本書著重講述超越數(shù)論中代數(shù)無關(guān)性理論的一些重要結(jié)果，包括Nesterenko方法及其對(duì)于Ramenujan函數(shù)和Mahler函數(shù)的應(yīng)用、零點(diǎn)重?cái)?shù)估計(jì)、π和eπ的代數(shù)無關(guān)性、Philippon代數(shù)無關(guān)性判別法則等；還給出Liouville數(shù)、廣義Mahler級(jí)數(shù)以及代數(shù)系數(shù)缺項(xiàng)級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)和Mahler函數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性結(jié)果與相關(guān)的逼近方法和其他經(jīng)典方法。
本書適合大學(xué)數(shù)學(xué)系高年級(jí)學(xué)生、研究生及有關(guān)科研人員閱讀。
本書共分6章。第1章研究Liouville數(shù)（以及代數(shù)系數(shù)缺項(xiàng)級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)等的值和某些廣義Mahler級(jí)數(shù)等）的代數(shù)無關(guān)性，給出一些常用的逼近（和初等）方法。第2，3，4章論述Nesterenko方法，包括該方法的代數(shù)基礎(chǔ)，對(duì)一類代數(shù)微分方程解的零點(diǎn)重?cái)?shù)估計(jì)的應(yīng)用，并著重研究Ramanujan函數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性質(zhì)（定性和定量結(jié)果）。第5章研究某些Mahler函數(shù)在C（z）上的代數(shù)無關(guān)性以及它們的值在Q上的代數(shù)無關(guān)性，包括經(jīng)典方法和Nesterenko方法的應(yīng)用。第6章證明Philippon代數(shù)無關(guān)性判別法則。除第2，3，4章是一個(gè)整體，第5章后半部分依賴于第2章外，第1章、第6章及第5章前半部分相對(duì)獨(dú)立。每章最后一節(jié)“補(bǔ)充與評(píng)注”，是對(duì)正文一些論題的引申，以便讀者查閱進(jìn)一步的文獻(xiàn)，進(jìn)入某些前沿性課題。除第4章外，其余各章都有一個(gè)附錄，包含了與該章有關(guān)的某些材料，初學(xué)者可以暫時(shí)略去。
總序
前言
主要符號(hào)表
第1章 Liouville數(shù)的代數(shù)無關(guān)性
1.1 代數(shù)無關(guān)的Liouville數(shù)組
1.2 φLiouvme數(shù)
1.3 某些快速收斂數(shù)列的極限的代數(shù)無關(guān)性
1.4 代數(shù)系數(shù)缺項(xiàng)級(jí)數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性
1.5 廣義Mahler級(jí)數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性
1.6 某些三角級(jí)數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性
1.7 補(bǔ)充與評(píng)注
附錄1 Nishioka不等式
第2章 Nesterenko方法的代數(shù)基礎(chǔ)
2.1 Chow形式與理想的特征量
2.2 多項(xiàng)式與素理想的Chow形式的“結(jié)式
2.3 理想的零點(diǎn)
2.4 補(bǔ)充與評(píng)注
附錄2 關(guān)于L消元理想
第3章 代數(shù)微分方程的解的重?cái)?shù)估計(jì)
3.1 D性質(zhì)
3.2 零點(diǎn)重?cái)?shù)定理
3.3 Ramanujan函數(shù)的重?cái)?shù)估計(jì)
3.4 補(bǔ)充與評(píng)注
附錄3 素理想的特征函數(shù)的上界估計(jì)
第4章 Ramanu／ian函數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性
4.1 基本結(jié)果的敘述
4.2 輔助多項(xiàng)式的構(gòu)造
4.3 定理1和定理2的證明
4.4 定理3的證明
4.5 π，eπ和11（1／4）的代數(shù)無關(guān)性的直接證明
4.6 補(bǔ)充與評(píng)注
第5章 Mahler函數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性
5.1 一類Mahler函數(shù)的代數(shù)無關(guān)性
5.2 某些Mahler函數(shù)在代數(shù)點(diǎn)上的值
第1章 Liouville數(shù)的代數(shù)無關(guān)性
一個(gè)復(fù)數(shù)若不是代數(shù)數(shù)，亦即它不是任何非零多項(xiàng)式P∈z〔z〕的根，則稱為超越數(shù)。如果s個(gè)復(fù)數(shù)滿足某個(gè)非零多項(xiàng)式P∈z 〔z1，…，zs〕，則稱它們（在Q E）代數(shù)相關(guān)，否則稱（在Q上）代數(shù)無關(guān)。因此，一般說來，超越性和代數(shù)無關(guān)性的證明是通過反證法實(shí)現(xiàn)的，并且代數(shù)數(shù)及整系數(shù)多項(xiàng)式的基本性質(zhì)是重要的輔助工具。
最早發(fā)現(xiàn)的超越數(shù)的具體例子是借助于丟番圖逼近論中的Liouville定理構(gòu)造的，這是一類重要的超越數(shù)即Liouville數(shù)。本章將研究它們的代數(shù)無關(guān)性。我們首先應(yīng)用較直接的推理構(gòu)造一些代數(shù)無關(guān)的Liouville數(shù)組，并利用一些逼近結(jié)果建立某些函數(shù)在Liouville數(shù)上的值的代數(shù)無關(guān)性，然后在這些實(shí)例的基礎(chǔ)上給出基于快速收斂逼近序列的數(shù)的代數(shù)無關(guān)性判別法則，最后給出這個(gè)法則的一些應(yīng)用，其中特別研究了代數(shù)系數(shù)缺項(xiàng)級(jí)數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性，它們是上述Liouville數(shù)組相應(yīng)結(jié)果的自然推廣。
本章具有引論性質(zhì)，通過本章將可初步領(lǐng)略代數(shù)無關(guān)性證明的某些特征。
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