1 數(shù)域和數(shù)學(xué)歸納法 56
2.1.2 高斯消元法中的初等變換 58
2.1.3 解線性方程組時(shí)遇到的三種情況 60
2.1.4 對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換 63
2.1.5 線性方程組的求解定理 68
習(xí)題2.1 70
2.2 矩陣的運(yùn)算 71
2.2.1 各種特殊矩陣 72
2.2.2 矩陣的加法和數(shù)乘 74
2.2.3 矩陣的乘法 76
2.2.4 矩陣乘法的性質(zhì) 81
習(xí)題2.2 87
2.3 矩陣的轉(zhuǎn)置與分塊 89
2.3.1 矩陣的轉(zhuǎn)置 89
2.3.2 分塊矩陣 92
習(xí)題2.3 96
2.4 方陣的逆矩陣 97
2.4.1 逆矩陣的概念和性質(zhì) 97
2.4.2 初等矩陣 102
2.4.3 用初等變換求逆矩陣 109
習(xí)題2.4 113
2.5 方陣的行列式 115
2.5.1 n階行列式的定義 116
2.5.2 n階行列式的性質(zhì) 124
2.5.3 行列式的完全展開式 134
習(xí)題2.5 138
2.6 行列式的應(yīng)用 141
2.6.1 方陣乘積的行列式 141
2.6.2 用伴隨矩陣表示逆矩陣 145
2.6.3 n元線性方程組的克拉默法則 150
習(xí)題2.6 153
第3章 矩陣的秩與線性方程組 155
3.1 n維向量空間Fn中向量組的線性相關(guān)性 155
3.1.1 n維向量空間 156
3.1.2 Fn中向量的線性表出 157
3.1.3 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 160
3.1.4 關(guān)于線性相關(guān)性的幾個(gè)基本定理 165
習(xí)題3.1 169
3.2 向量組的秩與矩陣的秩 171
3.2.1 向量組的線性表出 172
3.2.2 極大無關(guān)組與向量組的秩 174
3.2.3 矩陣的秩 179
3.2.4 矩陣秩的行列式判別法 183
習(xí)題3.2 185
3.3 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 187
3.3.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 187
3.3.2 運(yùn)用齊次線性方程組來證明矩陣秩的性質(zhì) 191
3.3.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 192
習(xí)題3.3 197
3.4 分塊矩陣方法的進(jìn)一步運(yùn)用 200
3.4.1 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 200
3.4.2 分塊矩陣的初等變換 205
3.4.3 分塊矩陣的行列式 209
習(xí)題3.4 212
第4章 多項(xiàng)式 215
4.1 多項(xiàng)式的整除 215
4.1.1 數(shù)論初步 215
4.1.2 多項(xiàng)式的加法和乘法 218
4.1.3 多項(xiàng)式的除法 219
習(xí)題4.1 224
4.2 最大公因式 224
4.2.1 最大公因式的計(jì)算 224
4.2.2 最大公因式的性質(zhì) 226
4.2.3 多項(xiàng)式的互素 227
習(xí)題4.2 230
4.3 因式分解定理 231
4.3.1 不可約多項(xiàng)式 231
4.3.2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解 233
習(xí)題4.3 236
4.4 有理數(shù)域上的多項(xiàng)式 237
4.4.1 多項(xiàng)式的有理根 237
4.4.2 艾森斯坦判別法 239
習(xí)題4.4 242
4.5 復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的重根 243
4.5.1 多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì) 243
4.5.2 多項(xiàng)式重根的判別條件 245
習(xí)題4.5 248
4.6 多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系 248
4.6.1 三次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系 248
4.6.2 n次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系 250
習(xí)題4.6 252
第5章 矩陣的相似與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 253
5.1 矩陣的對角化 253
5.1.1 計(jì)算方陣的高次冪 253
5.1.2 特征值與特征向量 255
5.1.3 矩陣可對角化的條件 260
習(xí)題5.1 266
5.2 特征多項(xiàng)式的性質(zhì) 267
5.2.1 特征值的性質(zhì) 267
5.2.2 幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù) 270
5.2.3 凱萊-哈密頓定理 274
習(xí)題5.2 277
5.3 相似矩陣 277
習(xí)題5.3 282
5.4 相似矩陣的應(yīng)用 283
5.4.1 相似矩陣與遞歸數(shù)列 283
5.4.2 相似矩陣與常微分方程組 284
習(xí)題5.4 292
5.5 三階方陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 292
習(xí)題5.5 300
5.6 n階方陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 301
5.6.1 n階方陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 302
5.6.2 為什么把特征矩陣化成對角矩陣 303
5.6.3 初等因子決定了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 306
5.6.4 求n階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的例子 310
習(xí)題5.6 313
5.7 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的一些理論推導(dǎo) 313
5.7.1 定理5.11的充分性證明 313
5.7.2 定理5.12的存在性證明 316
5.7.3 行列式因子與定理5.12的唯一性證明 319
習(xí)題5.7 325
部分習(xí)題答案 326
參考文獻(xiàn) 331
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