《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：大學數(shù)學（文科類）（下冊）》是高等學校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)的數(shù)學教材，分上、下兩冊，上冊含一元函數(shù)的微積分和線性代數(shù)部分，內(nèi)容包括初等函數(shù)、極限與連續(xù)、變化率與導數(shù)、積分、線性代數(shù)初步、矩陣與線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型.下冊含多元函數(shù)的微積分、常微分方程和概率統(tǒng)計部分，內(nèi)容包括多元函數(shù)的微分、二重積分、無窮級數(shù)、常微分方程、隨機事件的概率、隨機變量及其概率分布、數(shù)理統(tǒng)計初步，各章均配有適當、適量的習題供讀者學習鞏固。
《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：大學數(shù)學（文科類）（下冊）》既可作為高等學校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)大學數(shù)學課程的教材，也可作為相關(guān)專業(yè)的教學參考書和自學用書。
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大學數(shù)學（文科類）（下冊）是高等學校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)的數(shù)學教材，分上、下兩冊。上冊含一元函數(shù)的微積分和線 性代數(shù)部分，內(nèi)容包括初等函數(shù)、極限與連續(xù)、變化率與導數(shù)、積分、線性代數(shù)初步、矩陣與線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型。下冊含多元函數(shù)的微積分、常微分方程和概率統(tǒng)計部分，內(nèi)容包括多元函數(shù)的微分、二重積分、無窮級數(shù)、常微分方程、隨機事件的概率、隨機變量及其概率分布、數(shù)理統(tǒng)計初步。各章均配有適當、適量的習題供讀者學習鞏固。
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目 錄
連續(xù)思想篇(二)——多元函數(shù)微積分
第1章 多元函數(shù)的微分 3
1.1 空間解析幾何簡介 3
1.1.1 空間直角坐標系3
1.1.2 空間任意兩點間的距離 4
1.1.3 曲面與方程 5
1.2 多元函數(shù)的概念 9
1.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 12
1.3.1 二元函數(shù)的極限 12
1.3.2 二元函數(shù)的連續(xù)性 14
1.4 偏導數(shù)的概念與計算 15
1.5 全微分 19
1.6 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則 22
1.6.1 復合函數(shù)的求導法則 22
1.6.2 全微分形式不變性 25
1.6.3 隱函數(shù)的求導法 26
1.7 多元函數(shù)的極值與數(shù)學模型 29
1.7.1 多元函數(shù)的極值 29
1.7.2 多元函數(shù)的最值 31
1.7.3 條件極值 32
1.7.4 數(shù)學模型 34
數(shù)學重要歷史人物——拉格朗日 37
習題1 38
第2章 二重積分 41
2.1 二重積分的概念與性質(zhì) 41
2.1.1 工重積分的概念 41
2.1.2 二重積分的性質(zhì) 44
2.2 二重積分的計算 6
2.2.1 直角坐標系下二重積分的計算 45
2.2.2 極坐標系下二重積分的計算 50
2.3 二重積分的應(yīng)用 54
數(shù)學重要歷史人物——牛頓 56
習題2 58
第3章 無窮級數(shù) 61
3.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 61
3 1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念 61
3 1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 65
3.2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法 68
3.2.1 正項級數(shù)及其審斂法 68
3.2.2 任意項級數(shù)及其審斂法 71
3.3 幕級數(shù) 74
3.3.1 函數(shù)項級數(shù)的概念 74
3.3.2 幕級數(shù)及其收斂區(qū)間 75
3.3.3 幕級數(shù)的運算 77
3.4 泰勒級數(shù) 79
3.4.1 泰勒級數(shù)的概念 80
3.4.2 函數(shù)展開成幕級數(shù) 82
3.5 級數(shù)的應(yīng)用及數(shù)學模型 85
數(shù)學重要歷史人物傅里葉 88
習題3 89
第4章 常微分方程 94
