第一次接觸圓周率 ，應(yīng)該是在我 9 歲或者 10 歲的時候。那一天，我應(yīng)邀參觀父親朋友的一家工廠。廠房中堆滿了各種工具和機(jī)器，彌漫著濃重的汽油味。我對這些冷冰冰的家伙毫無興致，感到百無聊賴。主人似乎敏銳地察覺到了這一點(diǎn)，便把我領(lǐng)到一臺有幾個調(diào)速輪的大機(jī)器旁邊，然后告訴我，不管輪子多大多小，它們的周長與直徑之間的比值總是固定的約為 371。我一下對這個詭異的數(shù)充滿了好奇，再聽他說任何人都無法精確地得到這個比值而只能近似求解時，更是覺得不可思議。這個數(shù)非常重要，因此人們專門用一個符號希臘字母 來表示它。我不禁問自己，為什么像圓這么簡單的形狀會跟這么怪異的數(shù)有關(guān)聯(lián)呢？那時的我當(dāng)然不知道這個怪異的數(shù)已經(jīng)困擾了科學(xué)家們近 4000 年，與它相關(guān)的某些問題甚至到現(xiàn)在都未曾得到解決。 幾年后，我升入高二學(xué)習(xí)代數(shù)，另一個奇怪的數(shù)勾起了我的興趣。那時，對數(shù)是代數(shù)課程中至關(guān)重要的一部分。在那個還不知計算器為何物的年代，對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人來說，對數(shù)表是不可或缺的。要完成幾百道練習(xí)題，還無時無刻不提醒自己別查漏一行或查錯一列，真是無聊之至。我們使用的對數(shù)稱為常用對數(shù)，它們以 10 為底，說它們常用倒也非常自然。不過書中竟然還附了一頁自然對數(shù)表。我問老師，還有什么數(shù)比 10 作為對數(shù)的底更自然呢？老師告訴我，還有一個用字母 e 表示的數(shù)，其值約為 2.718 28，它是高等數(shù)學(xué)的基石。為何是這個奇怪的數(shù)呢？在高三學(xué)習(xí)微積分的時候，我才找到了答案。這也就意味著圓周率 還有一位同門兄弟，而且它們的值非常接近，所以人們對它們之間的比較在所難免。后來，又經(jīng)過了幾年的大學(xué)學(xué)習(xí)，我才搞明白這兩兄弟之間的關(guān)系確實(shí)很密切，而且它們的關(guān)系因?yàn)榱硪粋�符號i 的存在而顯得更加撲朔迷離。這里的 i 就是著名的虛數(shù)單位，即 -1 的平方根。至此，這部數(shù)學(xué)劇的所有主角已悉數(shù)登場。圓周率的故事早已廣為流傳，一來是因?yàn)樗�的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時代，二來則是由于人們無需太高深的數(shù)學(xué)知識就可以很好地理解它�；蛟S至今還沒有任何一本書比彼得·貝克曼的《 的歷史》（A History of ）更通俗易懂、恰到好處。常數(shù) e 的知名度則要遜色很多，這不僅是因?yàn)樗�的出現(xiàn)更晚，更因?yàn)樗�與微積分緊密相關(guān)（一般認(rèn)為微積分是通往高等數(shù)學(xué)的大門）。據(jù)我所知，目前還沒有哪本有關(guān) e 的歷史的書能夠與貝克曼的書相媲美，希望本書能夠填補(bǔ)這一缺憾。我希望略具數(shù)學(xué)知識的讀者都能讀懂本書所講述的 e 的故事。在本書中，我會盡量減少純數(shù)學(xué)內(nèi)容，并將一些證明和推導(dǎo)過程放在附錄中。此外，我還會講述一些有趣的歷史事件，并簡要介紹許多在 e 的發(fā)展史上發(fā)揮過重要作用的人物，其中有些人在教科書中很少提及。最重要的是，我還想與大家分享從物理、生物到藝術(shù)、音樂等多個領(lǐng)域中與指數(shù)函數(shù) y = ex 有關(guān)的各種有意思的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范疇。本書的風(fēng)格與傳統(tǒng)微積分教科書多有不同。比如，為了證明函數(shù) y = ex的導(dǎo)數(shù)與其自身相等，大多數(shù)教科書都是首先通過復(fù)雜的推導(dǎo)得到公式d(ln x) / dx = 1 / x，然后利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則得到想要的結(jié)果。我一直認(rèn)為 推導(dǎo)過程沒必要這么復(fù)雜，因?yàn)榭梢灾苯油茖?dǎo)出 dex / dx = ex（而且速度也要快得多）。具體做法是，首先證明指數(shù)函數(shù) y = bx 的導(dǎo)數(shù)與 bx 成正比，然后尋找合適的 b 值使得比例常數(shù)為 1（推導(dǎo)過程見附錄 4）。對于高等數(shù)學(xué)中常見的表達(dá)式 cos x i sin x，我將其簡寫為 cis x（讀作ciss x），希望這種簡潔的寫法將來能被人們廣泛采用。關(guān)于圓函數(shù)和雙曲函數(shù)的類比關(guān)系研究，最漂亮的一個結(jié)果是 1750 年左右文森佐·黎卡提發(fā)現(xiàn)的：從幾何上將這兩個函數(shù)中的獨(dú)立變量解釋為面積，可以使這兩個函數(shù)在形式上的相關(guān)性更為直觀。教科書中很少提及這一點(diǎn)，本書將在第 12 章和附錄 7 中討論。