定 價:59 元
叢書名:浙江省級重點(diǎn)學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)改革與科學(xué)研究叢書
- 作者:邸繼征著
- 出版時間:2015/1/1
- ISBN:9787030427922
- 出 版 社:科學(xué)出版社
- 中圖法分類:O174.22
- 頁碼:274
- 紙張:膠版紙
- 版次:1
- 開本:16K
《浙江省級重點(diǎn)學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)改革與科學(xué)研究叢書:修波(shearlet)的理論及應(yīng)用》介紹修波(shearlet)的基本理論及應(yīng)用!缎薏ǎ╯hearlet)的理論及應(yīng)用》共6章,先介紹框架,包括一元小波框架和修波框架,在此基礎(chǔ)上講述修波的構(gòu)造和應(yīng)用,其核心內(nèi)容是最新的有關(guān)修波的研究成果!墩憬〖壷攸c(diǎn)學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)改革與科學(xué)研究叢書:修波(shearlet)理論及應(yīng)用》概念清晰,推理嚴(yán)密,論證細(xì)致,對每部分內(nèi)容,都展示是什么,為什么和怎么做的全過程,并將基礎(chǔ)和應(yīng)用并重的教育理念融入其中。
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《浙江省級重點(diǎn)學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)改革與科學(xué)研究叢書:修波(shearlet)的理論及應(yīng)用》不要求讀者具有高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),可供研究修波和希望了解修波基本內(nèi)容的人士參考,也可作為大學(xué)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)和信息類、軟件類高年級本科生與研究生的教材使用。
第1章緒論
本章介紹本書涉及的部分概念與知識。主要內(nèi)容包括多元Fourier變換、一元多分辨分析與正交小波簡介、二元多分辨分析與張量積小波簡介。
張量積小波離不開一元Fourier變換。修波也要用到Fourier變換,但與張量積小波不同的是修波用到多元Fourier變換,原因在于張量積小波是通過張量積得到的,因而可分離變量,只涉及一元Fourier變換,修波變量一般不可分離,只能用到多元Fourier變換。
修波的引進(jìn)旨在克服多元張量積小波的不足,所以,需要對張量積小波有基本的了解,而張量積小波又是從一元正交小波直接導(dǎo)出的,因此需要簡單介紹一元正交小波的內(nèi)容。
1。1Rn與Rn*及其中一些集合的可逆線性變換
本節(jié)中,首先介紹Rn與Rn*及其上的運(yùn)算、范數(shù)等,其次介紹Rn中一些集合的可逆線性變換,闡述這些集合經(jīng)可逆線性變換以后的性態(tài),以為R"的分割及多元積分的變換做準(zhǔn)備。
1。1。1Rn與Rn*
設(shè)R=(-oo,oo)為實(shí)數(shù)集,R+=(0,oo)為正數(shù)集,Z={ ,—2,—1,0,1,2, 。}為整數(shù)集,Z+={1,2, 。}為正整數(shù)集。在分析數(shù)學(xué)和幾何中,對neZ+,R"為坐標(biāo)或分量為實(shí)數(shù)的n兀點(diǎn)或n維向量的集合,即。
在R?上定義“按坐標(biāo)或分量加”的加法:
按“按坐標(biāo)或分量乘”的數(shù)乘:
則R?成為一個線性空間。在此基礎(chǔ)上,再定義內(nèi)積:
則R"成為一個內(nèi)積空間。注意,由于內(nèi)積是一種“積”,遵循普通數(shù)字乘法的一些運(yùn)算規(guī)則,所以x,y的內(nèi)積有時也用a;1表示。本書中,根據(jù)需要選取內(nèi)積的表示方式。
若對x,yeRn,xy=(x,y)=0,則稱a:,y正交,Rn中互相正交的n個元素 ?,e?構(gòu)成Rn的一組正交基:Rn中的任一元素都可以表為這組基中元素的線性組合。
當(dāng)R"為一個線性空間時,可以定義多種范數(shù),使其成為一個賦范線性空間,Rn上定義的常見范數(shù)如下。
無窮范數(shù):
p范數(shù):
特別地,當(dāng)P=2時,||x||2即x的2范數(shù)稱為其歐幾里得范數(shù)或歐氏范數(shù)。
有了范數(shù),就可以定義距離,使R?成為一個距離空間。例如,\fx,y?R",定義兩者的距離為
由2范數(shù)給出的R"上的幾何稱為歐幾里得幾何或歐氏幾何,此時的R"稱為歐幾里得空間或歐氏空間,而范數(shù)和內(nèi)積的關(guān)系為
本書中,若無特別說明,R"上的范數(shù)皆為這種范數(shù),||x||2簡寫為hll。
