《高等數(shù)學(xué)(下冊)》分上、下兩冊, 上冊內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、空間解析幾何、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用. 下冊內(nèi)容包括不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數(shù)、微分方程初步. 《高等數(shù)學(xué)(下冊)》每節(jié)都配有習(xí)題,每章配有總習(xí)題和歷年考研題. 《高等數(shù)學(xué)(下冊)》配套的輔助教材有《高等數(shù)學(xué)典型問題與應(yīng)用案例剖析(上、下冊)》.
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《高等數(shù)學(xué)(下冊)》是作者多年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié), 可作為非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生高等數(shù)學(xué)的教材, 也可作為相關(guān)人員的參考書.
第六章 不定積分
第六、七、八章的內(nèi)容統(tǒng)稱為一元函數(shù)的積分學(xué).積分學(xué)與微分學(xué)密切聯(lián)系，共同組成了分析學(xué)的基本內(nèi)容.積分學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展源于一些實際問題的解決，如兩千多年前的希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes)用窮竭法計算出了拋物線弓形的面積，我國南北朝時期的祖沖之和他的兒子祖也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積，這些都是用無限小過程處理特殊形狀的面積的例子.雖然求積問題自古以來就被直觀地、經(jīng)驗地理解著，并且得到了正確的計算結(jié)果，但這只是個別問題的解決，始終缺乏一般的計算方法，與一門系統(tǒng)學(xué)科的形成還相距甚遠(yuǎn).
直到十七世紀(jì)，由于天文、航海以及生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，大量的問題亟待解決，這些問題大致歸為以下四類:第一類是已知距離求速度與加速度以及已知加速度，求速度與距離;第二類是求曲線的切線;第三類是求函數(shù)的最大、最小值;第四類是求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積以及兩個物體之間的引力.雖然在一些數(shù)學(xué)家的努力下，有關(guān)微分學(xué)問題解決得比較圓滿，積分學(xué)中的某些問題也得到了一些好的結(jié)果，但是當(dāng)時所使用的方法要么不具有普遍性，要么有的方法本身雖然孕育著有普遍性的含義，但卻沒有人能充分理解微分與積分這兩類問題之間的相互關(guān)系的重要意義，因而都沒有創(chuàng)立微積分.最終，牛頓和萊布尼茨在總結(jié)前的方法的基礎(chǔ)上，都各自獨立地看到了積分問題是微分的逆問題，并建立起成熟的具有普遍意義的方法.由于牛頓和萊布尼茨各自研究的角度不同，牛頓是利用導(dǎo)數(shù)與反導(dǎo)數(shù)，即不定積分來解決微積分問題，而萊布尼茨則強(qiáng)調(diào)微分及\微分的和"，因而就形成了不定積分與定積分.
第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)
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