第二章 流體靜力學  本章導讀： 流體靜力學主要研究流體處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在實際中的應用。流體的平衡狀態(tài)有兩種：一種是相對靜止狀態(tài)，即流體相對于地球沒有運動；另一種是相對平衡狀態(tài)，即所研究的流體雖然相對于地球在運動，但流體相對于容器或者流體內部質點之間卻沒有相對運動。本章只研究處于相對靜止狀態(tài)的流體。 平衡狀態(tài)下流體質點之間沒有相對運動，流體的黏滯性不起作用，故平衡狀態(tài)下的流體不呈現(xiàn)切應力。由于流體幾乎不能承受拉應力，所以平衡流體質點間的相互作用是通過壓應力(靜壓強)形式呈現(xiàn)出來的。在實際工程中，流體對固體壁面產生的“壓效應”不容輕視，這類力有可能推倒混凝土水壩或使壓力容器爆裂等。 本章主要研究流體在靜止狀態(tài)下的力學規(guī)律，詳細闡述靜壓強的特性、分布規(guī)律以及作用在平面和曲面上靜水總壓力的計算方法及其實際應用。 第一節(jié) 流體靜壓強及其特性

       一、流體靜壓強的定義 在靜止流體中取一微元體作隔離體。為保持隔離體仍處于靜止狀態(tài)，需要在隔離體表面上施加外力，以代替其周圍流體對隔離體的作用，如圖2-1所示�，F(xiàn)用任一平面ABCD將此體積分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，假定將Ⅰ部分移去，并以與其等效的力代替它對Ⅱ部分的作用，顯然，余留部分不會失去原有的平衡。 圖2-1 靜止流體中隔離體的受力 從平面ABCD上取出一微面積 ，a點是 的幾何中心， 為移去流體作用在 上的作用力，則 稱為面積 上的流體靜壓力，作用在 上的平均流體靜壓強 可用下式表示，即 (2-1) 當 無限縮小至點a時，平均壓強 便趨于某一極限值，此極限值定義為該點的流體靜壓強，通常用符號p表示，即 (2-2) 壓力的單位為N或kN，壓強的單位為Pa( )或kPa。

        二、流體靜壓強的特性 流體靜壓強具有兩個重要特性。

       1. 第一特性：流體靜壓強的方向垂直指向被作用面 如圖2-2所示，在靜止流體內任取一分界面n—n，n—n面將容器中流體分為上、下兩部分，上部分流體對n—n面以下流體的作用力屬于表面力。在n—n面上任取一點，假如其所受的流體靜壓強p是任意方向，則p可分解為法向應力 與切向應力 。顯然，根據流體的性質，在 作用下，流體將失去平衡而流動，這與靜止流體的前提不符，故 �？梢�，p必須垂直于過該點的切平面。又由于流體不能承受拉應力，故流體靜壓強p只能為壓應力。因此，只有內法線方向才是流體靜壓強p的唯一方向，如圖2-3所示。 圖2-2 靜壓強方向分析圖 圖2-3 靜壓強方向實例

        2. 第二特性：作用于同一點上各方向的流體靜壓強大小相等 在證明這一特性之前，先通過下述例子進一步說明該特性的含義。如圖2-4所示，當A點作為ab面上的點時，流體靜壓強為 ，作為cd面上的點時，壓強為 ，根據第二特性，則 。 茲證明如下。 如圖2-5所示，從平衡流體中分割出一無限小的四面體OABC，斜面ABC的法線方向為任意方向，各棱邊長分別為 。現(xiàn)以 和 分別表示坐標面和斜面ABC上的平均壓強，n為ABC的外法線方向，如果能夠證明，當四面體OABC無限地縮小到O點時， ，則流體靜壓強的第二特性得到證明。由于微小四面體是從平衡流體中分割出來的，它在所有外力作用下必處于平衡狀態(tài)。作用于微小四面體上的外力包括兩部分：一部分是四個表面上的表面力，即周圍流體作用的流體靜壓力；另一部分是質量力，在靜止流體中質量力只有重力，在相對平衡流體中質量力還包括慣性力。 令 為作用在OBC面上的流體靜壓力； 為作用在OAC面上的流體靜壓力； 為作用在OAB面上的流體靜壓力； 為作用在斜面ABC上的流體靜壓力。 圖2-4 靜壓強第二特性示意圖 圖 2-5 微小四面體所受表面力 令四面體體積為 ，由幾何學可知， 。假定作用在四面體上的單位質量力在三個坐標方向的投影為X、Y、Z，則總質量力在三個坐標方向的投影為 根據平衡條件，作用在微小四面體上的外力在各坐標軸上投影的代數和為零，即 (2-3) 式中，(n，x)、(n，y)、(n，z)分別為斜面ABC的法線n—n與x、y、z軸的交角； 為四面體所具有的密度。 若以 分別表示四面體四個表面OBC、OAC、OAB、ABC的面積，則 ， ， 。 將式(2-3)中第一式各項同除以 ，并引入 的關系式，則有 (2-4) 式中， 、 分別表示 、 面上的平均流體靜壓強。 如果讓微小四面體無限縮小至O點， 以及 均趨于零，對式(2-4)取極限，則有 對式(2-3)中第二式與第三式分別除以 ，并做類似的處理后同理可得 因斜面ABC的法線方向是任意選取的，所以當四面體無限縮小至O點時，各個方向流體靜壓強均相等，即 流體靜壓強的第二特性表明，作為連續(xù)介質的平衡流體內，任一點的流體靜壓強僅是空間坐標的函數，即 ，而與受壓面方位無關。 第二節(jié) 重力作用下流體靜壓強的分布規(guī)律 前面已經說明了流體靜壓強的特性，下面推導流體靜力學的基本方程。

