本書是變分法方面的專著，書中系統(tǒng)地介紹變分法的基本理論及其應(yīng)用。 編寫本書的目的是希望為高等院校的研究生和高年級大學(xué)生提供一本學(xué)習(xí)變分法課程的教材或教學(xué)參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計算方法。內(nèi)容包括預(yù)備知識、固定邊界的變分問題、可動邊界的變分問題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問題、參數(shù)形式的變分問題、變分原理、變分問題的直接方法和力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用。其中一部分內(nèi)容是作者多年來的研究成果，特別是提出了完全泛函的極值函數(shù)定理，統(tǒng)一了變分法中的各種歐拉方程。本書也可供有關(guān)專業(yè)的教師和科技人員參考。 本書概念清楚，邏輯清晰，內(nèi)容豐富，深入淺出，便于自學(xué)，既注重方法的介紹，又不失數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。書中列有大量例題和習(xí)題，并附有中英文索引。為了幫助讀者解決學(xué)習(xí)中遇到的困難，本書給出了各章共226道習(xí)題的全部解答，供讀者參考。
前言
第1章 預(yù)備知識
1.1 泰勒公式
1.2 含參變量的積分
1.3 場論基礎(chǔ)
1.4 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的坐標(biāo)變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、克羅內(nèi)克爾符號和排列符號
1.7 張量的基本概念
1.8 常用不等式
1.9 名家介紹
習(xí)題1
第2章 固定邊界的變分問題
2.1 古典變分問題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴于多個一元函數(shù)的變分問題
2.7 依賴于高階導(dǎo)數(shù)的變分問題
2.8 依賴于多元函數(shù)的變分問題
2.9 完全泛函的變分問題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名家介紹
習(xí)題2
第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值曲線場
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數(shù)與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名家介紹
習(xí)題3
第4章 可動邊界的變分問題
4.1 最簡泛函的變分問題
4.2 含有多個函數(shù)的泛函的變分問題
4.3 含有高階導(dǎo)數(shù)的泛函的變分問題
4.4 含有多元函數(shù)的泛函的變分問題
4.5 具有尖點的極值曲線
4.6 單側(cè)變分問題
4.7 名家介紹
習(xí)題4
第5章 條件極值的變分問題
5.1 完整約束的變分問題
5.2 微分約束的變分問題
5.3 等周問題
5.4 混合型泛函的極值問題
5.5 名家介紹
習(xí)題5
第6章 參數(shù)形式的變分問題
6.1 曲線的參數(shù)形式及齊次條件
6.2 參數(shù)形式的等周問題和測地線
6.3 可動邊界參數(shù)形式泛函的極值
習(xí)題6
第7章 變分原理
7.1 集合與映射
7.2 集合與空間
7.3 標(biāo)準(zhǔn)正交系與傅里葉級數(shù)
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導(dǎo)數(shù)
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共軛常微分方程邊值問題等價的變分問題
7.8 與自共軛偏微分方程邊值問題等價的變分問題
7.9 弗里德里希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名家介紹
習(xí)題7
第8章 變分問題的直接方法
8.1 極小(極大)化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 里茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特征值和特征函數(shù)
8.8 名家介紹
習(xí)題8
第9章 力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
9.1 力學(xué)的基本概念
9.2 虛位移原理
9.3 最小勢能原理
9.4 余虛功原理
9.5 最小余能原理
9.6 哈密頓原理及其應(yīng)用
9.7 赫林格-賴斯納廣義變分原理
9.8 胡海昌-鷲津久一郎廣義變分原理
9.9 莫培督-拉格朗日最小作用量原理
9.10 名家介紹
習(xí)題9
附錄1 習(xí)題全解
附錄2 索引
參考文獻
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