第1章群的基本概念
群論是研究系統(tǒng)對稱性質(zhì)的有力工具.本章首先從系統(tǒng)對稱性質(zhì)的研究中概括出群的基本概念，通過一些簡單的和物理中常見的群的例子，使讀者對群有較具體的認識；然后，引入群的各種子集的概念、群的同構(gòu)與同態(tài)的概念和群的直接乘積的概念.對有限群來說，群的全部性質(zhì)都體現(xiàn)在群的乘法表中.我們將介紹填寫群乘法表的方法和如何由群的乘法表來分析有限群性質(zhì).
1.1對稱
對稱是一個人們十分熟悉的用語.世界處在既對稱又不嚴(yán)格對稱的矛盾統(tǒng)一之中.房屋布局的對稱給人一種舒服的感覺，但過分的嚴(yán)格對稱又會給人死板的感覺.科學(xué)理論的和諧美，其中很大程度上表現(xiàn)為對稱的美.在現(xiàn)代科學(xué)研究中，對稱性的研究起著越來越重要的作用.
我們常說，斜三角形很不對稱，等腰三角形比較對稱，正三角形對稱多了，圓比它們都更對稱.但是，對稱性的高低究竟是如何描寫的呢？
對稱的概念是和變換密切聯(lián)系在一起的，所謂系統(tǒng)的對稱性就是指它對某種變換保持不變的性質(zhì).保持系統(tǒng)不變的變換越多，系統(tǒng)的對稱性就越高.只有恒等變換，也就是不變的變換，才保持斜三角形不變.等腰三角形對底邊的垂直平分面反射保持不變，而正三角形對三邊的垂直平分面反射都保持不變，還對通過中心垂直三角形所在平面的軸轉(zhuǎn)動±2jt/3角的變換保持不變.圓對任一直徑的垂直平分面的反射都保持不變，也對通過圓心垂直圓所在平面的軸轉(zhuǎn)動任何角度的變換保持不變.因為保持圓不變的變換最多，所以它的對稱性最高.
量子系統(tǒng)的物理特征由系統(tǒng)的哈密頓量(Hamiltonian)決定，量子系統(tǒng)的對稱性則由保持系統(tǒng)哈密頓量不變的變換集合來描寫.例如，N個粒子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的哈密頓量為n
其中，rj和mj是第j個粒子的坐標(biāo)矢量和質(zhì)量，V]是關(guān)于rj的拉普拉斯(Lap?lace)算符，U是兩個粒子間的二體相互作用勢，它只是粒子間距離的函數(shù).拉普拉斯算符是對坐標(biāo)分量的二階微商之和，它對系統(tǒng)平移、轉(zhuǎn)動和反演都保持不變.作用勢只依賴于粒子間的相對坐標(biāo)絕對值，也對這些變換保持不變.若粒子是全同粒子，哈密頓量還對粒子間的任意置換保持不變.這個量子系統(tǒng)的對稱性質(zhì)就用系統(tǒng)對這些變換的不變性來描述。
保持系統(tǒng)不變的變換稱為系統(tǒng)的對稱變換，對稱變換的集合描寫系統(tǒng)的全部對稱性質(zhì).根據(jù)系統(tǒng)的對稱性質(zhì)，通過群論方法研究，可以直接得到許多精確的、與細節(jié)無關(guān)的重要性質(zhì).我們還沒有學(xué)習(xí)群論方法，還無法用群論方法對系統(tǒng)的復(fù)雜對稱性質(zhì)進行研究，但為了使讀者對群論方法有一個直觀的了解，下面舉一個簡單例子說明群論方法的基本思路.
研究一個具有空間反演對稱性的量子系統(tǒng).系統(tǒng)哈密頓量對空間反演變換保持不變，因而哈密頓量的本征函數(shù)斗通過空間反演，仍是哈密頓量同一本征值的本征函數(shù).用P代表在空間反演下波函數(shù)的變換算符
則對哈密頓量，寸和P寸有相同的本征值，而且由于哈密頓量是線性算符，畛和作的任何線性組合仍有相同的本征值.取如下組合
在空間反演中按式（1.1)變換的波函數(shù)這一簡單例子說明，盡管系統(tǒng)哈密頓量可能很復(fù)雜，薛定諤方程難以精確求解，但從研究系統(tǒng)的對稱性質(zhì)著手，可以得到系統(tǒng)某些精確的與細節(jié)無關(guān)的重要性質(zhì)(例如，根據(jù)對稱性，可確定系統(tǒng)的守恒量)，可對系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù)進行分類，并可得出精確的躍遷選擇定則.