        一、液體靜力學的基本方程 如圖2-6所示，在均質液體中取一豎直柱形隔離體，其水平截面積為 ，頂部壓強為 ，底部壓強為 ，頂部、底部距液面的距離分別為 ， ，距基準面的距離分別為 ，液面壓強用 表示。 圖2-6 圓柱隔離體的受力 下面分析其受力情況。在重力作用下，水平方向沒有質量力，所有水平方向表面力的合力等于零。在豎直方向，頂面壓力等于 ，方向向下，底面的壓力等于 ，方向向上，質量力是重力 ，或表示為 ，方向向下。各力處于平衡狀態(tài)，則有 或 整理得 (2-5) 或 (2-6a) 上式表明，靜止液體中任意兩點的 值相等，也就是說靜止液體中各點的 等于常數，即 (2-6b) 如果在式(2-5)中取 ，即柱體的頂面與液面重合，那么位于液面以下深度為h處的壓強為 (2-7) 式(2-6)、式(2-7)是重力作用下液體靜力學基本方程的兩種表達式。 式(2-6)表明，當 時，則 ，即位置較低點的壓強恒大于位置較高點的壓強。式(2-6)適用于靜止的、連續(xù)的、質量力只有重力的同一種均質液體。 式(2-7)說明，靜止液體中壓強隨深度按線性規(guī)律增加，且液體內任一點的壓強p等于液面上的壓強 與從該點至液面的單位面積上的垂直液柱重量 之和。液面壓強 的變化可以等值地傳遞到液體的其他各點，這就是帕斯卡定律。 若液面暴露在大氣中，其上作用著大氣壓強pa，作用著大氣壓強的液面常稱作自由液面，此時式(2-7)可表示為 。

        大氣壓強一般是隨海拔高程及氣溫的變化而變化的。在工程技術中，常用工程大氣壓表示壓強，1個工程大氣壓(1atm)相當于736mm水銀柱對柱底產生的壓強。在工程計算中，如無特殊說明，可將大氣壓強看作常量，取 pa=1atm(1個工程大氣壓)= 二、等壓面 由式(2-7)可以看出，液面下深度h相等的各點壓強相等。壓強相等的各點組成的面稱作等壓面。例如，自由液面以及處于平衡狀態(tài)下的兩種液體的交界面都是等壓面。對于重力作用下的靜止液體，液面是和重力方向垂直的水平面，因為如果不和重力方向垂直的話，沿液面就有一個切向分力，液體就要移動，和靜止這個前提不符(嚴格來講，和重力方向垂直的面是近似和地球面同心的球面，不過就工程流體力學的實用范圍來講，完全可以看作是水平面)。由此可見，重力作用下靜止液體的等壓面都是水平面。但必須注意，這一結論只適用于質量力只有重力的同一種連續(xù)介質。對于不連續(xù)的介質，或者一個水平面穿過了兩種不同介質，如圖2-7(b)、(c)所示，則位于同一水平面上各點的壓強并不一定相等。 (a) 同種連通液體 (b) 同種非連通液體 (c) 連通非同種液體 圖2-7 等壓面示意圖  綜上所述，在同一種連續(xù)的靜止液體中，水平面是等壓面。