4.1 微分方程的概念 94
4.2 一階微分方程 95
4.2.1 可分離變量的微分方程 96
4.2.2 一階線性微分方程 97
4.3 可降階的二階微分方程 98
4.3.1 y(n)=f(x)型 99
4.3.2 y"=f(x，y')型 99
4.3.3 y"=f(y，y')型 100
4.4 二階常系數(shù)線性微分方程 101
4.4.1 工階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 102
4.4.2 二階常系數(shù)線性齊次方程 103
4.4.3 二階常系數(shù)線性非齊次方程 105
4.5 微分方程的應(yīng)用 109
4.5.1 放射性元素的衰變 109
4.5.2 下雪時間的確定 110
4.5.3 化工車間的通風 110
4.5.4 商品價格浮動的規(guī)律 111
數(shù)學重要歷史人物——歐拉 112
習題4 114
隨機思想篇
第5章 隨機事件的概率 119
5.1 隨機事件 119
5.1.1 隨機試驗和樣本空間 119
5.1.2 隨機事件及其運算 119
5.2 隨機事件的概率123
5.2.1 概率的統(tǒng)計定義 123
5.2.2 概率的性質(zhì) 124
5.3 古典概型 125
5 4 條件概率 127
5.4.1 條件概率的定義 127
5.4.2 概率的乘法公式 128
5.4.3 全概率公式 128
5.4.4 貝葉斯公式 130
5.5 事件的獨立性 131
數(shù)學重要歷史人物——貝葉斯 133
習題5 134
第6章 隨機變量及其概率分布 138
6.1 隨機變量及其分布函數(shù) 138
6 1.1 隨機變量的定義 138
6 1.2 隨機變量分布函數(shù)的定義 139
6 1.3 隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì) 140
6.2 離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量 141
6.2.1 離散型隨機變量 141
6.2.2 連續(xù)型隨機變量 145
6.3 二維隨機變量及其概率分布 152
6.3.1 二維隨機變量 152
6.3.2 隨機變量的獨立性 158
6.4 隨機變量的數(shù)字特征 160
6.4.1 數(shù)學期望 160
6.4.2 方差 163
6.4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 166
6.5 大數(shù)定律與中心極限定理 169
6.5.1 切比雪夫不等式 169
6.5.2 大數(shù)定律 170
6.5.3 中心極限定理 171
數(shù)學重要歷史人物——棣莫弗 173
習題6 175
第7章 數(shù)理統(tǒng)計初步 180
7.1 基本概念 180
7.1.1 總體和樣本 180
7 1.2 統(tǒng)計量和抽樣分布 181
7.2 參數(shù)估計 187
7.2.1 點估計 187
7.2.2 評價估計量的標準 190
7.2.3 區(qū)間估計 191
7.3 假設(shè)檢驗 196
7.3.1 假設(shè)檢驗的基本概念和兩類錯誤 196
7.3.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗 198
7.3.3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗 200
7.4 回歸分析 201
7.4.1 一元線性回歸方程的建立 202
7.4.2 回歸方程的顯著性檢驗 204
7.5 統(tǒng)計模型及其應(yīng)用 206
7.5.1 隨機變量的模擬 206
7.5.2 隨機數(shù)的模擬 207
7.6* 本章相關(guān)結(jié)論的證明 208
數(shù)學重要歷史人物——泊松 214
習題7 216
習題答案 221
參考文獻 233
附表 234
附表F.1 泊松分布表 234
附表F.2 標準正態(tài)分布表 235
附表F.3 滬分布臨界值表 236
附表F.4 t分布臨界值表 237
附表F.5 F分布臨界值表 238
附表F.6 相關(guān)系數(shù)檢驗表 244
在自然科學和工程技術(shù)中經(jīng)常會遇到多于一個自變量的函數(shù), 這種函數(shù)稱為多元函
數(shù). 多元函數(shù)的微分學是一元函數(shù)微分學的推廣, 它們有著許多類似之處, 但又有較大
的區(qū)別. 從一元函數(shù)到二元函數(shù)會產(chǎn)生許多新的問題, 但由二元函數(shù)到三元函數(shù)或更多
元函數(shù)是很自然的. 因此本章著重討論二元函數(shù)的微分學. 作為二元函數(shù)微分學的預備
知識, 先簡單介紹空間解析幾何的內(nèi)容.
1.1 空間解析幾何簡介
1.1.1 空間直角坐標系
平面解析幾何中, 建立了平面直角坐標系, 并利用平面直角坐標系建立了平面上的
點與二元有序數(shù)組(即坐標) 之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 同樣, 為了把空間任一點與有序數(shù)組
對應(yīng)起來, 我們來建立空間直角坐標系.
