戰(zhàn)爭(zhēng)、饑荒和瘟疫能引起悲劇，然而，人類思想的局限性也能引起理性上的悲劇。本書(shū)論及的不幸事件降臨在人類最為卓著且無(wú)與倫比的成就，對(duì)人類的理性精神具有最持久和最深刻的影響數(shù)學(xué)的頭上。

換句話說(shuō)，這本書(shū)在非專業(yè)層次上探討數(shù)學(xué)尊嚴(yán)的興衰�？吹綌�(shù)學(xué)現(xiàn)在的宏大規(guī)模，日益增多甚至呈繁榮之勢(shì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，每年發(fā)表的數(shù)以千計(jì)的研究論文，對(duì)計(jì)算機(jī)興趣的迅猛增長(zhǎng)以及尤其是在社會(huì)科學(xué)和生物科學(xué)中對(duì)定量關(guān)系的廣泛研究，數(shù)學(xué)的衰落從何談起？悲劇存在于何處？要回答這些問(wèn)題，我們首先必須考慮是什么為數(shù)學(xué)贏得了巨大的聲望和榮譽(yù)。

作為一個(gè)獨(dú)立知識(shí)體系的數(shù)學(xué)起源于古希臘，自它誕生之日起的2000 多年來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直在追求真理，而且成就輝煌。關(guān)于數(shù)和幾何圖形的龐大理論體系為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)看起來(lái)似乎無(wú)限的確定性前景。

在數(shù)學(xué)以外的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)概念及其推論為重大的科學(xué)理論提供精髓。盡管通過(guò)數(shù)學(xué)和科學(xué)的合作才獲得的知識(shí)用到了自然定律，但它們看來(lái)似乎與絕對(duì)的數(shù)學(xué)真理一樣絕對(duì)可信，因?yàn)樘煳膶W(xué)、力學(xué)、光學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)所做的預(yù)測(cè)與觀察和實(shí)驗(yàn)相當(dāng)吻合。因此，數(shù)學(xué)能牢固把握宇宙的所作所為，能瓦解玄秘并代之以規(guī)律和秩序。人類得以趾高氣揚(yáng)地俯瞰他周?chē)�的世界，吹噓自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實(shí)際上是一系列數(shù)學(xué)定理）。拉普拉斯 的話概括了數(shù)學(xué)家們一直在不懈地尋求真理的信念。他說(shuō)，牛頓2 是最幸運(yùn)的人，因?yàn)橹挥幸粋�(gè)宇宙，而他已發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律。

數(shù)學(xué)依賴于一種特殊的方法去達(dá)到它驚人而有力的結(jié)果，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，這種方法我們?nèi)詴?huì)在通常的高中幾何課上學(xué)習(xí)。它的實(shí)質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由它演繹出的結(jié)論為真。通過(guò)應(yīng)用這些看起來(lái)清晰、正確且完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出顯然是毋庸置疑、無(wú)可辯駁的結(jié)論。數(shù)學(xué)的這套方法在今天仍然沿用。任何時(shí)候，任何人想找一個(gè)推理的必然性和準(zhǔn)確性的例子，一定會(huì)想到數(shù)學(xué)。

這種數(shù)學(xué)方法所取得的成功吸引了最偉大的智者，數(shù)學(xué)已顯示了人類理性的能力、根源和力量。所以他們想到，為什么不能把這種方法用到由權(quán)威、風(fēng)俗、習(xí)慣控制的領(lǐng)域，比如在哲學(xué)、神學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)及社會(huì)科學(xué)中去尋求真理呢？人類的推理能力在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)中是如此卓有成效，肯定也將成為上述其他領(lǐng)域思想和行為的主宰，為其獲得真理的美和美的真理。因此，在被稱作理性時(shí)代的啟蒙時(shí)期，數(shù)學(xué)方法，甚至和一些數(shù)學(xué)概念及定理，被應(yīng)用到了人文領(lǐng)域之中。

洞察力最豐富的來(lái)源是后見(jiàn)之明。19 世紀(jì)初的創(chuàng)造，包括令人奇怪的幾種幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)，迫使數(shù)學(xué)家們極不情愿地承認(rèn)絕對(duì)意義上的數(shù)學(xué)或者科學(xué)中的數(shù)學(xué)真理并不都是真理。例如，他們發(fā)現(xiàn)幾種不同的幾何學(xué)同等地與空間經(jīng)驗(yàn)相吻合，但它們可能都不是真理。顯然，自然界的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)并不是固有的，或者如果是的話，人類的數(shù)學(xué)都未必是那個(gè)設(shè)計(jì)的最好詮釋。開(kāi)啟真理的鑰匙失去了，這一事實(shí)是降臨到數(shù)學(xué)頭上的第一個(gè)不幸事件。