1.2群及其乘法表
保持系統(tǒng)不變的變換稱為系統(tǒng)的對稱變換，系統(tǒng)的對稱性質(zhì)由對稱變換的集合來描寫.我們先來研究系統(tǒng)對稱變換集合的一般性質(zhì).按照物理中的慣例，兩個變換的乘積RS定義為相繼做兩次變換，即先做S變換，再做R變換.顯然，兩個對稱變換的乘積仍是系統(tǒng)的對稱變換，三個對稱變換的乘積滿足結(jié)合律.不變的變換，即恒等變換E也是一個對稱變換，它與任何一個對稱變換R的乘積仍是該變換R.對稱變換的逆變換也是系統(tǒng)的一個對稱變換.上述性質(zhì)是系統(tǒng)對稱變換集合的共同的性質(zhì)，與系統(tǒng)的具體性質(zhì)無關(guān).把對稱變換集合的這些共同性質(zhì)歸納出來，得到群（group)的定義.
定義1.1在規(guī)定了元素的“乘積”法則后，元素的集合G如果滿足下面四個條件，則稱為群.
(1)集合對乘積的封閉性_集合中任意兩元素的乘積仍屬此集合：
(2)乘積滿足結(jié)合律：
(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變：
(4)任何元素R的逆R-1存在于集合中，滿足
作為數(shù)學(xué)中群的定義，群的元素可以是任何客體，元素的乘積法則也可任意規(guī)定.一旦確定了元素的集合和元素的乘積規(guī)則，滿足上述四個條件的集合就稱為群.系統(tǒng)對稱變換的集合，對于變換的乘積規(guī)則，滿足群的四個條件，因而構(gòu)成群，稱為系統(tǒng)的對稱變換群.在物理中常見的群大多是線性變換群、線性算符群或矩陣群.如果沒有特別說明，當(dāng)元素是線性變換或線性算符時，元素的乘積規(guī)則都定義為相繼做兩次變換；當(dāng)元素是矩陣時，元素的乘積則取通常的矩陣乘積.
在群的定義中，群元素是什么客體并不重要，重要的是它們的乘積規(guī)則，也就是它們以什么方式構(gòu)成群.如果兩個群，它們的元素之間可用某種適當(dāng)給定的方式一一對應(yīng)起來，而且元素的乘積仍以此同一方式一一對應(yīng)（常稱對應(yīng)關(guān)系對元素乘積保持不變)，那么，從群論觀點看，這兩個群完全相同.具有這種對應(yīng)關(guān)系的兩個群稱為同構(gòu)（isomorphism).
定義1.2若群G'和G的所有元素間都按某種規(guī)則存在一一對應(yīng)關(guān)系，它們的乘積也按同一規(guī)則一一對應(yīng)，則稱兩群同構(gòu).用符號表示，若i?和SeG，紀(jì)和S7eG'，R'<~>R，S'<~S，必有R'S'<~RS，則G'《G，其中符號“<~”代表一一對應(yīng)，“《”代表同構(gòu).
互相同構(gòu)的群，它們?nèi)旱男再|(zhì)完全相同.研究清楚一個群的性質(zhì)，也就了解了所有與它同構(gòu)的群的性質(zhì).在群同構(gòu)的定義里，元素之間的對應(yīng)規(guī)則沒有什么限制.但如果選擇的規(guī)則不適當(dāng)，使元素的乘積不再按此規(guī)則一一對應(yīng)，并不等于說，這兩個群就不同構(gòu).只要對某一種對應(yīng)規(guī)則，兩個群符合群同構(gòu)的定義，它們就是同構(gòu)的.
從群的定義出發(fā)，可以證明，恒元和逆元也滿足
第二個式子表明元素與其逆元是相互的.由此易證群中恒元是唯一的，即若苽只=R，則E，=E.群中任一元素的逆元是唯一的，即若SR=E，則S二R-1.于是，恒元的逆元是恒元，且{RSr1=S-^R-K作為邏輯練習(xí)，習(xí)題第1題讓讀者證明這些結(jié)論.證明中除了群的定義外，不能用以前熟悉的任何運算規(guī)則，因為它們不一定適合群元素的運算.下面我們認為這些結(jié)論已經(jīng)證明，可以應(yīng)用了.
一般說來，群元素乘積不能對易，RS+SR.元素乘積都可以對易的群稱為阿貝爾（Abel)群.若群中至少有一對元素的乘積不能對易，就稱為非阿貝爾群.元素數(shù)目有限的群稱為有限群，元素的數(shù)目g稱為有限群的階（order).元素數(shù)目無限的群稱為無限群，如果無限群的元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫，則稱為連續(xù)群.
把群的子集，即群中部分元素的集合n^{RuR2， ，Rm}，看成一個整體，稱為復(fù)元素.作為集合，復(fù)元素不關(guān)心所包含元素的排列次序，且重復(fù)的元素只取一次.兩復(fù)元素相等，即兄=的充要條件是它們包含的元素相同，即兄c《S和San.普通元素和復(fù)元素相乘仍是復(fù)元素.th是由元素TRj的集合構(gòu)成的復(fù)元素，而UT則由元素RjT的集合構(gòu)成.設(shè)5={5i，S2， ，5?}，兩復(fù)元素的乘積US是所有形如RjSk的元素集合構(gòu)成的復(fù)元素.上面出現(xiàn)的元素乘積，如TRhRiT和喻，均按群元素的乘積規(guī)則相乘.復(fù)元素的乘積滿足結(jié)合律.如果復(fù)元素的集合，按照復(fù)元素的乘積規(guī)則，符合群的四個條件，也可構(gòu)成群.
