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本套書對20世紀(jì)中葉以前出版的美英教科書（本套書中稱之為“美英早期教科書”）進行了系統(tǒng)地研究，其研究對象并非某一年出版的某一種或幾種教科書，而是一個世紀(jì)、一個半世紀(jì)，甚至兩個世紀(jì)間出版的幾十種、上百種，甚至兩百余種教科書。研究者并不關(guān)心教科書的外在形式（如欄目、插圖、篇幅等），而是聚焦于教科書中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，具體從兩個方向展開研究：一是對概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導(dǎo)方法、法則的不同解釋、定理的不同應(yīng)用以及數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式、教育價值觀等進行分類統(tǒng)計；二是在研究對象所在的整個時間段內(nèi)，分析不同定義、方法、應(yīng)用等的演變規(guī)律。
本套書所呈現(xiàn)的研究結(jié)果，對數(shù)學(xué)教學(xué)有著豐富的參考價值。
其一，從一個世紀(jì)或兩個世紀(jì)的漫長時間里，我們可以很清晰地看到教科書所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念從不完善到完善的演進過程。例如，無理數(shù)概念從“開不盡的根”到“無限不循環(huán)小數(shù)”，再到戴德金分割的發(fā)展；函數(shù)概念從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”，到“變量對應(yīng)關(guān)系”，再到“集合對應(yīng)法則”的進化；棱柱概念從歐氏定義到改進的歐氏定義、從基于棱柱面的定義到基于棱柱空間的定義的演變；圓錐曲線從截線定義到幾何性質(zhì)定義、從焦半徑定義到焦點—準(zhǔn)線定義的更替；三角函數(shù)概念從銳角到鈍角，再到任意角的擴充，這些正是人們認識概念曲折漫長過程的縮影，這種過程為今日教師預(yù)測學(xué)生認知、設(shè)計探究活動提供了重要參照。
其二，對于一個公式、定理或法則，不同時間出版的不同教科書往往給出不同的推導(dǎo)或證明，如幾何中的圓面積和球體積公式的證明、代數(shù)中的一元二次方程和等差或等比數(shù)列前 n 項和的求解、解析幾何中的點到直線的距離公式和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、平面三角中的正弦和余弦定理的證明等，通過對早期教科書的考察，可以對不同方法進行歸類，并對方法的演變規(guī)律加以分析，為公式或命題的探究式教學(xué)提供參照，也為“古今對照”的評價方式提供依據(jù)。
其三，不同的教科書都有自己的邏輯體系，從整體上對其加以了解，可以幫助教師理解古今教科書的差異，從而更好地分析和把握現(xiàn)行教科書，進而提升教學(xué)水平。例如，關(guān)于“等腰三角形底角相等”這一定理，不同教科書的證明方法互有不同，有的采用作頂角平分線的方法，有的采用作底邊上的高線的方法，有的則采用作底邊上的中線的方法，不同方法的背后是不同的邏輯體系。
其四，對于早期教科書的研究，有助于教師建立不同知識點之間的聯(lián)系，如幾何中的三角形中位線定理與平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理、三角形一邊平行線定理及其逆定理之間的聯(lián)系，解析幾何中的三種圓錐曲線的統(tǒng)一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之間的聯(lián)系，等等。
其五，早期教科書（特別是20世紀(jì)10年代之后出版的教科書）留下了豐富多彩的數(shù)學(xué)文化素材，如數(shù)學(xué)價值觀、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)的歷史等，這些素材是今日教學(xué)的有益資源，也有助于教師樹立正確的數(shù)學(xué)觀。