過空間一定點O, 作三條相互垂直的數(shù)軸：x 軸, y
軸, z 軸, 統(tǒng)稱為坐標軸. 它們的次序和方向一般按右
手法則規(guī)定, 即用右手握住z 軸, 四指從x 軸的正向旋
轉(zhuǎn)90± 到y(tǒng) 軸正向時, 拇指的指向就是z 軸的正向. 不
加特別說明, 一般三條坐標軸的長度單位都相同. 這樣,
得到空間直角坐標系, 一般稱為右手系, 如圖1.1 所示.
定點O 稱為坐標原點, 由兩條坐標軸確定的平面
稱為坐標平面. 例如, 由x 軸和y 軸確定的坐標面稱為圖1.1
xOy 坐標面, y 軸和z 軸確定的坐標面稱為yOz 坐標面, z 軸和x 軸確定的坐標面稱為
zOx 坐標面. 如圖1.2 所示, 通常將xOy 坐標面配置在水平面上. 三個坐標平面把空間
分成8 個部分, 每一部分稱為一個卦限. 含有三個坐標軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限, 在
xOy 平面上方由第一卦限依逆時針方向依次為Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ卦限. 在xOy 平面下方與第Ⅰ
卦限相對的為第Ⅴ卦限, 依逆時針方向依次為Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ卦限, 如圖1.3 所示.
給定空間任一點M, 過M 分別作x 軸, y 軸和z 軸的垂面, 分別交x 軸, y 軸, z
軸于點P; Q;R, 設(shè)P; Q;R 三點在三條坐標軸上的坐標依次為x; y; z, 則稱點M 確定了
一個三元有序數(shù)組(x; y; z); 反之, 對任意一個三元有序數(shù)組(x; y; z), 在x 軸, y 軸和z
軸上分別取坐標為x; y; z 的三點P; Q;R, 然后過P; Q;R 分別作垂直于x 軸, y 軸和z
軸的平面, 這三個平面交于一點M, 則由三元有序數(shù)組(x; y; z) 唯一地確定了空間一點
M. 這樣, 在空間建立了坐標系之后, 空間任一點M 與三元有序數(shù)組之間建立了一一對
應(yīng)關(guān)系(圖1.2), 稱這個三元有序數(shù)組為點M 的坐標, 記為M(x; y; z).
坐標原點的坐標為O(0; 0; 0); x 軸, y 軸和z 軸上點的坐標分別為(x; 0; 0); (0; y; 0) 和
(0; 0; z) 的形式; xOy 坐標面, yOz 坐標面和zOx 坐標面上點的坐標分別為(x; y; 0); (0; y; z)
和(x; 0; z) 的形式.
1.1.2 空間任意兩點間的距離
設(shè)M1(x1; y1; z1),M2(x2; y2; z2) 是空間任意兩點, 過M1 和M2 分別作垂直于三個
坐標軸的平面得六個平面, 這六個平面圍成一個以M1M2 為對角線的長方體, 如圖1.4
所示.
jM1M2j2 = jM1Nj2 + jNM2j2 ;
又
jM1Nj2 = jM1Pj2 + jPNj2 ;
于是,
jM1M2j2 = jM1Pj2 + jPNj2 + jNM2j2 :
又
jM1Pj=jP1P2j=jx2 ? x1j ; jPNj=jQ1Q2j=jy2 ? y1j ; jNM2j=jR1R2j=jz2 ? z1j ;
因此
jM1M2j = p(x2 ? x1)2 + (y2 ? y1)2 + (z2 ? z1)2: (1:1)
這就是空間兩點間的距離公式.
特殊地, 點M(x; y; z) 與坐標原點O(0; 0; 0) 的距離為
d = jOMj = px2 + y2 + z2:
1.1.3 曲面與方程
1. 曲面方程的概念
在日常生活中, 經(jīng)常會遇到各種曲面, 如反光鏡的鏡面、管道的外表面以及錐面等.
在平面解析幾何中, 把平面曲線看成是動點的運動軌跡. 同樣, 在空間解析幾何中,
也把曲面看成是動點的運動軌跡.
設(shè)曲面S 與方程
F(x; y; z) = 0 (1:2)
有下述關(guān)系：
(1) 曲面S 上任一點的坐標都滿足方程(1.2);
(2) 不在曲面S 上的點的坐標都不滿足方程(1.2),
那么方程(1.2) 就稱為曲面S 的方程, 曲面S 稱為方程(1.2) 的圖形(圖1.5).
下面建立幾個常見曲面的方程.
例1.1 建立球心在點M0(x0; y0; z0)、半徑為R 的球面的方程(圖1.6).
