全書共分七章,第一、二、三章分別介紹波動方程、熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程的基本定解問題的適定性、求解方法及解的性質(zhì);在此基礎(chǔ)上,第四、五、六、七章分別介紹二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)、一階雙曲型偏微分方程組、廣義解與廣義函數(shù)解、偏微分方程的數(shù)值解。
本書第二版自2002年出版以來已有十年。從這些年的使用情況來看,本書作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生數(shù)學(xué)物理方程課程的教材是合適的。依據(jù)這些年的教學(xué)實踐以及有關(guān)教師與讀者的意見和建議,我們在第三版中對部分內(nèi)容與敘述作了一定的修改(如第一章中對弦振動方程具非齊次邊界條件的初邊值問題的討論,第二章中對熱傳導(dǎo)方程具第二類或第三類邊界條件的初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性的討論,第五章中對廣義柯西問題的討論,等等),并補充了一些習(xí)題,希望能夠與時俱進,不斷提高質(zhì)量,更有利于今后的教學(xué)。
全書共七章:波動方程,熱傳導(dǎo)方程,調(diào)和方程,二階線性偏微分方程的分類與總結(jié),一階偏微分方程組,廣義解與廣義函數(shù)解,偏微分方程的數(shù)值解;前四章基本內(nèi)容的講授可以用50或略多一些的學(xué)時完成,后三章內(nèi)容教師可根據(jù)具體情況進行選講。
限于編者的水平,不妥與疏漏之處仍在所難免,懇請專家和廣大讀者提出寶貴的意見。
引言
第一章 波動方程
1 方程的導(dǎo)出、定解條件
1.弦振動方程的導(dǎo)出
2.定解條件
3.定解問題適定性概念
習(xí)題
2 達朗貝爾公式、波的傳播
1.疊加原理
2.弦振動方程的達朗貝爾解法
3.傳播波
4.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域
5.齊次化原理
習(xí)題
3 初邊值問題的分離變量法
1.分離變量法
2.解的物理意義
3.非齊次方程的情形
4.非齊次邊界條件的情形
習(xí)題
4 高維波動方程的柯西問題
1.膜振動方程的導(dǎo)出
2.定解條件的提法
3.球平均法
4.降維法
5.非齊次波動方程柯西問題的解
習(xí)題
5 渡的傳播與衰減
1.依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域
2.惠更斯(Huygens)原理、波的彌散
3.被動方程解的衰減
習(xí)題
6 能量不等式、波動方程解的唯一性和穩(wěn)定性
1.振動的動能和位能
2.初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性
3.柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性
習(xí)題
第二章 熱傳導(dǎo)方程
1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出
1.熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出
2.定解問題的提法
3.?dāng)U散方程
習(xí)題
2 初邊值問題的分離變量法
1.一個空間變量的情形
2.圓形區(qū)域上的熱傳導(dǎo)問題
習(xí)題
3 柯西問題
1.傅里葉變換及其基本性質(zhì)
2.熱傳導(dǎo)方程柯西問題的求解
3.解的存在性
習(xí)題
4 極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性
1.極值原理
2.初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性
3.柯西問題解的唯一性和穩(wěn)定性
習(xí)題
5 解的漸近性態(tài)
1.初邊值問題解的漸近性態(tài)
2.柯西問題解的漸近性態(tài)
習(xí)題
第三章 調(diào)和方程
1 建立方程、定解條件
1.方程的導(dǎo)出
2.定解條件和定解問題
3.變分原理
習(xí)題
2 格林公式及其應(yīng)用
1.格林公式
2.平均值定理
3.極值原理
4.第一邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性
習(xí)題
3 格林函數(shù)
1.格林函數(shù)及其性質(zhì)
2.靜電源像法
3.解的驗證
4.一單連通區(qū)域的格林函數(shù)
5.調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)
習(xí)題
4 強極值原理、第二邊值問題解的唯一性
1.強極值原理
2.第二邊值問題解的唯一性
3.用能量積分法證明邊值問題的解的唯一性
習(xí)題
第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)
1 階線性方程的分類
1.兩個自變量的方程
2.兩個自變量的二階線性方程的化簡
3.方程的分類
4.例
5.多個自變量的方程的分類
習(xí)題
2 二階線性方程的特征理論
1.特征概念
2.特征方程
3.例
習(xí)題
3 三類方程的比較
1.線性方程的疊加原理
2.解的性質(zhì)的比較
3.定解問題提法的比較
習(xí)題
4 先驗估計
1.橢圓型方程解的最大模估計
2.熱傳導(dǎo)方程解的最大模估計
3.雙曲型方程解的能量估計
4.拋物型方程解的能量估計
5.橢圓型方程解的能量估計
習(xí)題
第五章 一階偏微分方程組
1 引言
1.一階偏微分方程組的例子
2.一階方程組與高階方程的關(guān)系
習(xí)題
2 兩個自變量的一階線性偏微分方程組的特征理論
1.特征方程、特征線
2.兩個自變量的一階線性偏微分方程組的分類
3.將嚴(yán)格雙曲型方程組化為對角型
習(xí)題
3 兩個自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題
1.化為積分方程組
2.柯西問題解的存在性與唯一性
3.對初始條件的連續(xù)依賴性
4.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域
5.關(guān)于柯西問題提法正確性的附注
習(xí)題
4 兩個自變量的線性雙曲型方程組的其它定解問題
1.廣義柯西問題
2.古爾薩(Goursat)問題
3.一般角狀區(qū)域上的邊值問題
習(xí)題
5 冪級數(shù)解法、柯西-柯瓦列夫斯卡婭(Cauchy-KoBaлeвСkaя)定理
1.冪級數(shù)解法
2.柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理
習(xí)題
第六章 廣義解與廣義函數(shù)解
1 廣義解
1.研究廣義解的必要性
2.強解
3.弱解
習(xí)題
2 廣義函數(shù)的概念
1.廣義函數(shù)的物理背景
2.廣義函數(shù)的數(shù)學(xué)概念
3.基本函數(shù)空間
4.D'(Rn),F(xiàn)'(Rn),E'(Rn)廣義函數(shù)
習(xí)題
3 廣義函數(shù)的性質(zhì)與運算
1.廣義函數(shù)的極限
2.廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
3.廣義函數(shù)的乘子
4.廣義函數(shù)的卷積
習(xí)題
4 廣義函數(shù)的傅里葉變換
1.F(Rn)上的傅里葉變換
2.F'(Rn)上的傅里葉變換
習(xí)題
5 基本解
1.柯西問題的基本解
2.調(diào)和方程的基本解
3.其它類型的基本解
習(xí)題
第七章 偏微分方程的數(shù)值解
1 調(diào)和方程狄利克雷問題的數(shù)值解
1.有限差分法
2.元體平衡法
3.有限元素法(里茨(Ritz)法)
4.有限元素法(伽遼金法)
習(xí)題
2 熱傳導(dǎo)方程的差分法
1.一維熱傳導(dǎo)方程的顯式差分格式
2.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性
3.隱式格式及其穩(wěn)定性
習(xí)題
3 波動方程的差分法
1.波動方程初邊值問題的差分格式
2.CFL條件(柯朗-弗里德里希斯-勒維(Courant-Friedrichs-Lewy)條件)
習(xí)題
附錄Ⅰ 傅里葉級數(shù)系數(shù)的估計
附錄Ⅱ 張緊薄膜的張力為常值的證明
附錄Ⅲ 特殊函數(shù)