目錄
序言
前言
第1章 函數(shù) 1
1.1 函數(shù)的概念 1
1.1.1 函數(shù)的定義 1
1.1.2 函數(shù)的表示法 2
1.1.3 關(guān)于函數(shù)基本概念的例 4
習題1-1 5
1.2 具有某種特性的函數(shù) 6
1.2.1 單調(diào)函數(shù) 6
1.2.2 奇偶函數(shù) 7
1.2.3 有界函數(shù) 8
1.2.4 周期函數(shù) 10
習題1-2 11
1.3 初等函數(shù) 11
1.3.1 函數(shù)的四則運算 11
1.3.2 反函數(shù) 12
1.3.3 復合函數(shù) 14
1.3.4 基本初等函數(shù) 16
1.3.5 初等函數(shù) 20
習題1-3 21
1.4 簡單函數(shù)關(guān)系的建立 22
1.4.1 建立函數(shù)關(guān)系的幾個實例 22
1.4.2 經(jīng)濟學中常見的函數(shù)關(guān)系簡介 24
習題1-4 25
總習題一 26
閱讀材料1 函數(shù)概念的形成與發(fā)展 28
第2章 極限與連續(xù) 30
2.1 數(shù)列的極限 30
2.1.1 數(shù)列 30
2.1.2 數(shù)列極限的定義 31
2.1.3 收斂數(shù)列的性質(zhì)與極限的四則運算法則 37
習題2-1 40
2.2 函數(shù)的極限 41
2.2.1 自變量趨于無窮大時的函數(shù)極限 41
2.2.2 自變量趨于有限值時的函數(shù)極限 43
2.2.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 46
2.2.4 函數(shù)極限的運算法則 48
習題2-2 51
2.3 極限存在的判別準則和兩個重要極限 52
2.3.1 夾逼準則 52
2.3.2 單調(diào)有界準則 55
2.3.3 利用兩個重要極限計算極限的例 59
習題2-3 61
2.4 無窮小量和無窮大量 61
2.4.1 無窮小量的定義和性質(zhì) 61
2.4.2 無窮大量的定義和性質(zhì) 63
2.4.3 無窮小量階的比較 65
2.4.4 無窮小的等價代換 67
習題2-4 69
2.5 函數(shù)的連續(xù)性 70
2.5.1 函數(shù)連續(xù)的定義 71
2.5.2 函數(shù)的間斷點及其分類 73
2.5.3 連續(xù)函數(shù)的運算法則與初等函數(shù)的連續(xù)性 75
習題2-5 77
2.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 78
2.6.1 最大值和最小值定理 79
2.6.2 零點定理與介值定理 80
習題2-6 83
總習題二 83
閱讀材料2 數(shù)學悖論與三次數(shù)學危機 86
第3章 導數(shù)與微分 90
3.1 導數(shù)的概念 90
3.1.1 引例 90
3.1.2 導數(shù)的定義 92
3.1.3 導數(shù)的幾何意義 96
3.1.4 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系 98
習題3-1 99
3.2 函數(shù)的求導法則 100
3.2.1 導數(shù)的四則運算法則 101
3.2.2 反函數(shù)的求導法則 103
3.2.3 復合函數(shù)的求導法則 104
習題3-2 108
3.3 幾類特殊函數(shù)的導數(shù) 109
3.3.1 抽象函數(shù)的導數(shù) 109
3.3.2 分段函數(shù)的導數(shù) 110
3.3.3 隱函數(shù)的導數(shù) 112
3.3.4 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 113
3.3.5 相關(guān)變化率 115
習題3-3 117
3.4 高階導數(shù) 118
3.4.1 高階導數(shù)的定義 118
3.4.2 求高階導數(shù)舉例 119
3.4.3 高階導數(shù)的運算法則 123
習題3-4 124
3.5 函數(shù)的微分 125
3.5.1 微分的定義 125
3.5.2 函數(shù)可微的條件 127
3.5.3 微分的幾何意義 128
3.5.4 微分的運算法則 129
3.5.5 微分在近似計算中的應(yīng)用 131
習題3-5 132
總習題三 133
閱讀材料3 博學多才的符號大師——萊布尼茲 136
第4章 微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用 139
4.1 微分中值定理 139
4.1.1 函數(shù)極值與費馬定理 139
4.1.2 微分中值定理 141
習題4-1 146
4.2 洛必達法則 148
4.2.型不定式極限的L'Hospital法則 148
4.2.2 型不定式極限的L'Hospital法則 150
