第1章函數(shù)Functions
　　1.1基本概念Basic concepts
　　第1章
　　函數(shù)
　　Functions
　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，但都是基于初等數(shù)學(xué)的范疇.在以微分學(xué)和積分學(xué)為核心的高等數(shù)學(xué)中，各類(lèi)函數(shù)及其變化性態(tài)是主要的研究對(duì)象.為了更好地學(xué)習(xí)微積分學(xué)的知識(shí)，本章將首先介紹與函數(shù)相關(guān)的一些基本概念和必備知識(shí)；然后列出基本初等函數(shù)及其特性；最后引入函數(shù)的幾種常用表示方法以及一些特殊函數(shù).
　　1.1基本概念
　　Basic concepts
　　在給出函數(shù)的定義之前，首先簡(jiǎn)要地介紹集合、區(qū)間、絕對(duì)值和鄰域等一些基本概念.
　　1.1.1集合、區(qū)間、絕對(duì)值和鄰域〖*2〗
　　1. 集合
　　由于函數(shù)都是定義在某些集合上的，因此討論函數(shù)離不開(kāi)集合這個(gè)概念.一般地，具有某種特定性質(zhì)的事物匯集的總體稱(chēng)為一個(gè)集合（set），組成這個(gè)集合的事物被稱(chēng)為集合的元素（element）.如: 一個(gè)班級(jí)可以認(rèn)為是一個(gè)集合，班級(jí)的每一位同學(xué)就是這個(gè)集合的元素；直線(xiàn)方程y=x+2上的所有點(diǎn)組成了一個(gè)集合.通常情況下，集合用大寫(xiě)字母A，B，C,…表示，集合的元素用小寫(xiě)字母a，b，c,…表示.
　　集合與元素之間的關(guān)系為: 若a是集合A的元素，則稱(chēng)a屬于A，記作a∈A；若a不是集合A的元素，則稱(chēng)a不屬于A，記作a�麬.
　　表示集合的方法通常有兩種: 一種是列舉法，即把集合的全體元素一一列舉出來(lái)，如由元素a1,a2,…,an組成的集合A可以表示為A={a1,a2,…,an}；另一種是描述法，即利用集合的某種特征來(lái)描述其元素，如xOy平面中單位圓周上點(diǎn)的集合B可以表示為B={(x,y)|x2+y2=1}.
　　若一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)有限，則稱(chēng)這個(gè)集合為有限集（finite set），否則稱(chēng)為無(wú)限集（infinite set）.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集（empty set），記作��.
　　最常遇到的數(shù)集有:
　　全體自然數(shù)（natural number）的集合，記作N；全體整數(shù)（integer）的集合，記作Z；全體有理數(shù)（rational number）的集合，記作Q；全體實(shí)數(shù)（real number）的集合，記作R；全體復(fù)數(shù)（complex number）的集合，記作C.
　　此外，正整數(shù)、正有理數(shù)和正實(shí)數(shù)的集合分別記作Z+，Q+和R+.如果沒(méi)有特殊聲明，本書(shū)中用到的數(shù)都是實(shí)數(shù).
　　下面給出集合間的關(guān)系和運(yùn)算.
　　設(shè)A和B是兩個(gè)集合，若集合A的所有元素都屬于集合B，則稱(chēng)A是B的子集（subset），記作A�罛（或B�翧），讀作A包含于B（或者B包含A）.若A�罛，且存在元素a∈B且a�麬，則稱(chēng)A是B的真子集（proper subset），記作A�糂（或者B�紸）.若A�罛，且B�罙，則稱(chēng)集合A和B相等（equality），記作A=B.
　　規(guī)定: 空集�潦侨魏渭�合A的子集，即�联罙.
　　對(duì)于前面給出的各種數(shù)集，顯然有如下關(guān)系成立:
　　N�糧�糛�糝�糃和Z+�糛+�糝+.
　　給定兩個(gè)集合A和B，可以定義如下運(yùn)算:
　　交集（intersection of sets）A∩B={x|x∈A且x∈B}；
　　并集（union of sets）A∪B={x|x∈A或x∈B}；
　　差集（difference of sets）A＼B={x|x∈A且x�麭}；
　　余集（complementary set）BcA=A＼B，其中B�糀.
　　集合間的各種運(yùn)算及其結(jié)果可以用圖1.1來(lái)表示，其中陰影部分表示運(yùn)算的結(jié)果.
　　圖1.1
　　2. 區(qū)間
　　區(qū)間（interval）是高等數(shù)學(xué)課程中經(jīng)常遇到的一類(lèi)數(shù)集.各種區(qū)間的符號(hào)、名稱(chēng)、集合表示及在數(shù)軸上的圖形表示如表1.1所示.
　　表1��1
　　符號(hào)名稱(chēng)集合表示圖形表示
　　(a,b)
　　［a,b］
　　(a,b］
　�。踑,b)
　　有限區(qū)間
　　開(kāi)區(qū)間{x|a　　閉區(qū)間{x|a≤x≤b}
　　半開(kāi)區(qū)間{x|a　　半開(kāi)區(qū)間{x|a≤x　　(a,+∞)
　　［a,+∞)
　　(-∞,a)
　　(-∞,a］
　　無(wú)限區(qū)間
　　開(kāi)區(qū)間{x|x>a}
　　閉區(qū)間{x|x≥a}
　　開(kāi)區(qū)間{x|x　　閉區(qū)間{x|x≤a}
　　關(guān)于表中記號(hào)的幾點(diǎn)說(shuō)明：
　　(1) 表中的各個(gè)區(qū)間與集合的記法是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的，不能混淆，特別是開(kāi)區(qū)間(open interval)和閉區(qū)間(closed interval)的記法.
　　(2) 在有限區(qū)間(finite interval)和無(wú)限區(qū)間(infinite interval)中，a,b∈R，且a　　(3) 無(wú)限區(qū)間中的+∞和-∞分別讀作“正無(wú)窮”和“負(fù)無(wú)窮”，它們僅僅是一種符號(hào)，并不表示數(shù)，可以分別想象為沿著數(shù)軸的正向和負(fù)向無(wú)限延伸.詳細(xì)的定義將在后面章節(jié)中給出.特別地，全體實(shí)數(shù)組成的集合R記為R=(-∞,+∞).
　　3. 絕對(duì)值
　　實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值（absolute value）記作|a|，它的定義為
　　|a|=a,a≥0,
　　-a,a<0.
　　該定義表明，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|是非負(fù)的，它的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)a,b,c∈R，不難證明如下等式或不等式成立:
　　(1) |a-b|≥0；(2) |a-b|=|b-a|；(3) |a·b|=|a|·|b|；
　　(4) |a+b|≤|a|+|b|；(5) |a-c|≤|a-b|+|b-c|（三角不等式）；
　　(6) |a-b|≥||a|-|b||.
　　4. 鄰域
　　設(shè)a∈R，δ>0，數(shù)集{x||x-a|<δ}稱(chēng)為以點(diǎn)a為中心,δ為半徑的鄰域（neighborhood），簡(jiǎn)稱(chēng)a的δ鄰域，記作U(a,δ)，即
　　U(a,δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
　　當(dāng)不需要注明鄰域的半徑δ時(shí)，常把它表示為U(a)，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)a的鄰域.
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