目錄
叢書序
前言
引言
0.1 Riemann積分理論的局限性 2
0.1.1 可積函數(shù)對(duì)連續(xù)性的要求 2
0.1.2 積分與極限運(yùn)算順序的交換 2
0.1.3 可積函數(shù)空間的完備性 3
0.2 Lebesgue積分思想的大體描述 3
0.3 實(shí)變函數(shù)論的主要內(nèi)容 5
第1章 集合與Rn中的點(diǎn)集
1.1 集合與集合的運(yùn)算 8
1.1.1 集合的基本概念 8
1.1.2 集合的運(yùn)算 8
1.1.3 集列的極限 12
1.2 映射 可列集與基數(shù) 13
1.2.1 映射 13
1.2.2 可列集 15
1.2.3 基數(shù) 20
1.3 集類 26
1.3.1 代數(shù)與σ-代數(shù) 26
1.3.2* 單調(diào)類定理 29
1.4 Rn中的點(diǎn)集 30
1.4.1 Rn上的距離 31
1.4.2 開集與閉集 32
1.4.3 連續(xù)函數(shù) 36
1.4.4 開集的構(gòu)造 37
1.4.5 Borel集 39
1.4.6 Cantor集 40
習(xí)題1 42
第2章 Lebesgue測(cè)度
2.1 外測(cè)度 48
2.2 可測(cè)集與測(cè)度 53
2.2.1 可測(cè)集的定義 53
2.2.2 可測(cè)集與測(cè)度的性質(zhì) 55
2.2.3 測(cè)度計(jì)算的例 60
2.3 可測(cè)集與測(cè)度(續(xù)) 61
2.3.1 可測(cè)集的逼近性質(zhì) 61
2.3.2* Lebesgue-Stieltjes測(cè)度 64
2.3.3* 不可測(cè)集的例 66
2.4* 測(cè)度空間 68
2.4.1 環(huán)上的測(cè)度 68
2.4.2 外測(cè)度與測(cè)度的延拓 70
習(xí)題2 75
第3章 可測(cè)函數(shù)
3.1 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì) 80
3.1.1 可測(cè)函數(shù)的定義與例 80
3.1.2 可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算封閉性 82
3.1.3 可測(cè)函數(shù)用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近 84
3.2 可測(cè)函數(shù)列的收斂 88
3.2.1 幾乎處處成立的性質(zhì) 88
3.2.2 可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂 89
3.2.3 幾種收斂的相互關(guān)系 90
3.3 可測(cè)函數(shù)用連續(xù)函數(shù)逼近 93
3.4* 測(cè)度空間上的可測(cè)函數(shù) 98
習(xí)題3 101
第4章 Lebesgue積分
4.1 積分的定義 106
4.1.1 非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分 106
4.1.2 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分 107
4.1.3 一般可測(cè)函數(shù)的積分 109
4.1.4 可積性 110
4.2 積分的性質(zhì) 112
4.2.1 積分的初等性質(zhì) 112
4.2.2 復(fù)值可測(cè)函數(shù)的積分 116
4.3 積分的極限定理 117
4.4 Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系 121
4.4.1 兩種積分的關(guān)系 121
4.4.2 幾個(gè)例子 124
4.5 可積函數(shù)的逼近性質(zhì) 125
4.6 重積分與累次積分 Fubini定理 128
4.6.1 Fubini定理 128
4.6.2* 積分的幾何意義 135
4.7* 測(cè)度空間 137
4.7.1 測(cè)度空間上的積分 137
4.7.2 乘積測(cè)度空間與Fubini定理 139
習(xí)題4 144
第5章 微分與不定積分
5.1 單調(diào)函數(shù)的可微性 150
5.2 有界變差函數(shù) 155
5.3 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與不定積分 159
5.3.1 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與Newton-Leibniz公式 160
5.3.2* 積分的變量代換 164
習(xí)題5 167
第6章 Lp空間
6.1 Lp空間的定義 172
6.2 Lp空間的性質(zhì) 175
6.3 L2空間 180
6.3.1 L2空間中的正交性 180
6.3.2 規(guī)范正交系 182
習(xí)題6 187
部分習(xí)題的提示與解答要點(diǎn)
參考文獻(xiàn)
附錄 等價(jià)關(guān)系 半序集與Zorn引理