本書的第零章通過介紹Fermat的工作和結(jié)果，從而窺見豐富的、深?yuàn)W的數(shù)的世界。第一章以Fermat的工作為起點(diǎn)，介紹橢圓曲線的基本知識(shí)。第二章介紹p進(jìn)數(shù)及二次曲線的Hasse原理。第三章介紹了ζ函數(shù)在整點(diǎn)的特殊值。
在本書出版的1996年前的200年，即1796年，Gauss將現(xiàn)代數(shù)論大大地向前推進(jìn)了一步，這距今實(shí)在是有些年頭了。當(dāng)時(shí)正值十幾歲年齡段最后一年的Gauss，在是年的3月30日，發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的作圖法，4月8日又證明了被Gauss自己稱為“瑰寶”的“二次剩余互反律”（參看本書的§2.2），5月31日則提出了關(guān)于素?cái)?shù)分布的“素?cái)?shù)定理”的猜想，7月10日又證明了所有自然數(shù)可表示為不多于三個(gè)的三角數(shù)之和本書的§0.5），到了10月1日則得到了對(duì)以后年代產(chǎn)生極大影響的關(guān)于有限域系數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)的結(jié)果，等等許多的研究。所有這些都寫在了本書及后續(xù)的《數(shù)論2》中。
在由簡單地列舉1，2，3，4，…而數(shù)出來的數(shù)世界里，隱藏著許多使得年輕的Gauss著迷的奇特東西，而一個(gè)時(shí)代的發(fā)現(xiàn)呼喚出下一個(gè)時(shí)代的更為深刻的發(fā)現(xiàn)。100年后的1896年，上述的素?cái)?shù)定理得到了證明，大約120年后，二次剩余互反律在“類域論”中得到了發(fā)展，大約150年后，Weil在考察了上述10月1日的GaUSS的結(jié)果后，提出了對(duì)于20世紀(jì)的代數(shù)幾何給予極大影響的Weil猜想。Gauss所琢磨過的瑰寶經(jīng)后來人們的琢磨更增添了光彩。即便在聲稱地球的秘境幾乎已探索窮盡了的現(xiàn)代，在數(shù)的世界里所充滿的謎還遠(yuǎn)未被探索清楚，使我們感到我們所有的并非是一個(gè)淺底的自然界，而是顯示出她的無限豐厚。
在本書中，我們不僅重視數(shù)所具有的奇特性質(zhì)，而且也在探索現(xiàn)代的數(shù)論，想要描繪出在它的深處的豐富多彩的世界。由于作者們才疏學(xué)淺，有許多力所不能及之處，如果讀者們只要能因此而感受到數(shù)的不可思議之處，以及自然界的豐富多彩，我們就頗感榮幸了。
加藤和也，1952年出生，1975年畢業(yè)于東京大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任京都大學(xué)研究生院理學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。
黑川信重，1952年出生，1975年畢業(yè)于東京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任東京工業(yè)大學(xué)研究生院理工學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。
齋藤毅，1961年出生，1984年畢業(yè)于東京大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任東京大學(xué)研究生院數(shù)理科學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。
中文版序言
前言
寫在單行本發(fā)行之際
理論的概要及目標(biāo)
數(shù)學(xué)記號(hào)與用語
第零章 序——Fermat和數(shù)論
§0.1 Fermat以前
§0.2 素?cái)?shù)與二平方和
§0.3 p=x2+2y2，p=x2+3y2
§0.4 Pell方程
§0.5 3角數(shù)，4角數(shù)，5角數(shù)
§0.6 3角數(shù)，平方數(shù)，立方數(shù)
§0.7 直角三角形與橢圓曲線
§0.8 Fermat大定理
習(xí)題
第一章 橢圓曲線的有理點(diǎn)
§1.1 Fermat與橢圓曲線