近年來，HPM視角HPM原指“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組”（The International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），現(xiàn)也泛指“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系”這一研究領(lǐng)域。所謂“HPM視角”，是指融入數(shù)學(xué)史以優(yōu)化教學(xué)目標(biāo)、促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、改善教學(xué)效果的視角。下的數(shù)學(xué)教學(xué)因其在落實立德樹人方面的有效性而受到人們的普遍關(guān)注。HPM教學(xué)理念逐漸深入人心，HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體悄然誕生，越來越多的教師開始嘗試將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計之中。就像具有特定風(fēng)味的一道好菜離不開優(yōu)質(zhì)的食材一樣，HPM視角下的一節(jié)好課離不開恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史材料，因而數(shù)學(xué)史素材的缺失是開展HPM課例研究的主要障礙。
在某一個數(shù)學(xué)主題上，要獲得足夠的數(shù)學(xué)史素材，就需要開展教育取向的歷史研究，而教育取向的歷史研究往往又有兩條路徑，其一是一般發(fā)展史，其二是教育史。以三角形內(nèi)角和定理為例，從泰勒斯的發(fā)現(xiàn)，到畢達哥拉斯學(xué)派和歐幾里得的證明，到普羅克拉斯避開平行線的嘗試，到克萊羅的發(fā)生式設(shè)計，最終到提波特避開平行線的證明，構(gòu)成了定理的一般發(fā)展歷史，而該定理在18—20世紀(jì)幾何教科書中的呈現(xiàn)，則屬于它的教育史。當(dāng)然，在很多情況下，一般發(fā)展史和教育史也并非涇渭分明，而是多有重疊和交叉。本套書采取后一條路徑，對20世紀(jì)中葉以前出版的美英教科書（本套書稱之為“美英早期教科書”）進行系統(tǒng)的研究。
本套書的研究對象并非某一年出版的某一種或幾種教科書，而是一個世紀(jì)、一個半世紀(jì)，甚至兩個世紀(jì)間出版的幾十種、上百種，甚至兩百余種教科書。研究者并不關(guān)心教科書的外在形式（如欄目、插圖、篇幅等），而是聚焦于教科書中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，具體從兩個方向展開研究：一是對概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導(dǎo)方法、法則的不同解釋、定理的不同應(yīng)用以及數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式、教育價值觀等進行分類統(tǒng)計；二是在研究對象所在的整個時間段內(nèi)，分析不同定義、方法、應(yīng)用等的演變規(guī)律。
對于我的研究生來說，研究早期教科書時會遇到三點困難。
一是文獻數(shù)量龐大。尚未接受過文獻研究系統(tǒng)訓(xùn)練的研究生，初次面對數(shù)以百計的文獻，對其分析、總結(jié)、提煉能力提出很大的挑戰(zhàn)。實際上，教科書研究還不能僅僅局限于教科書，正如讀者將要看到的那樣，某些主題還涉及出版時間更早的拉丁文和法文文獻。
二是書籍版本復(fù)雜。同一作者的同一本書，其中部分內(nèi)容往往隨著時間的推移而有變化，如勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》先后有28個版本，后來的版本往往會對某些主題進行修訂，比如，關(guān)于命題“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”的證明，1861年及以前諸版本采用了疊合法，1863年及以后諸版本則拋棄了疊合法而采用弧弦關(guān)系（等弦對等�。┓�。
又如，關(guān)于線面垂直判定定理，普萊費爾《幾何基礎(chǔ)》的第1版(1795)完全沿用了歐幾里得的證明，而1814年、1819年和1822年諸版本則改用勒讓德的證明，1829年的美國版本又采用了新的等腰三角形證法。

三是歷史知識缺失。教科書中所呈現(xiàn)的概念定義、定理證明、公式推導(dǎo)，有些屬于編者的首創(chuàng)，有些卻只是復(fù)制了更早時期數(shù)學(xué)家的定義、證明或推導(dǎo)方法。如果研究者對于一個主題的宏觀歷史缺乏了解，就會陷入“只見樹木，不見森林”的境地，從而難以對教科書作出客觀的評價。
盡管如此，早期教科書研究對于促進作為研究者的職前教師的專業(yè)發(fā)展卻具有十分重要的意義。
首先，聚焦某個主題、帶著特定問題去研究早期系列教科書，研究者需要祛除心中的浮氣，練好坐冷板凳的功夫。忽略一種教科書，或浮光掠影、一目十行，都可能意味著與一種獨特的定義、巧妙的方法或精彩的問題失之交臂，唯有潛下心來一本一本地細讀，才能獲得客觀全面的結(jié)果。
其次，文獻研究是任何一項學(xué)術(shù)研究的第一步，早期教科書研究為文獻研究提供了良好的機會，可以提升研究者的文獻駕馭能力和分析、總結(jié)、歸納、提煉能力，為未來的數(shù)學(xué)教育研究打下堅實的基礎(chǔ)。