新的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的誕生使數(shù)學(xué)家們感受到另一個(gè)宇宙的震動(dòng)。尋求真理的信念使數(shù)學(xué)家們?nèi)缱砣绨V，總是迫不及待地用嚴(yán)密論證去追求那些虛無(wú)縹緲的真理。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并不是真理的化身動(dòng)搖了他們從數(shù)學(xué)那里獲得的自信，他們開(kāi)始重新檢驗(yàn)他們的創(chuàng)造。他們失望地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的邏輯形容枯槁，慘不忍睹。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)已經(jīng)在不合邏輯地發(fā)展，不僅包括錯(cuò)誤的證明、推理的漏洞，還有稍加注意就能避免的疏誤。這樣的錯(cuò)誤比比皆是。這種不合邏輯的發(fā)展還涉及對(duì)概念的片面理解，無(wú)法真正認(rèn)識(shí)邏輯所依賴的原理以及論證的不嚴(yán)謹(jǐn)性；也就是說(shuō)，直覺(jué)、實(shí)證及借助于幾何圖形的證明取代了邏輯論證。

不過(guò)，數(shù)學(xué)仍然是一種對(duì)宇宙的有效描述，而且在許多人心里，特別是在柏拉圖主義者看來(lái)，數(shù)學(xué)是實(shí)在（reality）的一部分，是值得追求的。因此，數(shù)學(xué)家們決定去彌補(bǔ)丟失了的邏輯結(jié)構(gòu)，重建有缺陷的部分。在19 世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化運(yùn)動(dòng)（rigorization of mathematics）格外
引人注目。

到1900 年，數(shù)學(xué)家們確信已實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)。盡管他們不得不滿足于數(shù)學(xué)僅能作為對(duì)宇宙的一個(gè)近似描述的觀點(diǎn)，許多人甚至放棄了宇宙的數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)這一信念，但的確慶幸他們重建了數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。然而，他們還沒(méi)來(lái)得及炫耀自封的成功，在重建的數(shù)學(xué)中就發(fā)現(xiàn)了矛盾。一般稱這些矛盾為悖論（paradoxes），這是為了避免直接說(shuō)矛盾而破壞了數(shù)學(xué)邏輯的委婉用語(yǔ)。

當(dāng)時(shí)那些領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家?guī)缀趿⒖叹屯渡碛诮鉀Q這些矛盾，于是他們構(gòu)想、闡述甚至建構(gòu)了四種不同的數(shù)學(xué)學(xué)派，每一種都有眾多的追隨者。那些基礎(chǔ)的學(xué)派不僅努力解決已有的矛盾，而且力爭(zhēng)避免新的矛盾出現(xiàn)，換句話說(shuō)，他們要建立數(shù)學(xué)的相容性（consistency）。在這些基礎(chǔ)研究中又出現(xiàn)了其他的問(wèn)題，某些公理和演繹邏輯推理的可接受性也成為幾個(gè)學(xué)派采取不同立場(chǎng)的重要原因。

到1930 年，數(shù)學(xué)家們已滿足于接受幾種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的一兩個(gè)，并且宣稱自己的數(shù)學(xué)證明至少和這些學(xué)派的原則相符。但是，災(zāi)難再次降臨以哥德?tīng)? 的一篇著名論文的形式出現(xiàn)。哥德?tīng)栕C明了那幾個(gè)學(xué)派所接受的邏輯原理無(wú)法證明數(shù)學(xué)的一致性。這還不包括論文里其他一些意義重大、影響深遠(yuǎn)的結(jié)果。哥德?tīng)柋砻鳎瑢?duì)已取得的成功提出質(zhì)疑不能不用到非�？梢傻倪壿嬙�理。哥德?tīng)柖ɡ硪�起一�?chǎng)巨變。隨后的發(fā)展帶來(lái)了更大的麻煩。例如，就連過(guò)去極度推崇的、被認(rèn)為是精密科學(xué)方法的公理化演繹方法看來(lái)也是有缺陷的。這些新的發(fā)展給數(shù)學(xué)增加了多種可能的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也把數(shù)學(xué)家分成了更多的相異群體。

數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)流派，而且由于種種原因，每一種都無(wú)法使對(duì)立學(xué)派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無(wú)誤的推理體系1800 年時(shí)尊貴的數(shù)學(xué)和那時(shí)人的自信現(xiàn)在都成了癡心妄想。與未來(lái)數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑性，取代了過(guò)去的確定性和自滿。關(guān)于最確定的科學(xué)的基礎(chǔ)意見(jiàn)不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點(diǎn)說(shuō)，是讓人尷尬。目前的數(shù)學(xué)或是故作深沉，或是對(duì)廣泛承認(rèn)的真理，所謂的完美無(wú)缺的邏輯的拙劣模仿。

有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，關(guān)于接受什么作為真正數(shù)學(xué)的不同觀點(diǎn)，總有一天會(huì)統(tǒng)一起來(lái)。在這些人當(dāng)中比較有名的是一群署名為尼古拉布爾巴基的法國(guó)領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家們：