§1.2 橢圓曲線的群結(jié)構(gòu)
§1.3 Mordell定理
小結(jié)
習(xí)題
第二章 二次曲線與p進(jìn)數(shù)域
§2.1 二次曲線
§2.2 同余式
§2.3 二次曲線與二次剩余符號(hào)
§2.4 p進(jìn)數(shù)域
§2.5 p進(jìn)數(shù)域的乘法構(gòu)造
§2.6 二次曲線的有理點(diǎn)
小結(jié)
習(xí)題
第三章 ζ
§3.1 ζ函數(shù)值的三個(gè)奇特之處
§3.2 在正整數(shù)處的值
§3.3 在負(fù)整數(shù)處的值
小結(jié)
習(xí)題
第四章 代數(shù)數(shù)論
§4.1 代數(shù)數(shù)論的方法
§4.2 代數(shù)數(shù)論的核心
§4.3 虛二次域的類數(shù)公式
§4.4 Fermat大定理與Kummer
小結(jié)
習(xí)題
第五章 何謂類域論
§5.1 類域論的現(xiàn)象的例子
§5.2 分圓域與二次域
§5.3 類域論概述
小結(jié)
習(xí)題
第六章 局部與整體
§6.1 數(shù)與函數(shù)的驚人類似
§6.2 素點(diǎn)與局部域
§6.3 素點(diǎn)與域擴(kuò)張
§6.4 阿代爾(adele)環(huán)與伊代爾(idele)群
小結(jié)
習(xí)題
第七章 ζ(Ⅱ)
§7.1 ζ的出現(xiàn)
§7.2 Riemann ζ 與Dirichlet L
§7.3 素?cái)?shù)定理
§7.4 Fp[T]的情形
§7.5 Dedekind ζ與Hecke L
§7.6 素?cái)?shù)定理的一般程式
小結(jié)
習(xí)題
第八章 類域論(Ⅱ)
§8.1 類域論的內(nèi)容
§8.2 整體域和局部域上的可除代數(shù)
§8.3 類域論的證明
小結(jié)
習(xí)題
附錄A Dedekind環(huán)匯編
§A.1 dedekind環(huán)的定義
§A.2 分式理想
附錄B Galois理論
§B.1 Galois理論
§B.2 正規(guī)擴(kuò)張與可分?jǐn)U張
§B.3 范與跡
§B.4 有限域
§B.5 無限GaloiS理論
附錄C 素?cái)?shù)的威力
§C.1 Hensel引理
§C.2 Hasse原理
問題解答
習(xí)題解答
索引
表現(xiàn)為整數(shù)比的數(shù)是有理數(shù)，我們看到它們在由實(shí)數(shù)構(gòu)成的數(shù)直線上沒有空隙地滿滿地排列著，但實(shí)際上卻存在像、根號(hào)5這樣的不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)。這個(gè)事實(shí)用我們的肉眼難于判斷，而雖然只有經(jīng)古希臘數(shù)學(xué)所得到的所謂“證明”方法之后才認(rèn)知了這個(gè)事實(shí)，但據(jù)說Pythagora8本人對(duì)于親自證明了無理數(shù)存在這件事則深感驚恐，因不知對(duì)此該如何解釋而苦惱。（Pythagoras把無理數(shù)存在這件事看成是神的失敗，從而禁止弟子們向外人說出此事，據(jù)傳說，有破壞了禁令的弟子因冒犯神靈罪被乘船拋海而喪命。）
公元前3世紀(jì)左右寫就的集古希臘數(shù)學(xué)之大成的Euclid的《幾何原本》中，關(guān)于數(shù)方面寫了“存在無限多個(gè)素?cái)?shù)”的證明以及關(guān)于最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)等等（《幾何原本》全部13卷中的第7卷和第9卷）。在《幾何原本》中還談及上述的無理數(shù)存在問題，即關(guān)于“以整數(shù)比（有理數(shù)）為出發(fā)點(diǎn)如何得出實(shí)數(shù)”這樣的問題，從而展開了更高層次的實(shí)數(shù)理論的討論（《幾何原本》第5卷）。這個(gè)使PythagoraS煩惱的，而《幾何原本》卻討論了很多的“從有理數(shù)為出發(fā)點(diǎn)如何得出實(shí)數(shù)”的問題，在很遠(yuǎn)以后的19世紀(jì)才給出了完全的解答（參看《數(shù)論1:Fermat的夢想和類域論》§2。4）。
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