第1章緒論
　　1.1緒論
　　盡管非相對(duì)論性量子力學(xué)可以對(duì)其適用的領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行合理的解釋?zhuān)�但�?duì)粒子能量極高并伴隨著粒子產(chǎn)生和湮沒(méi)的相對(duì)論系統(tǒng)卻無(wú)能為力.本節(jié)先從量子力學(xué)基本原理的角度說(shuō)明它的不足，然后對(duì)狹義相對(duì)論進(jìn)行一個(gè)回顧，因?yàn)閷?duì)于能量極高且速度接近光速的粒子來(lái)說(shuō)，狹義相對(duì)論是一個(gè)必要的理論框架.
　　當(dāng)我們學(xué)習(xí)經(jīng)典或非相對(duì)論系統(tǒng)時(shí)，拉氏量形式都是一個(gè)合適的框架.另外，它在對(duì)系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)性的討論中尤其方便，因此本章還將回顧從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)到場(chǎng)論的*小作用量原理以及拉氏量形式.作為后面章節(jié)的鋪墊，還將討論Lagrange場(chǎng)論中的對(duì)稱(chēng)性與守恒律.
　　1.1.1量子場(chǎng)論的必要性
　　我們已經(jīng)學(xué)過(guò)非相對(duì)論性量子力學(xué)，它可以很好地解決原子甚至亞原子尺度的涉及微觀(guān)粒子的一些物理問(wèn)題.那么為什么我們需要一個(gè)相對(duì)論性的場(chǎng)論呢？一方面，我們所研究的高能物理領(lǐng)域，很多粒子速度極高，相對(duì)論的引入就很必要了;另一方面，該領(lǐng)域的物理現(xiàn)象通常伴隨著粒子的產(chǎn)生和湮沒(méi)，非相對(duì)論量子力學(xué)是無(wú)能為力的，而量子場(chǎng)論的引入則可以描述粒子數(shù)變化的過(guò)程，這將在后面的章節(jié)中討論.下面我們先來(lái)討論非相對(duì)論量子力學(xué)在這一點(diǎn)的局限性.
　　在非相對(duì)論量子力學(xué)中，Schr.odinger方程包含了粒子數(shù)守恒，這從下面的推導(dǎo)中可以看出.Schr.odinger方程給出
　　(1-1)
　　利用哈密頓量的厄米性(Hermitian)，取復(fù)共軛得到
　　(1-2)
　　兩式相減得
　　(1-3)
　　因此Zd3x(.y.)是不隨時(shí)間變化的.換句話(huà)說(shuō)，粒子數(shù)守恒，沒(méi)有粒子產(chǎn)生或湮沒(méi).但同時(shí)，利用正則對(duì)易關(guān)系
　　(1-4)
　　可以得到Heisenberg不確定關(guān)系
　　(1-5)
　　相對(duì)論將動(dòng)量和能量用質(zhì)能關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，即
　　(1-6)
　　因此能量的不確定度為
　　(1-7)
　　為了避免新粒子的產(chǎn)生，我們要求△E6mc2.于是得到了坐標(biāo)不確定度△x的下限
　　(1-8)
　　下面分兩種情況討論.
　　(a)非相對(duì)論粒子.速度遠(yuǎn)小于光速c，即
　　(1-9)
　　所以△x并無(wú)太大限制.波函數(shù)的概率詮釋說(shuō)明j.(x)j2是在點(diǎn)x附近d3x的體積內(nèi)觀(guān)察到粒子的概率密度.換句話(huà)說(shuō)，粒子可以局限在任意小的一個(gè)空間范圍內(nèi).
　　(b)相對(duì)論粒子.在這種情況下，有
　　(1-10)
　　因此
　　(1-11)
　　也就是說(shuō)，粒子不能居于一個(gè)比Compton波長(zhǎng)~mc小的空間尺度內(nèi).反過(guò)來(lái)說(shuō)，在比Compton波長(zhǎng)小的空間尺度內(nèi)，將不可避免地產(chǎn)生新的粒子.
　　標(biāo)量場(chǎng)和旋量場(chǎng)的非相對(duì)論性波動(dòng)方程是Klein-Gordon方程和Dirac方程.下面兩章將會(huì)詳細(xì)討論Klein-Gordon方程和Dirac方程作為單粒子波動(dòng)方程所產(chǎn)生的困難，包括負(fù)幾率和負(fù)能量問(wèn)題，及對(duì)應(yīng)場(chǎng)量子化是如何解決這些困難的.此處以Klein佯謬為例說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.
