第1章復數(shù)與復變函數(shù)
　　復變函數(shù)就是自變量與因變量均為復數(shù)的函數(shù)，在某種意義下可導的復變函數(shù)——解析函數(shù)，是本課程的重點研究對象.本章在回顧復數(shù)的基本概念與復數(shù)的四則運算的基礎上，引入復數(shù)的幾何表示、復平面上的區(qū)域以及復變函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念，為后面研究解析函數(shù)奠定必要的理論基礎.
　　1.1復數(shù)及其四則運算
　　1.1.1復數(shù)的概念
　　我們將形如z=x+iy或z=x+yi的數(shù)稱為復數(shù)，其中x和y為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，并規(guī)定i2=－1.實數(shù)x和y分別稱為復數(shù)z的實部與虛部，記為
　　x=Re(z)，y=Im(z).
　　例如，對復數(shù)z=2－i，有
　　Re(z)=2，Im(z)=－1.
　　虛部為零的復數(shù)就是實數(shù)，即x+i·0=x.因此，全體實數(shù)可看作全體復數(shù)的一部分.實部為零且虛部不為零的復數(shù)稱為純虛數(shù).
　　設z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，當且僅當x1=x2，y1=y2時z1=z2，即兩個復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.因此，一個復數(shù)等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.
　　注意一般情況下，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.
　　我們把實部相同而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).z的共軛復數(shù)記作z-.設z=x+iy，則
　　z-=x－iy.
　　1.1.2復數(shù)的四則運算
　　設z1=x1+iy1，z2=x2+iy2是兩個復數(shù)，其四則運算規(guī)定如下：
　　z1±z2=(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)；
　　z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2－y1y2)+i(x1y2+x2y1)；
　　z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2－iy2)(x2+iy2)(x2－iy2)
　　=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1－x1y2x22+y22(x22+y22≠0).
　　由上述規(guī)定，復數(shù)的加(減)法，可按實部與實部相加(減)，虛部與虛部相加(減)； 復數(shù)的乘法，可按多項式的乘法法則進行，然后將結果中的i2換成－1； 復數(shù)的除法，可把除式先寫成分式的形式，然后分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，再進行化簡.顯然，與實數(shù)的四則運算一樣，復數(shù)的四則運算也滿足下面性質：
　　(1) 交換律z1+z2=z2+z1，z1z2=z2z1；
　　(2) 結合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)，(z1z2)z3=z1(z2z3)；
　　(3) 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
　　容易驗證，共軛復數(shù)具有如下性質:
　　(1) z--=z；
　　(2) z1±z2=z-1±z-2，z1z2=z-1z-2，z1z2=z-1z-2；
　　(3) zz-=［Re(z)］2+［Im(z)］2=x2+y2(這里z=x+iy)；
　　(4) z+z-=2Re(z)，z－z-=2iIm(z).
　　例1設z1=3－2i，z2=2+3i，求z1z2.
　　解z1z2=3－2i2+3i=(3－2i)(2－3i)(2+3i)(2－3i)=(6－6)+(－9－4)i22+32=－i.
　　1.2復數(shù)的幾何表示
　　1.2.1復數(shù)的點表示
　　因為復數(shù)z=x+yi可以由有序實數(shù)對(x,y)唯一確定，而有序實數(shù)對與坐標平面上的點一一對應，所以全體復數(shù)與坐標
　　圖1.1
　　平面上的全體點構成一一對應關系，從而復數(shù)z=x+yi可以用坐標平面上的點P(x,y)表示，反之亦然(圖1.1).
　　由于x軸上的點對應著全體實數(shù)，故x軸稱為實軸； y軸上除去原點的點對應著全體純虛數(shù)，故y軸稱為虛軸； 兩軸所在的平面稱為復平面或z平面.
　　引進復平面之后，我們在“數(shù)”和“點”之間建立了聯(lián)系.為了方便起見，今后我們不再區(qū)分“數(shù)”和“點”、“數(shù)集”和“點集”，說到“點”可以指它所代表的“數(shù)”，說到“數(shù)”也可以指它所代表的“點”.例如，把復數(shù)1－i稱為點1－i，把點2+3i稱為復數(shù)2+3i.
　　1.2.2復數(shù)的向量表示
　　由于復數(shù)與坐標平面上的點一一對應，而坐標平面上的點與起點為原點的向量一一對應，因此，復數(shù)z=x+yi也可用向量OP表示(圖1.2).
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