解題是數(shù)學(xué)教與學(xué)的基本問題。本書分別從學(xué)生、教師角度,講述了解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題所需的知識(shí)、方法、準(zhǔn)備工作、心理因素、思維儲(chǔ)備等,高屋建瓴地揭示了解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題*根本的規(guī)律。本書還專門講解了數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題的命題工作以及波利亞的數(shù)學(xué)解題理論。本書適合從事數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)和參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生閱讀。
單墫老師的書,是許多數(shù)學(xué)愛好者,尤其是關(guān)注數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人,是必備之書。本書是單墫老師的經(jīng)典之作,也是數(shù)學(xué)解題方面的暢銷之作。
數(shù)學(xué)中充滿問題,例如尺規(guī)作圖的三大問題,希爾伯特的23個(gè)問題,費(fèi)馬大定理,黎曼假設(shè),龐加萊猜想等等。
數(shù)學(xué),正是在不斷發(fā)現(xiàn)問題,不斷解決問題中前進(jìn)發(fā)展的。
學(xué)數(shù)學(xué),就是要學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題,解決問題。
當(dāng)然,我們目前討論的問題,只限于中學(xué)階段可能涉及的問題。
我們希望幫助同學(xué)們提高解題能力,幫助教師們教會(huì)學(xué)生解題,幫助師范院校的教師教會(huì)未來的教師學(xué)會(huì)教解題。
說到解題,不可不說到波利亞。波利亞是數(shù)學(xué)家,也是教育家。他關(guān)于數(shù)學(xué)教育的文章與著作,特別是《怎樣解題》,《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》(上、下),為數(shù)學(xué)解題理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。波利亞有很多深刻的思想與獨(dú)到的見解,真正是解題理論的大成先師。我國(guó)有許多研究解題理論的學(xué)者,如過伯祥、張?jiān)诿、羅增儒等先生。我這幾本書,闡釋波利亞的解題理論,希望能對(duì)學(xué)生、教師、教師的教師有所幫助。波利亞的理論,不是教條,而是實(shí)際解題的指南。因此,我們采用大量實(shí)例,特別是自己做過的數(shù)學(xué)問題,與讀者一同討論如何解題,如何總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)。我們特別著重于兩類問題。一是基礎(chǔ)問題。這類問題中的數(shù)學(xué)技巧、方法、思想,往往被人忽視,以為不足道,其實(shí)卻是至關(guān)緊要的。例如,“用字母表示數(shù)”就是如此。很多人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到困難,原因往往是沒有注意打好基礎(chǔ),忽視細(xì)節(jié)。須知絆倒人的,多半正是那些不起眼的小石頭。反過來,如果平時(shí)注意加強(qiáng)基礎(chǔ),講究技巧,在各種考試(如中考、高考)中,一定會(huì)減少失誤或贏得更多的時(shí)間。二是競(jìng)賽問題。它需要更多的創(chuàng)造性,而這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)特別注意培養(yǎng)與發(fā)揚(yáng)的。波利亞的著作中,對(duì)競(jìng)賽問題討論較少,因?yàn)樵谒臅r(shí)代,競(jìng)賽數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不如今天這樣風(fēng)靡。
單墫,我國(guó)著名數(shù)學(xué)傳播、普及和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的專家。1964年畢業(yè)于揚(yáng)州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,在中學(xué)、大學(xué)任教四十多年。
1983年獲理科博士學(xué)位(我國(guó)首批18名博士之一),1991年當(dāng)選全國(guó)“優(yōu)秀教師”,1991年7月起享受政府特殊津貼,1992年評(píng)為國(guó)家有突出貢獻(xiàn)的中青年專家。1995年評(píng)為省“優(yōu)秀學(xué)科帶頭人”。
單墫教授曾任南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主任,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)委員、教練組組長(zhǎng),國(guó)家教委理科試驗(yàn)班專家組組長(zhǎng),南京數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。
單墫教授主要從事數(shù)論與組合方面的研究,很多成果達(dá)到國(guó)際先進(jìn)水平。
1989年作為中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克代表隊(duì)副領(lǐng)隊(duì)、主教練,1990年作為領(lǐng)隊(duì),率隊(duì)參賽IMO均獲總分第1,為我國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽事業(yè)作為很大貢獻(xiàn)。
第一章 與同學(xué)們談解題
1 解題的重要性
2 解題必須實(shí)踐
3 信心與決心
4 興趣
5 專心致志
6 打好基礎(chǔ)
7 簡(jiǎn)單技巧
8 應(yīng)用題
9 常規(guī)問題
10 簡(jiǎn)單、自然
11 一個(gè)實(shí)際例子
12 字母的使用
13 代數(shù)方法(一)
14 代數(shù)方法(二)
15 幾何計(jì)算
16 分析法
第二章 喜愛數(shù)學(xué)的同學(xué)
1 做有質(zhì)量的問題
2 基本量
3 從簡(jiǎn)單的做起
4 尋找規(guī)律
5 簡(jiǎn)單自然、直剖核心
6 跟著感覺走
7 思則有路
8 要有好的想法(一)
9 要有好的想法(二)
10 從不同的角度看問題
11 創(chuàng)造條件
12 非智力因素
第三章 解題的基本知識(shí)
1 問題是數(shù)學(xué)的心臟
2 解題是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
3 教會(huì)思考
4 解題必須實(shí)踐
5 問題的種類
6 解題的步驟
7 弄清問題
8 擬定計(jì)劃
9 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃
10 總結(jié)(一)
11 總結(jié)(二)
12 12條解題要訣
第四章 修改解答
1 笨拙的解答
2 不要濫用反證法
3 直接去做
4 盡信,則不如無
5 對(duì)照比較(一)
6 對(duì)照比較(二)
7 弄清實(shí)質(zhì)
8 文章病院
9 自己的毛病
第五章 10道問題
1 上下求索
2 學(xué)思結(jié)合
3 逐步逼近
4 比賽日程
5 雙軌跡模式
6 集成塊與組合拳
7 算兩次
8 平方數(shù)與平方式
9 謀定而后動(dòng)
10 電阻問題
第六章 數(shù)學(xué)教師
1 解題的重要性
2 教師的素養(yǎng)
3 教師的優(yōu)勢(shì)
4 理解題意
5 變更問題
6 從何入手
7 用不同的觀點(diǎn)看問題
8 擬定與實(shí)現(xiàn)計(jì)劃
9 技巧
10 不必“為技巧而技巧”
11 簡(jiǎn)單自然
12 關(guān)于一題多解
13 探索法
14 慎于初戰(zhàn)
15 加階梯
16 非數(shù)學(xué)因素
第七章 談?wù)劽}
1 關(guān)于題庫(kù)
2 處處留心
3 舊瓶新酒
4 源頭活水
5 可上可下
6 苦心孤詣
7 小心出錯(cuò)
8 問題的背景
9 不適當(dāng)?shù)膯栴}
10 小題大做
11 一道試題的編制
第八章 波利亞及其解題理論
1 波利亞的生平
2 波利亞的教育論著(一)
3 波利亞的教育論著(二)
4 波利亞的教育論著(三)
5 波利亞的教育論著(四)