再次，盡管研究者受過大學(xué)數(shù)學(xué)教育，但由于大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的脫節(jié)，他們對中學(xué)數(shù)學(xué)的認識往往停留在中學(xué)時代用過的數(shù)學(xué)教科書中，而中學(xué)時代以應(yīng)試為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往重程序性理解而輕關(guān)系性理解。超越刷題應(yīng)試這個目標(biāo)來研究一系列教科書，走進另一個時代、另一種文化中的編者的心靈之中，研究者必將能夠跨越大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)知識之間的鴻溝，更加深刻地理解有關(guān)知識。
最后，只有走進歷史的長河中，教師才能感悟自己所熟悉的某種數(shù)學(xué)教科書，和歷史上任何一種教科書一樣，都不可能是教科書的頂點和終點，都只不過是匆匆過客，隨著時間的推移，舊教科書會被新教科書取代，而新教科書很快又會成為被取代的舊教科書。對早期教科書的系統(tǒng)研究，將增強研究者的歷史感，開闊他們的視野，培育他們的遠見卓識。
早期教科書研究，讓未來教師更優(yōu)秀！
本套書所呈現(xiàn)的研究結(jié)果，對數(shù)學(xué)教學(xué)有著豐富的參考價值。
其一，從一個世紀(jì)或兩個世紀(jì)的漫長時間里，我們可以很清晰地看到教科書所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念從不完善到完善的演進過程。例如，無理數(shù)概念從“開不盡的根”到“無限不循環(huán)小數(shù)”，再到戴德金分割的發(fā)展；函數(shù)概念從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”，到“變量對應(yīng)關(guān)系”，再到“集合對應(yīng)法則”的進化；棱柱概念從歐氏定義到改進的歐氏定義、從基于棱柱面的定義到基于棱柱空間的定義的演變；圓錐曲線從截線定義到幾何性質(zhì)定義、從焦半徑定義到焦點-準(zhǔn)線定義的更替；三角函數(shù)概念從銳角到鈍角，再到任意角的擴充，這些正是人們認識概念曲折漫長過程的縮影，這種過程為今日教師預(yù)測學(xué)生認知、設(shè)計探究活動提供了重要參照。
其二，對于一個公式、定理或法則，不同時間出版的不同教科書往往給出不同的推導(dǎo)或證明，如幾何中的圓面積和球體積公式的證明、代數(shù)中的一元二次方程和等差或等比數(shù)列前n項和的求解、解析幾何中的點到直線的距離公式和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、平面三角中的正弦和余弦定理的證明等，通過對早期教科書的考察，可以對不同方法進行歸類，并對方法的演變規(guī)律加以分析，為公式或命題的探究式教學(xué)提供參照，也為“古今對照”的評價方式提供依據(jù)。
其三，不同的教科書都有自己的邏輯體系，從整體上對其加以了解，可以幫助教師理解古今教科書的差異，從而更好地分析和把握現(xiàn)行教科書，進而提升教學(xué)水平。例如，關(guān)于“等腰三角形底角相等”這一定理，不同教科書的證明方法互有不同，有的采用作頂角平分線的方法，有的采用作底邊上的高線的方法，有的則采用作底邊上的中線的方法，不同方法的背后是不同的邏輯體系。
其四，對于早期教科書的研究，有助于教師建立不同知識點之間的聯(lián)系，如幾何中的三角形中位線定理與平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理、三角形一邊平行線定理及其逆定理之間的聯(lián)系，解析幾何中的三種圓錐曲線的統(tǒng)一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之間的聯(lián)系，等等。
其五，早期教科書（特別是20世紀(jì)10年代之后出版的教科書）留下了豐富多彩的數(shù)學(xué)文化素材，如數(shù)學(xué)價值觀、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)的歷史等，這些素材是今日教學(xué)的有益資源，也有助于教師樹立正確的數(shù)學(xué)觀。
華東師范大學(xué)出版社的副總編輯李文革先生對本套書的出版給予了鼎力支持和重要指導(dǎo)，平萍、宋紅廣、時東明等多位編輯就本書中的有關(guān)行文、圖片、數(shù)據(jù)等問題提出了寶貴的意見或建議，美編劉怡霖為本書的版式和封面作了精心設(shè)計。在此一并致謝。

2021年12月1日

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