若ei,e2, ,en為R"的一組正交基且此基中每個元素的范數(shù)為1,則稱其為R?的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。Rn的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基的任一元的實(shí)數(shù)倍構(gòu)成的集合為R"的一個一維子空間,稱為一個坐標(biāo)軸,這n個坐標(biāo)軸構(gòu)成Rn的一個標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。
許多時候,一個n兀點(diǎn)???,xn)GR"或n維行向量(a:i,X2,???,xn),以及1行n列矩陣(a:i;r2???Xn)(或記為)被認(rèn)為是同一事物。因?yàn)橛纱鷶?shù)學(xué)知道,當(dāng)將R"看成元素為實(shí)數(shù)的1行n列矩陣集合時,其上定義的加法、數(shù)乘和范數(shù)與上面介紹的對應(yīng)事物完全相同,只是按照矩陣的寫法,元素間不寫逗號,但有時為了避免諸如(123)的寫法容易產(chǎn)生誤解,元素間也加了逗號,如此,除了用方括號表示矩陣的情形,Rn中元是n元點(diǎn)、n維行向量還是1行n列矩陣,從形式到內(nèi)容,都可以不加區(qū)別了。
在將Rn看成元素為實(shí)數(shù)的1行n列矩陣集合時,其元素間的內(nèi)積除了像上面一樣表示,還可以用矩陣的乘法表示:
其中T表不轉(zhuǎn)置:
但在線性代數(shù)中,n維向量皆指列向量,即形如
的向量。由于在許多場合,如上面向量和形如;r=(;Ti,;T2, ,xn)的向量同時出現(xiàn),此時,若用表示分量為實(shí)數(shù)的向量集合,就容易產(chǎn)生混亂。為此,一些資料將分量為實(shí)數(shù)的n維列向量集合記為R*,本書擬釆用這樣的記法,即
與Rn—樣,在上可以定義加法、數(shù)乘、內(nèi)積和范數(shù)等,如
可以看出,Rn與Rn*本質(zhì)上沒有區(qū)別,只不過前者元素的坐標(biāo)或分量橫排而后者元素豎排,僅需注意在兩者元素同時出現(xiàn)的場合,元素間的運(yùn)算按自然規(guī)則進(jìn)行。例如,設(shè)
為簡單起見,許多文獻(xiàn)對R"與R"*不加區(qū)別,而只在橫、列向量同時出現(xiàn)的場合,即時予以說明。以下介紹的一些內(nèi)容僅對R"進(jìn)行。
本書中,R"上的拓?fù)錇闅W氏拓?fù)洌捎蓤A形鄰域生成,其中
1。1。2Rn上的可逆線性變換
首先指出,由前面的介紹知道,Rn與Rra*本質(zhì)上相同,只是兩者元素的排列方式不同,所以,對R"與Rn*中元素的線性變換,本質(zhì)上也是相同的。只需注意在表示有關(guān)線性變換時,不因元素的排列問題導(dǎo)致混亂即可。
T為Rn上的可逆線性變換,則T為Rn到R”的線性映射。Rn最好的
一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為
由于仍為R"中元,故必可由上述基線性表出,即存在實(shí)數(shù)使
其中(ei,e2, ,en)僅是形式地將該組基寫為向量,可以看成分量自身又是向量的n維向量,這樣做的好處在于:這種向量可以像一般R"中元一樣進(jìn)行各種運(yùn)算。如此,
當(dāng)線性變換t為可逆線性變換時,對應(yīng)的矩陣r為可逆的矩陣。反之,由任一可逆矩陣T通過式(1。3)都可給出一個可逆線性變換,因此,在對可逆線性變換進(jìn)行處理時,往往直接處理其對應(yīng)的矩陣。
現(xiàn)在設(shè)y是R"中元x經(jīng)可逆線性變換T變換后的結(jié)果,,由Rn上的運(yùn)算規(guī)則,有可逆線性變換的復(fù)合仍為可逆線性變換。設(shè)為可逆線性變換,對應(yīng)的可逆矩陣仍分別記為,則對任意
可見,可逆線性變換的復(fù)合得到的可逆線性變換,對應(yīng)的矩陣為原變換對應(yīng)矩陣的反序乘積,這一現(xiàn)象也常常導(dǎo)致麻煩:數(shù)學(xué)中常將復(fù)合運(yùn)算寫為運(yùn)算的乘積,即將記為但由上式知,對應(yīng)的矩陣卻為,這為利用矩陣處理變換帶來一點(diǎn)麻煩。
下面討論:在什么條件下,R"的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ei,e2, ,en經(jīng)可逆線性T變換后,得到的也為R"的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基?為此,必須要求
其中注意ei,e2, ,e為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,故設(shè)r上倒數(shù)第二個等式反映的關(guān)系為其中j為n階單位矩陣。由線性代數(shù)知道,這是r為正交矩陣的充要條件,正交矩陣的名稱也由此得到。
為了以后的需要,下面討論R-中的分割經(jīng)可逆線性變換后的結(jié)果。
先給出一個定義。
定義i。i滿足方程的構(gòu)成的集合稱為R?的一個超平面,其中不全為0。有時為敘述簡單起見直接稱
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