　　Klein佯謬
　　Klein-Gordon方程為
　　(1-12)
　　其中，m為質(zhì)量.它是*簡(jiǎn)單的相對(duì)論性波動(dòng)方程.考慮一個(gè)階躍勢(shì)壘V0>0(圖1-1)，
　　波函數(shù)的解為
　　(1-13)
　　其中
　　(1-14)
　　圖1-1階躍勢(shì)壘
　　波函數(shù)在邊界x=0處的連續(xù)性條件
　　(1-15)
　　給出
　　(1-16)
　　由上式可求得R和T分別為
　　(1-17)
　　在非相對(duì)論情形中，如果E>V0+m，則p1與p2均為實(shí)數(shù)，既有透射也有反射;如果E2m且能量在m0的地方發(fā)現(xiàn)有粒子傳播.這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為Klein佯謬.這只能由在階躍勢(shì)壘處產(chǎn)生了新粒子來(lái)解釋.
　　1.1.2自然單位制
　　高能物理中為方便起見(jiàn)通常取自然單位制，即
　　(1-18)
　　在國(guó)際單位制中
　　(1-19)
　　因此，在自然單位制中就意味著能量的量綱為[時(shí)間].1.同樣地，光速
　　(1-20)
　　所以c=1意味著時(shí)間和長(zhǎng)度有著相同的量綱.在計(jì)算的*終結(jié)果中，通常需采用國(guó)際單位制，所以需要將~和c的數(shù)值代回.需要注意，在不同的場(chǎng)合下同一物理量可能有不同的意義.比如，質(zhì)量就可能有如下幾種情況:
　　(a)[長(zhǎng)度].1
　　(1-21)
　　(b)[時(shí)間].1
　　(1-22)
　　(c)能量
　　(1-23)
　　(d)動(dòng)量
　　(1-24)
　　另外，高能物理中常用eV和cm作為能量和長(zhǎng)度的單位，因此下面的轉(zhuǎn)換關(guān)系非常有用
　　(1-25)
　　例1-1(a)Thomson散射截面.
　　(1-26)
　　在這個(gè)例子中，我們知道散射截面的量綱應(yīng)為[長(zhǎng)度]2，而這個(gè)公式中**出現(xiàn)的有量綱的物理量為me，所以此處實(shí)際上是上文對(duì)質(zhì)量me討論的情況(a)，即me為[長(zhǎng)度].1的情況.因此，需要利用因子hc將量綱轉(zhuǎn)換為我們需要的面積的量綱.首先在自然單位制中計(jì)算
　　(1-27)
　　然后乘以因子()將面積單位轉(zhuǎn)換為cm2，即
　　(1-28)
　　(b)W玻色子的衰變率.
　　標(biāo)準(zhǔn)模型中反應(yīng)W→eo的衰變率為
　　(1-29)
　　其中，MW=80:4GeV/c2是W玻色子的質(zhì)量;GF=1:166×10.5GeV.2是弱作用耦合常數(shù).首先在自然單位制中計(jì)算
　　(1-30)
　　然后除以因子~得到正確的單位
　　(1-31)
　　(c)中微子截面.
　　對(duì)一個(gè)準(zhǔn)彈性中微子散射o1+e→ +oe，低能的截面為
　　(1-32)
　　其中，E為中微子的能量.我們來(lái)計(jì)算E=10GeV的情況.首先在自然單位制中計(jì)算
　　(1-33)
　　現(xiàn)在利用轉(zhuǎn)換因子hc=1:973×10.11MeV.cm得到面積的量綱
　　(1-34)
　　順便提一句，這是一個(gè)很小的反應(yīng)截面，說(shuō)明中微子幾乎不與有很多電子的物質(zhì)發(fā)生作用，所以它可以傳播很遠(yuǎn)而不受其他物質(zhì)的影響;而且在低能的情況下，截面隨能量增加而增大.
　　(d)將牛頓萬(wàn)有引力常數(shù)
　　(1-35)
　　轉(zhuǎn)換到Planck能標(biāo)，則有
　　(1-36)
　　利用
　　(1-37)
　　可以得到
　　(1-38)
　　所以
　　(1-39)
　　又因?yàn)?br />　　(1-40)
　　所以
　　(1-41)
　　利用轉(zhuǎn)換因子
　　(1-42)
　　*終得到
　　(1-43)
　　這就是我們通常所說(shuō)的與引力相關(guān)的Planck能標(biāo)，約為1019GeV，這幾乎是高能領(lǐng)域里**的能標(biāo).它的另一種表達(dá)方式為
　　(1-44)