長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)原理的重要修正幾乎無(wú)一不在不確定性時(shí)期之后，而不確定性確實(shí)使矛盾出現(xiàn)了并且一定得被解決。在至今已有25個(gè)世紀(jì)之久的這段時(shí)期里，數(shù)學(xué)家們一直在改正他們的錯(cuò)誤，并且看到了這門(mén)科學(xué)欣欣向榮，而不是枯竭衰敗。這使他們有理由對(duì)未
來(lái)充滿希望。

然而，更多的數(shù)學(xué)家并不樂(lè)觀。20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，外爾在1944年曾指出：
數(shù)學(xué)的終極基礎(chǔ)和終極意義尚未解決，我們不知道沿著什么方向可以找到最終答案，或者甚至于是否有希望得到一個(gè)最終的、客觀的答案。數(shù)學(xué)化很可能是人類原始創(chuàng)造力的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動(dòng)，類似于語(yǔ)言或音樂(lè)，其歷史觀點(diǎn)否認(rèn)完全客觀的合理性。

用歌德的話說(shuō)：一門(mén)科學(xué)的歷史就是這門(mén)科學(xué)本身。

對(duì)于正確的數(shù)學(xué)是什么的問(wèn)題所存在的分歧以及不同基礎(chǔ)的多樣性不僅嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)本身，還波及最為生機(jī)勃勃的自然科學(xué)。我們將看到，最先進(jìn)的自然科學(xué)理論（即這種理論的成果可以在感覺(jué)上或?qū)嶓w上體現(xiàn)出來(lái)。例如即便我們一點(diǎn)也不懂電磁波是什么，但我們能聽(tīng)到收音機(jī)中傳出的聲音），這都是數(shù)學(xué)化的成果。因此，沒(méi)有親自對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下過(guò)功夫，而又不打算花費(fèi)數(shù)年時(shí)間研究不完美的數(shù)學(xué)的科學(xué)家，一定會(huì)關(guān)心什么樣的數(shù)學(xué)能被理直氣壯地應(yīng)用。

真理的喪失，數(shù)學(xué)和科學(xué)不斷增加的復(fù)雜性，以及對(duì)于何種方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)是最保險(xiǎn)的的不確定性，已使大多數(shù)數(shù)學(xué)家放棄科學(xué)。風(fēng)聲鶴唳，草木皆兵，數(shù)學(xué)家們不得不退回到那些證明方法看起來(lái)似乎很安全的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。他們還發(fā)現(xiàn)人為編造出來(lái)的問(wèn)題比自然界提出來(lái)的問(wèn)題更
富魅力，處理起來(lái)更加得心應(yīng)手。

因完美的數(shù)學(xué)是什么而產(chǎn)生的危機(jī)和矛盾還阻礙了數(shù)學(xué)的方法在許多其他文化領(lǐng)域中的應(yīng)用，如哲學(xué)、政治科學(xué)、倫理學(xué)和美學(xué)。找到客觀、正確的定律和標(biāo)準(zhǔn)的希望變得微弱了，理性時(shí)代已經(jīng)過(guò)去。

盡管數(shù)學(xué)令人不滿意，方法復(fù)雜多變，對(duì)可接受公理持不同意見(jiàn)，還有隨時(shí)可能出現(xiàn)的新矛盾，都會(huì)殃及大部分?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)域，但是一些數(shù)學(xué)家仍然把數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然現(xiàn)象中，而且事實(shí)上把應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大到經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)。數(shù)學(xué)的繼續(xù)有效給我們兩點(diǎn)啟示。第一點(diǎn)是這種有效性（effectiveness）可用作判別正確性（correctness）的準(zhǔn)則，當(dāng)然這個(gè)準(zhǔn)則是暫時(shí)性的。今天認(rèn)為正確的，也許下次應(yīng)用時(shí)就會(huì)被證明是錯(cuò)的。

第二點(diǎn)涉及未知。真正的數(shù)學(xué)是什么？對(duì)此并無(wú)定論。為什么數(shù)學(xué)依舊有效？我們是在用不完美的工具創(chuàng)造奇跡嗎？如果人類已經(jīng)被欺騙了，大自然也會(huì)受騙而屈服于人類的數(shù)學(xué)命令嗎？顯然不會(huì)。而且正是憑借建立在數(shù)學(xué)之上的技術(shù)，人類成功地登上了月球，探測(cè)了火星和木星。這難道不是對(duì)宇宙中的數(shù)學(xué)理論的證實(shí)嗎？那么，數(shù)學(xué)的人為因素與變幻莫測(cè)又何從談起呢？在心智和靈魂迷惘不定的時(shí)候，軀體能生存下去嗎？當(dāng)然對(duì)于人類本身及數(shù)學(xué)，確實(shí)如此。因此我們應(yīng)該去研究為什么會(huì)這樣。盡管數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)尚不確定，數(shù)學(xué)家們的理論也彼此沖突，而數(shù)學(xué)卻已被證明成就輝煌，風(fēng)采依然。