本書從數(shù)論學科的特色、人文欣賞的視野著手，運用通俗生動的語言，精彩有趣的故事、豐富典型的案例，介紹初等數(shù)論的常識及其初等數(shù)論在現(xiàn)實世界中的廣泛應(yīng)用，主要內(nèi)容包括整除理論初步及其應(yīng)用、同余理論初步及其應(yīng)用、不定方程理論初步及其應(yīng)用、數(shù)論在密碼學中的初步應(yīng)用等。
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目錄
前言
引子 素數(shù)奇趣與猜想 1
0.1 哥德巴赫猜想 2
0.2 孿生素數(shù)猜想 2
0.3 回文素數(shù)猜想 4
0.4 梅森素數(shù)的故事 5
第 1 章 整除理論 9
1.1 整除概念與判定 9
1.1.1 整除與帶余除法 9
1.1.2 奇數(shù)與偶數(shù) 11
1.1.3 整除判定 12
1.1.4 整除概念基礎(chǔ)訓練與拓展 14
1.2 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 15
1.2.1 最大公因數(shù) 15
1.2.2 最小公倍數(shù) 23
1.2.3 最大公因數(shù)基礎(chǔ)訓練與拓展 25
1.3 整數(shù)分解與素數(shù)分布 27
1.3.1 素數(shù)與合數(shù)概念及特征 27
1.3.2 算術(shù)基本定理 30
1.3.3 兩種初等整數(shù)分解方法 33
1.3.4 n! 素因數(shù)分解 35
1.3.5 整數(shù)分解正因數(shù)定理與完全數(shù) 39
1.3.6 素數(shù)分布及素數(shù)定理 41
1.3.7 整數(shù)分解基礎(chǔ)訓練與拓展 47
第 2 章 同余理論 49
2.1 同余概念及應(yīng)用 49
2.1.1 同余概念 49
2.1.2 同余四則運算 51？
2.1.3 同余在整除判別中的應(yīng)用 53
2.1.4 同余在末位數(shù)判別中的應(yīng)用 54
2.1.5 例說同余實際應(yīng)用 56
2.1.6 同余概念基礎(chǔ)訓練與拓展 61
2.2 剩余類與剩余系 61
2.2.1 概念及其判別 62
2.2.2 剩余系構(gòu)造 64
2.2.3 威爾遜定理與素數(shù)判別 68
2.2.4 例說完全系實際應(yīng)用 69
2.2.5 剩余類基礎(chǔ)訓練與拓展 72
2.3 歐拉函數(shù)的計算與經(jīng)典同余定理 72
2.3.1 歐拉函數(shù)的計算公式 73
2.3.2 歐拉定理與費馬小定理 76
2.3.3 費馬小定理之逆與偽素數(shù) 79
2.3.4 歐拉定理對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用 83
2.3.5 歐拉定理對 RSA 體制的應(yīng)用 85
2.3.6 歐拉函數(shù)基礎(chǔ)訓練與拓展 89
第 3 章 同余方程 91
3.1 一次同余方程 91
3.1.1 方程系數(shù)與�；ニ氐囊淮瓮喾匠� 92
3.1.2 方程系數(shù)與模不互素的一次同余方程 94
3.1.3 一次同余方程對 RSA 體制的應(yīng)用 96
3.1.4 一次同余方程基礎(chǔ)訓練與拓展 97
3.2 一次同余方程組與中國剩余定理 98
3.2.1 中國剩余定理 98
3.2.2 中國剩余定理的思想原則應(yīng)用 102
3.2.3 模不互素的一次同余方程組 103
3.2.4 一次同余方程組基礎(chǔ)訓練與拓展 106
3.3 高次同余方程 107
3.3.1 高次同余方程的解與解數(shù) 107
3.3.2 模為素數(shù)的高次同余方程 110
3.3.3 模為素數(shù)冪的高次同余方程 113
3.3.4 高次同余方程基礎(chǔ)訓練與拓展 117
3.4 二次剩余與二次同余方程 117
3.4.1 二次剩余 118
3.4.2 勒讓德符號 121
3.4.3 高斯二次互反律 128
3.4.4 雅可比符號 132
3.4.5 二次同余方程解的模式 135
3.4.6 二次剩余在零知識證明中的應(yīng)用 139
3.4.7 二次剩余基礎(chǔ)訓練與拓展 141
3.5 原根與離散對數(shù) 142
3.5.1 階與原根 142
3.5.2 原根存在定理 145
3.5.3 原根的個數(shù)與求法 148
3.5.4 離散對數(shù) 151
3.5.5 離散對數(shù)在密碼學中的應(yīng)用 155
3.5.6 n 次剩余 158
3.5.7 原根基礎(chǔ)訓練與拓展 161
第 4 章 不定方程 162
4.1 實用的一次不定方程 162
4.1.1 二元一次不定方程 163
4.1.2 二元一次不定方程實際應(yīng)用 165
4.1.3 二元一次不定方程的非負解 167
4.1.4 多元一次不定方程 171
4.1.5 一次不定方程基礎(chǔ)訓練與拓展 174
4.2 誘惑人的費馬方程 174
4.2.1 畢達哥拉斯方程 175
4.2.2 4 次冪費馬方程 178
4.2.3 費馬方程基礎(chǔ)訓練與拓展 182
4.3 魅力無限的同余與不定方程聯(lián)姻 183
4.3.1 奇素數(shù)平方和表示 183
4.3.2 拉格朗日平方和定理 187
4.3.3 奇異的佩爾方程 191
4.3.4 同余觀下的不定方程 196
4.3.5 同余觀下的不定方程基礎(chǔ)訓練與拓展 199
基礎(chǔ)訓練與拓展解答提示 201
參考文獻 225
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