第1章數(shù)學(xué)建�；�本概念
　　隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)與現(xiàn)代化管理等方面獲得了越來越廣泛而深入的應(yīng)用，人們逐漸認(rèn)識(shí)到建立數(shù)學(xué)模型的重要性.實(shí)際問題的解決往往包括以下四個(gè)方面：數(shù)學(xué)建模、模型求解、結(jié)果分析、具體應(yīng)用.數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，下面就對(duì)數(shù)學(xué)模型的基本知識(shí)作一介紹。
　　1.1數(shù)學(xué)模型的概念
　　1.1.1模型
　　在日常生活和工作中，人們經(jīng)常會(huì)遇到或用到各種模型，如飛機(jī)模型、水壩模型、火箭模型、人造衛(wèi)星模型、大型水電站模型等實(shí)物模型；也有用文字、符號(hào)、圖表、公式、框圖等描述客觀事物的某些特征和內(nèi)在聯(lián)系的模型，如模擬模型、數(shù)學(xué)模型等.模型是客觀事物的一種簡(jiǎn)化的表示和體現(xiàn)，它應(yīng)具有如下的特點(diǎn)：
　　(1)它是客觀事物的一種模仿或抽象，它的一個(gè)重要作用就是加深人們對(duì)客觀事物如何運(yùn)行的理解.為了使模型成為幫助人們合理進(jìn)行思考的一種工具，要用一種簡(jiǎn)化的方式來表現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)或現(xiàn)象.
　　(2)為了能協(xié)助人們解決問題，模型必須具備所研究系統(tǒng)的基本特征或
　　要素.
　　(3)模型還應(yīng)包括決定其原因和效果的各個(gè)要素之間的相互關(guān)系.
　　有了這樣的一個(gè)模型，人們就可以在模型內(nèi)實(shí)際處理一個(gè)系統(tǒng)的所有要素，并觀察它們的效果.
　　模型可以分為實(shí)物模型和抽象模型，抽象模型又可以分為模擬模型和數(shù)學(xué)模型.
　　與上述的各種各樣的模型相對(duì)應(yīng)的是它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中的原型.所謂原型，是指人們研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象，也就是系統(tǒng)科學(xué)中所說的實(shí)際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等.
　　而模型則是指為了某個(gè)特定目的，將原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化、提煉而構(gòu)造的一種原型替代物，它們不是原模型原封不動(dòng)的復(fù)制品.原型有各個(gè)方面和各種層次的特征，模型則反映了與某種目的有關(guān)的那些方面和層次的特征.因此，對(duì)同一個(gè)原型，為了不同的目的，可以建立多種不同的模型.例如，作為玩具的飛機(jī)模型，在外形上與飛機(jī)形似，但不會(huì)飛；而參加航模競(jìng)賽的模型飛機(jī)就必須能夠飛行，對(duì)外觀則不必苛求；對(duì)于供飛機(jī)設(shè)計(jì)、研制用的飛機(jī)數(shù)學(xué)模型，則主要是要反映飛機(jī)的飛行動(dòng)態(tài)特征，而不涉及飛機(jī)的實(shí)體.
　　1.1.2數(shù)學(xué)模型
　　在現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際問題的解決中，會(huì)遇到大量的數(shù)學(xué)問題，但是，它們往往并不是自然地以現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題的形式出現(xiàn).首先，需要對(duì)要解決的實(shí)際問題進(jìn)行分析研究，經(jīng)過簡(jiǎn)化、提煉，歸結(jié)為一個(gè)能夠求解的數(shù)學(xué)問題，即建立該問題的數(shù)學(xué)模型.這是運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論與方法解決實(shí)際問題關(guān)鍵的第一步，然后，才能應(yīng)用數(shù)學(xué)理論、方法進(jìn)行分析和求解，進(jìn)而為解決現(xiàn)實(shí)問題提供數(shù)量支持與指導(dǎo).由此就顯現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的重要性.現(xiàn)實(shí)世界的問題往往比較復(fù)雜，在從事集中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程中，必須抓住主要因素，忽略一些次要因素，做出必要的簡(jiǎn)化，使抽象所得的數(shù)學(xué)問題能用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.
　　以解決某個(gè)現(xiàn)實(shí)問題為目的，經(jīng)過分析簡(jiǎn)化，從中抽象、歸結(jié)出來的數(shù)學(xué)問題就是該問題的數(shù)學(xué)模型.
　　具體來說就是指用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的關(guān)系式、圖表、框圖等描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量特征及其內(nèi)在聯(lián)系的一種模型.這個(gè)過程稱為數(shù)學(xué)建模.
　　一般地，數(shù)學(xué)模型可以這樣來描述：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定的對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).這里的特定對(duì)象，是指所要解決的某個(gè)具體問題;這里的特定目的，如分析、預(yù)測(cè)、控制、決策等；這里的數(shù)學(xué)工具指數(shù)學(xué)各分支的理論和方法及數(shù)學(xué)的某些軟件系統(tǒng)；這里的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)包括各種數(shù)學(xué)方程、表格、圖形等.
　　1.2數(shù)學(xué)模型的分類
　　數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，下面介紹常用的四種分類.
　　(1)按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：初等模型、運(yùn)籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、控制論模型等.