4.2.3 其他類型的不定式極限的計算 151
習題4-2 154
4.3 泰勒公式 156
4.3.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 156
4.3.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 158
4.3.3 泰勒公式的應(yīng)用舉例 161
習題4-3 165
4.4 函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值 166
4.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 166
4.4.2 函數(shù)的極值 168
4.4.3 函數(shù)的最大值和最小值 172
習題4-4 176
4.5 曲線的凹凸性與拐點 178
習題4-5 182
4.6 函數(shù)圖形的描繪 182
4.6.1 曲線的漸進線 183
4.6.2 函數(shù)圖形的描繪 185
習題4-6 187
4.7 曲線的曲率 188
4.7.1 弧微分 188
4.7.2 平面曲線的曲率 189
4.7.3 曲率的計算公式 190
4.7.4 曲率圓與曲率半徑 192
習題4-7 194
總習題四 194
閱讀材料4 科學巨擘——牛頓 197
第5章 不定積分 200
5.1 不定積分的概念 200
5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 200
5.1.2 基本積分表 203
5.1.3 不定積分的線性運算 204
習題5-1 207
5.2 換元積分法 207
5.2.1 第一換元積分法（湊微分法）207
5.2.2 第二換元積分法 214
習題5-2 220
5.3 分部積分法 221
習題5-3 227
5.4 幾類特殊函數(shù)的不定積分 228
5.4.1 有理函數(shù)的不定積分 228
5.4.2 三角函數(shù)有理式的積分 232
5.4.3 簡單的代數(shù)無理式的積分 234
習題5-4 235
總習題五 236
閱讀材料5 兩種微積分的評說 238
第6章 定積分 240
6.1 定積分的概念和性質(zhì) 240
6.1.1 引例 240
6.1.2 定積分的定義 243
6.1.3 可積的條件 244
6.1.4 定積分的幾何意義 245
6.1.5 定積分的性質(zhì) 246
習題6-1 250
6.2 微積分基本定理 251
6.2.1 變限積分函數(shù)及其導數(shù) 251
6.2.2 微積分基本定理 254
習題6-2 257
6.3 定積分的計算 259
6.3.1 定積分的換元法 259
6.3.2 定積分的分部積分法 262
6.3.3 定積分計算中的幾個常用公式 264
習題6-3 269
6.4 反常積分 270
6.4.1 無窮區(qū)間上的積分 270
6.4.2 無界函數(shù)的積分 273
6.4.3 Γ函數(shù) 277
習題6-4 279
6.5 定積分的應(yīng)用 279
6.5.1 定積分的微元法 279
6.5.2 平面圖形的面積 280
6.5.3 立體的體積 284
6.5.4 平面曲線的弧長 287
*6.5.5 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 289
*6.5.6 定積分在物理上的應(yīng)用舉例 291
習題6-5 295
總習題六 296
閱讀材料6 數(shù)學之神——阿基米德 299
第7章 微分方程 302
7.1 微分方程的基本概念 302
習題7-1 306
7.2—階微分方程 307
7.2.1 可分離變量的微分方程 307
7.2.2 齊次方程 311
7.2.3—階線性微分方程 312
7.2.4 伯努利（Bernoulli)方程 315
習題7-2 317
7.3 幾類可降階的高階微分方程 318
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 318
7.3.2 y''=f(x,y)型的微分方程 319
7.3.3 y''=f(y,y')型的微分方程 320
習題7-3 321
7.4 線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu) 321
習題7-4 325
7.5 二階常系數(shù)線性微分方程 325
7.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 325
7.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 328
7.5.3 n階常系數(shù)齊次線性微分方程 335
7.5.4 歐拉（Fuler)方程 336
習題7-5 338
總習題七 339
閱讀材料7 分析的化身——歐拉 341
習題答案與提示 345
參考文獻 363
附錄 常用符號簡介 364