解設(shè)M(x; y; z) 是球面上的任一點, 則有jM0Mj = R. 由于
jM0Mj = p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2;
所以
p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R;
即
(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R2: (1:3)
這就是球面上任一點的坐標所滿足的方程, 而不在球面上的點都不滿足方程(1.3), 因此
方程(1.3) 就是以點M0(x0; y0; z0) 為球心、R 為半徑的球面的方程.
如果球心在坐標原點, 則球面方程為
x2 + y2 + z2 = R2: (1:4)
例1.2 設(shè)有點A(1; 2; 3) 和B(2;?1; 4), 求線段AB 的垂直平分面的方程.
解由題意知道, 所求的平面就是與A 和B 等距離的點的幾何軌跡. 設(shè)M(x; y; z)
為所求平面上的任一點, 根據(jù)題意, 有
jAMj = jBMj ;
即
p(x ? 1)2 + (y ? 2)2 + (z ? 3)2 = p(x ? 2)2 + (y + 1)2 + (z ? 4)2;
兩邊平方, 并化簡得
2x ? 6y + 2z ? 7 = 0:
這就是所求平面上點的坐標所滿足的方程. 不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方
程, 所以該方程就是所求平面的方程.
例1.3 求三個坐標面的方程.
解xOy 面上任何一點的坐標均為(x; y; 0) 的形式, 即任何一點的z 坐標都為0;
反過來, 滿足z = 0 的點也必然在xOy 面上. 因此xOy 面的方程為z = 0.
類似地, yOz 面和zOx 面的方程分別為x = 0 和y = 0.
例1.4 研究方程z = c (c 為常數(shù)) 的圖形.
解方程z = c 中不含x; y, 即對于z = c 所表示
圖形上的任意一點, 其坐標都為(x; y; c) 的形式, z = c
表示的圖形可以看成是由xOy 面向上(c > 0) 或向下
(c < 0) 平移jcj 個單位得到, 如圖1.7 所示.
例1.2, 例1.3 和例1.4 所研究的方程都是一次方
程, 所考察的圖形都是平面. 可以證明任何一個三元一
次方程
Ax + By + Cz + D = 0
圖1.7
(A;B;C;D 均為常數(shù), 且A;B;C 不全為0) 的圖形都是一張平面; 反之, 任何一張平面
的方程都是三元一次方程.
2. 柱面
平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線L 所形成的曲面S 稱為柱面(圖1.8). 定
曲線C 稱為柱面的準線, 動直線L 稱為柱面的母線.
例如, 方程x2 +y2 = R2 表示的圖形是以xOy 面上的圓周x2 +y2 = R2 為準線, 母
線平行于z 軸的柱面, 稱為圓柱面, 如圖1.9 所示.
一般地, F(x; y) = 0 表示以xOy 面上的曲線F(x; y) = 0 為準線, 母線平行于z 軸
的柱面, 如圖1.8 所示. H(y; z) = 0 表示以yOz 面上的曲線H(y; z) = 0 為準線, 母線平
行于x 軸的柱面. G(z; x) = 0 表示以zOx 面上的曲線G(z; x) = 0 為準線, 母線平行于
y 軸的柱面.
3. 旋轉(zhuǎn)曲面
以一條平面曲線C 繞其平面上的一條直線L 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面S 稱為旋轉(zhuǎn)曲
面. 平面曲線C 稱為曲面S 的母線, 定直線L 稱為曲面S 的軸, 如圖1.10 所示.
可以求得, yOz 坐標面上的曲線C : f(y; z) = 0 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面
S 的方程為
f(§px2 + y2; z) = 0:
曲線C 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面S 的方程為
f(y; §px2 + z2) = 0:
其他類似.
例如, 圓錐面就是一旋轉(zhuǎn)曲面. 它是一條直線L 繞另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)一周
所得. 兩直線的交點稱為圓錐面的頂點, 兩直線的夾角? 30 < ? <
2 ′ 稱為圓錐面的半
頂角.
例1.5 試建立頂點在坐標原點O, 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為? 的圓錐面的方程.
解如圖1.11 所示, 直線L 的方程為z = y cot ?. 將L 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲
面方程為
z = §px2 + y2 cot ?:
令a = cot ?, 于是得到圓錐面的方程
z2 = a2(x2 + y2):
常見的二次曲面還有橢球面
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 (圖1.12); 橢圓拋物面
x2
a2 + y2
b2 = z
(圖1.13) 等. 一般地, 三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.
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