第一部分 復(fù)變函數(shù) 第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) x1.1 預(yù)備知識: 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算 x1.2 復(fù)數(shù)序列 x1.3 復(fù)變函數(shù) x1.4 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ¤x1.5 正十七邊形的尺規(guī)作圖問題 習(xí)題 第二章解析函數(shù) x2.1 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù) x2.2 可導(dǎo)與可微 x2.3 解析函數(shù) x2.4 初等函數(shù) ¤x2.5 解析函數(shù)的保角性 x2.6 多值函數(shù) 習(xí)題 第三章復(fù)變積分 x3.1 復(fù)變積分 x3.2 Cauchy 定理 x3.3 兩個常用的引理 x3.4 Cauchy積分公式 x3.5 Cauchy 型積分 x3.6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式以及Cauchy 積分公式的其他推論 x3.7 含參量積分的解析性 ¤x3.8 Poisson 公式 ¤x3.9 色散關(guān)系 習(xí)題 第四章無窮級數(shù) x4.1 復(fù)數(shù)級數(shù) x4.2 二重級數(shù) x4.3 函數(shù)級數(shù) x4.4 冪級數(shù) x4.5 含參量的反常積分的解析性 ¤x4.6 發(fā)散級數(shù)與漸近級數(shù) 習(xí)題 第五章解析函數(shù)的無窮級數(shù)展開 x5.1 解析函數(shù)的Taylor 展開 x5.2 Taylor 級數(shù)求法舉例 x5.3 解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性和解析函數(shù)的唯一性 x5.4 解析函數(shù)的Laurent 展開 x5.5 Laurent 級數(shù)求法舉例 x5.6 單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn) x5.7 解析延拓 ¤x5.8 Bernoulli 數(shù)和Euler 數(shù) x5.9 半純函數(shù)的有理分式展開 習(xí)題 第六章留數(shù)定理及其應(yīng)用 x6.1 留數(shù)定理 x6.2 有理三角函數(shù)的積分 x6.3 無窮積分 x6.4 含三角函數(shù)的無窮積 x6.5 計算含三角函數(shù)無窮積分的新方法 x6.6 積分路徑上有奇點(diǎn)的情形 x6.7 涉及多值函數(shù)的復(fù)變積分 ¤x6.8 其他形式的積分圍道 ¤x6.9 應(yīng)用留數(shù)定理計算無窮級數(shù)的和 習(xí)題￠ 第七章?函數(shù) x7.1 ? 函數(shù)的定義 x7.2 ? 函數(shù)的基本性質(zhì) x7.3 函數(shù) x7.4 B 函數(shù) ¤x7.5 一類無窮積分的變換公式 x7.6 ? 函數(shù)的普遍表達(dá)式 ¤x7.7 ? 函數(shù)的漸近展開 ¤x7.8 Riemann  函數(shù)和M?obius 變換 習(xí)題 第八章二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法 x8.1 二階線性常微分方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn) x8.2 方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 x8.3 方程正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 x8.4 Riemann P-方程和超幾何方程的解 x8.5 合流超幾何方程的解 ¤x8.6 方程非正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 x8.7 二階線性常微分方程的不變式 x8.8 冪級數(shù)展開與常微分方程 ¤x8.9 常微分方程的積分解法 習(xí)題 第九章Fourier 變換 x9.1 Fourier 變換的定義 x9.2 Fourier 變換的基本性質(zhì) x9.3 Fourier 變換的Parseval 公式與卷積公式 x9.4 δ函數(shù) x9.5 利用δ函數(shù)計算無窮積分 x10.6 Laplace 型常微分方程的積分解法 習(xí)題 第十章Laplace 變換 x10.1 Laplace 變換的定義 x10.2 Laplace 變換的基本性質(zhì) x10.3 Laplace 變換的反演 x10.4 普遍反演公式 ¤x10.5 利用Laplace 變換計算級數(shù)和 x10.6 Laplace 型常微分方程的積分解法 習(xí)題 第二部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程 第十一章數(shù)學(xué)物理方程和定解條件 x11.1 波動方程 x11.2 熱傳導(dǎo)方程 x11.3 穩(wěn)定問題 x11.4 定解條件 x11.5 定解問題的適定性 習(xí)題 第十二章線性偏微分方程的通解 ¤x12.1 線性方程解的疊加性 ¤x12.2 常系數(shù)線性齊次偏微分方程的通解 ¤x12.3 常系數(shù)線性非齊次偏微分方程的通解 ¤x12.4 