定理1.1(重排定理）設(shè)T是群G={E，E，S， }中的任一確定元素，則下面三個集合與原群G相同：
用復(fù)元素符號表達為
證明以TG=G為例證明.集合TG的所有元素都是群G的元素，故TGcG.反之，群G的任意元素R都可表成R=TiT^R)，而（T-W)是群G的元素，故R屬于rG，GcTG.證完.
對于有限群，群元素數(shù)目有限，因此有可能把元素的乘積全部排列出來，構(gòu)成一個表，稱為群的乘法表(multiplicationtable)，簡稱群表.為了確定起見，對于RS=T，今后稱R為左乘元素，S為右乘元素，而T為乘積元素.乘法表由下法建立：在表的最左面一列，把全部群元素列出來，作為左乘元素，在表的最上面一行，也把全部群元素列出來，作為右乘元素，元素的排列次序可以任意選定，但常讓左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在第一位.表的內(nèi)容有SxS格，每一格填入它所在行最左面一列的元素R(左乘元素）和它所在列最上面一行的元素S(右乘元素）的乘積RS.如果恒元排在表中第一個位置，因它與任何元素相乘還是該元素，故乘法表內(nèi)容中第一行和右乘元素相同，第一列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘積元素中每一行（或列）都不會有重復(fù)元素.乘法表完全描寫了有限群的性質(zhì)?
對兩個階數(shù)相同的有限群，當(dāng)把群元素分別按一定次序列在乘法表上時，實際上已給出了它們元素之間的一種一一對應(yīng)關(guān)系.如果在此對應(yīng)下，它們的乘法表完全相同，則此兩群同構(gòu).當(dāng)然，如果由于群元素排列次序選得不適當(dāng)，本來同構(gòu)的群也可能看起來似乎有不同的乘法表.當(dāng)階數(shù)確定后，重排定理大大限制了互相不同構(gòu)的有限群數(shù)目.例如，以后我們將證明，階數(shù)為相同素數(shù)的有限群都同構(gòu).
我們先來看二階群和三階群的乘法表.當(dāng)把第一列和第一行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全確定了表中剩余位置的填充，如表1.1和表1.2所示.
表1.1二階群的乘法表
表1.2三階群的乘法表
在二階群中，可讓e代表恒等變換，a代表空間反演變換，則此群正是對空間反演不變的系統(tǒng)的對稱變換群，常記為V2.也可讓e代表數(shù)1，a代表數(shù)-1，按普通的數(shù)乘積，它們也構(gòu)成二階群，記為C2.這兩群是同構(gòu)的，V2《C2，從群論觀點看它們完全相同.三階群中，可設(shè)e=1，w=exp(-i2jt/3)和c/=exp(i2jt/3)，按復(fù)數(shù)的乘積，它們構(gòu)成三階群，記為C3.
這兩個例子有一個共同的特點，就是群中所有元素都可由其中一個元素的冪次來表達.二階群中，e=a2；三階群中，o/=w2，e=oA推而廣之，由一個元素R及其冪次構(gòu)成的有限群稱為由R生成的循環(huán)群，N是循環(huán)群的階，R稱為循環(huán)群的生成元.N階循環(huán)群的一般形式是
循環(huán)群中元素乘積可以對易，因而循環(huán)群是阿貝爾群.循環(huán)群生成元的選擇不是唯
一的.例如，三階循環(huán)群中W和0/都可作為生成元.循環(huán)群的乘法表有共同的特點，當(dāng)表中元素按生成元的冪次排列時，表的每一行都可由前一行向左移動一格得到，而最左面的元素移到最右面去.
循環(huán)群的一個典型例子是由繞空間固定軸轉(zhuǎn)動變換構(gòu)成的群.按右手螺旋法則，繞軸的正向旋轉(zhuǎn)2n/N角的轉(zhuǎn)動記為Cn.由CN生成的循環(huán)群，記為CN.此軸常稱為N次固有轉(zhuǎn)動軸，簡稱N次軸，CN稱為N次固有轉(zhuǎn)動，簡稱N次轉(zhuǎn)動.對二次軸不必規(guī)定軸的正向，因為Ch=C^\N次轉(zhuǎn)動和空間反演a的乘積記為SN，SN=aCN=CNa，稱為N次非固有轉(zhuǎn)動.由SN生成的循環(huán)群記為有時也記為SN，它的階數(shù)g根據(jù)N是偶數(shù)或奇數(shù)，分別是N或2N.此轉(zhuǎn)動軸稱為N次非固有轉(zhuǎn)動軸.
既然有限群的元素數(shù)目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，當(dāng)冪次足夠高時必然會有重復(fù).由群中恒元唯一性知，有限群任一元素自乘若干次后必可得到恒元.若iT1=五，n是R自乘得到恒元的最低冪次，則n稱為元素R的階，R生成的循環(huán)群稱為R的周期.恒元的階為1，其他元素的階可以相等，也可以不相等，但都大于1.不同元素的周期也可