目錄
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》序
前言
第1章 關(guān)系與相關(guān)性 1
1.1 集合算術(shù) 1
1.1.1 集合比較與運(yùn)算 1
1.1.2 集族與多元組 4
1.1.3 截口與映射 7
練習(xí) 11
1.2 二元關(guān)系 12
1.2.1 復(fù)合與逆 12
1.2.2 等價(jià)關(guān)系 16
1.2.3 順序關(guān)系 19
練習(xí) 22
1.3 基數(shù)算術(shù) 23
1.3.1 對(duì)等集合 23
1.3.2 基數(shù)與其比較 26
1.3.3 基數(shù)運(yùn)算 30
練習(xí) 33
1.4 完備序集 34
1.4.1 上確界與下確界 34
1.4.2 上極限與下極限 37
1.4.3 級(jí)數(shù)與乘積 41
練習(xí) 44
第2章 測(cè)度與可測(cè)性 46
2.1 可列加性 46
2.1.1 測(cè)度起源 46
2.1.2 集環(huán) 49
2.1.3 集函數(shù) 51
練習(xí) 54
2.2 集族擴(kuò)張 56
2.2.1 單調(diào)環(huán) 56
2.2.2 集族歸納法 60
練習(xí) 62
2.3 測(cè)度擴(kuò)張 63
2.3.1 外測(cè)度法 63
2.3.2 基本性質(zhì) 66
2.3.3 唯一擴(kuò)張 69
練習(xí) 70
2.4 常用測(cè)度 71
2.4.1 正則性 71
2.4.2 映射與測(cè)度計(jì)算 74
2.4.3 可乘性 78
練習(xí) 81
2.5 可測(cè)映射 82
2.5.1 可測(cè)性 82
2.5.2 帶號(hào)函數(shù) 85
2.5.3 復(fù)值函數(shù) 89
練習(xí) 92
2.6 函數(shù)序列 93
2.6.1 與測(cè)度無關(guān)的收斂性 94
2.6.2 與測(cè)度有關(guān)的收斂性 97
2.6.3 閱讀材料 101
2.6.4 附錄(可測(cè)性的延伸) 104
練習(xí) 107
第3章 積分與可積性 109
3.1 微量累積 109
3.1.1 積分簡(jiǎn)史 109
3.1.2 積分運(yùn)算 113
3.1.3 常用積分 119
練習(xí) 121
3.2 極限定理 122
3.2.1 單調(diào)收斂性 122
3.2.2 控制收斂性 125
3.2.3 變量代換 127
練習(xí) 131
3.3 累次積分 133
3.3.1 乘積測(cè)度 133
3.3.2 重積分的計(jì)算 136
3.3.3 閱讀材料 140
練習(xí) 143
3.4 平均收斂 144
3.4.1 幾個(gè)不等式 144
3.4.2 平均收斂與其特征 147
3.4.3 閱讀材料 150
練習(xí) 154
3.5 廣義測(cè)度 155
3.5.1 帶號(hào)情形 155
3.5.2 加權(quán)測(cè)度 158
3.5.3 測(cè)度比較 161
3.5.4 附錄(積分的其他定義方式) 164
練習(xí) 168
第4章 導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)性 170
4.1 囿變函數(shù) 170
4.1.1 全變差 170
4.1.2 囿變函數(shù)的性質(zhì) 173
4.1.3 閱讀材料 177
練習(xí) 180
4.2 不定積分 181
4.2.1 導(dǎo)出數(shù) 181
4.2.2 絕對(duì)連續(xù)性 184
4.2.3 閱讀材料 187
練習(xí) 190
4.3 非勻測(cè)度 191
4.3.1 從單調(diào)函數(shù)到容度 191
4.3.2 湊微分與分部積分 195
4.3.3 閱讀材料 198
練習(xí) 201
4.4 卷積運(yùn)算 202
4.4.1 基本性質(zhì) 202
4.4.2 近似幺元 206
4.4.3 光滑逼近 209
練習(xí) 212
4.5 傅氏變換 213
4.5.1 基本性質(zhì) 213
4.5.2 反演和L2-等距性 217
4.5.3 速降函數(shù) 220
練習(xí) 223
附錄1 Perron積分 225
上密度和下密度 225
上積函數(shù)與下積函數(shù) 226
附錄2 從零開始 232
自然數(shù)與歸納法 232
整數(shù)與帶余除法 235
廣義實(shí)數(shù) 239
極限與初等函數(shù) 243
復(fù)數(shù)與四元數(shù) 248
序數(shù)與超限歸納法 250
序數(shù)運(yùn)算與基數(shù) 253
參考文獻(xiàn) 257
符號(hào)列表 258
術(shù)語索引 266
中外人名 277
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》已出版書目 281