特殊的變系數(shù)線性齊次偏微分方程 ¤x12.5 波動方程的行波解 ¤x12.6 波的耗散和色散 ¤x12.7 熱傳導(dǎo)方程的定性討論 ¤x12.8 Laplace 方程的定性討論 習(xí)題 第十三章分離變量法 x13.1 兩端固定弦的自由振動 ¤x13.2 分離變量法的物理詮釋 x13.3 矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題 x13.4 多于兩個自變量的定解問題 x13.5 兩端固定弦的受迫振動 x13.6 非齊次邊界條件的齊次化 習(xí)題 第十四章正交曲面坐標(biāo)系 x14.1 正交曲面坐標(biāo)系 x14.2 正交曲面坐標(biāo)系中的Laplace 算符 x14.3 Laplace 算符的平移、轉(zhuǎn)動和反射不變性 x14.4 圓形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題 ¤x14.5 矢量波動方程和矢量Helmholtz 方程 習(xí)題 第十五章常微分方程的本征值問題 x15.1 自伴算符的本征值問題 x15.2 Sturm-Liouville 型方程的本征值問題 x15.3 Sturm-Liouville 型方程本征值問題的簡并現(xiàn)象 x15.4 從Sturm-Liouville 型方程的本征值問題看分離變量法 習(xí)題 第十六章球函數(shù) x16.1 Helmholtz 方程在球坐標(biāo)系下的分離變量 x16.2 Legendre 方程的解 x16.3 Legendre 多項(xiàng)式 x16.4 Legendre 多項(xiàng)式的微分表示 x16.5 Legendre 多項(xiàng)式的正交完備性 x16.6 Legendre 多項(xiàng)式的生成函數(shù) x16.7 Legendre 多項(xiàng)式的遞推關(guān)系 x16.8 Legendre 多項(xiàng)式的Christo?el 型和式 x16.9 Legendre 多項(xiàng)式應(yīng)用舉例 x16.10 連帶Legendre 函數(shù) x16.11 球面調(diào)和函數(shù) x16.12 量子力學(xué)中的軌道角動量 ¤x16.13 連帶Legendre 函數(shù)的加法公式 ¤x16.14 關(guān)于正交多項(xiàng)式的一般討論 第十七章柱函數(shù) x17.1 Helmholtz 方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量 x17.2 Bessel 方程的解: Bessel 函數(shù)和Neumann 函數(shù) x17.3 Bessel 函數(shù)的遞推關(guān)系 x17.4 Bessel 函數(shù)的漸近展開 x17.5 整數(shù)階Bessel 函數(shù)的生成函數(shù)和積分表示 x17.6 Bessel 方程的本征值問題 ¤x17.7 虛宗量Bessel 函數(shù) x17.8 半奇數(shù)階Bessel 函數(shù) x17.9 球Bessel函數(shù) x17.10 冪級數(shù)展開與偏微分方程 習(xí)題 第十八章積分變換的應(yīng)用 x18.1 Laplace 變換的應(yīng)用 x18.2 Fourier 變換的應(yīng)用 ¤x18.3 半無界空間的情形 x18.4 關(guān)于積分變換的一般討論 ¤x18.5 小波變換簡介 習(xí)題 第十九章求解微分方程定解問題的Green 函數(shù)方法 x19.1 二階常微分方程的Green 函數(shù) x19.2 常微分方程初值問題的Green 函數(shù) x19.3 常微分方程邊值問題的Green 函數(shù) x19.4 偏微分方程定解問題Green 函數(shù)的概念 x19.5 穩(wěn)定問題Green 函數(shù)的一般性質(zhì) x19.6 三維無界空間Helmholtz 方程的Green 函數(shù) x19.7 圓內(nèi)Poisson 方程第一邊值問題的Green 函數(shù) ¤x19.8 波動方程的Green 函數(shù) ¤x19.9 熱傳導(dǎo)方程的Green 函數(shù) 習(xí)題 第二十章變分法初步 x20.1 泛函的概念 x20.2 泛函的極值 x20.3 泛函的條件極值 x20.4 微分方程定解問題和本征值問題的變分形式 ¤x20.5 變邊值問題 x20.6 Rayleigh-Ritz 方法 習(xí)題 第二十一章數(shù)學(xué)物理方程綜 x21.1 二階線性偏微分方程的分類 x21.2 線性偏微分方程解法述評 ¤x21.3 非線性偏微分方程問題 習(xí)題 第三部分選讀材料匯編 第二十二章線性微分算符的本征值問題 x22.1 度量空間 x22.2 賦范線性空間與內(nèi)積空間 x22.3 Hilbert 空間 x22.4 線性算符 x22.5 Hilbert 空間上的線性算符 x22.6 線性微分算符 x22.7 Sturm-Liouville 型方程的本征值問題 x22.8 奇異的本征值問題 第二十三章廣義函數(shù) x23.1 線性泛函 x23.2 廣義函數(shù) x23.3 廣義函數(shù)的基本運(yùn)算 x23.4 奇異廣義函數(shù)δ x23.5 廣義函數(shù)序列的收斂性 x23.6 奇異廣義函數(shù)1/x x23.7 廣義函數(shù)中的微分方程 x23.8 常微分方程初值問題的Green 函數(shù) x23.9 常微分方程邊值問題的Green 函數(shù) x23.10 Green 函數(shù)的本征函數(shù)展開 參考書目 索引