　　(2)按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域的不同，可分為：人口模型、交通模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)模型、金融模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型等。
　　(3)按照人們對(duì)建模機(jī)理了解程度的不同，可分為：
　　①白箱模型.主要指物理、力學(xué)等一些機(jī)理比較清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，這些方面的數(shù)學(xué)模型大多已經(jīng)建立起來，還需深入研究的主要是針對(duì)具體問題的特定目的進(jìn)行修正與完善，或者是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制等.
　　②灰箱模型.主要指生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中遇到的模型，人們對(duì)其機(jī)理雖有所了解，但還不很清楚，故稱灰箱模型，在建立和改進(jìn)模型方面還有不少工作要做。
　　③黑箱模型.主要指生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中遇到的模型，人們對(duì)其機(jī)理知之甚少，甚至完全不清楚，故稱為黑箱模型.
　　在工程技術(shù)和現(xiàn)代化管理中，有時(shí)會(huì)遇到這樣一類問題：由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，以及觀測(cè)困難等原因，人們也常常將它作為灰箱或黑箱模型問題來處理。應(yīng)該指出的是，這三者之間并沒有嚴(yán)格的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，關(guān)系也是不斷變化的。
　　(4)按照模型的表現(xiàn)特性不同，可分為：
　　①確定性模型與隨機(jī)性模型.前者不考慮隨機(jī)因素的影響，后者考慮了隨機(jī)因素的影響.
　�、陟o態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型.兩者的區(qū)別在于是否考慮時(shí)間因素引起的變化.
　　③離散模型與連續(xù)模型.兩者的區(qū)別在于描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量是離散的還是連續(xù)的.
　　1.3數(shù)學(xué)建模的原則
　　建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，尤其是建立抽象程度較高的模型是一種創(chuàng)造性的勞動(dòng).我們不能期望找到一種一成不變的方法來建立各種實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，所以數(shù)學(xué)建模的方法也是多種多樣的.但是，數(shù)學(xué)建模方法和過程也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)建模任務(wù)的完成.
　　因此，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)該遵照以下原則.
　　(1)要有足夠的精確度.就是要把本質(zhì)的性質(zhì)和關(guān)系反映進(jìn)去，把非本質(zhì)的東西去掉，而又不影響反映現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)的真實(shí)程度.
　�。�2)模型既要精確，又要盡可能的簡(jiǎn)單.因?yàn)樘珡?fù)雜的模型難以求解，而且如果一個(gè)簡(jiǎn)單的模型已經(jīng)可以使某些實(shí)際問題得到滿意的解決，那就沒必要再建立一個(gè)復(fù)雜的模型.因?yàn)闃?gòu)造一個(gè)復(fù)雜的模型并求解它，往往要付出較高的代價(jià).
　　(3)要盡量借鑒已有的標(biāo)準(zhǔn)形式的模型.
　　(4)構(gòu)造模型的依據(jù)要充分.就是說要依據(jù)科學(xué)規(guī)律、經(jīng)濟(jì)規(guī)律來建立有關(guān)的公式和圖表，并要注意使用這些規(guī)律的條件.
　　1.4數(shù)學(xué)建模的方法
　　數(shù)學(xué)建模的方法按大類來分，大體上可分為三類.
　　1.4.1機(jī)理分析法
　　機(jī)理分析法就是根據(jù)人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的了解和已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等，分析研究對(duì)象中各變量（因素）之間的因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機(jī)理規(guī)律的一類方法.使用這種方法的前提是對(duì)研究對(duì)象的機(jī)理有一定的了解.
　　1.4.2測(cè)試分析法
　　當(dāng)對(duì)研究對(duì)象的機(jī)理不清楚的時(shí)候，還可以把研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出進(jìn)行觀測(cè)，并以這些實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析來建立模型，這樣的一類方法稱為測(cè)試分析法.
　　1.4.3綜合分析法
　　對(duì)于某些實(shí)際問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來使用.例如，用機(jī)理分析法確定模型結(jié)構(gòu)，再用測(cè)試分析法確定其中的參數(shù)，這類方法稱為綜合分析法.
　　1.5數(shù)學(xué)建模的步驟
　　1.5.1建模準(zhǔn)備
　　通常，當(dāng)遇到某個(gè)實(shí)際問題時(shí)，在開始階段對(duì)問題的理解往往不是很清楚，所以需要深入實(shí)際進(jìn)行調(diào)查研究，收集與研究問題有關(guān)的信息、資料，與熟悉情況的有關(guān)人員進(jìn)行討論，查閱有關(guān)的文獻(xiàn)資料，明確問題的背景和特征，由此初步確定它可能屬于哪一類模型等.總之，要做好建模前的準(zhǔn)備工作，明確所要研究解決的問題和建模要達(dá)到的主要目的.
　　1.5.2分析簡(jiǎn)化
　　對(duì)所研究的問題和收集的信息資料進(jìn)行分析，弄清哪一些因素是主要的、起主導(dǎo)作用，哪一些因素是次要的，并根據(jù)建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即對(duì)實(shí)際問題作一些必要的簡(jiǎn)化，用精確的語言做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè).應(yīng)該說這是一個(gè)十分困難的問題，也是建模過程中十分關(guān)鍵的一步，往往不可能一次完成，需要經(jīng)過多次反復(fù)試驗(yàn)才能完成.
　　1.5.3模型建立
　　在前述工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)所作的假設(shè)，分析研究對(duì)象的因果關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言加以刻畫，就可得到所研究問題的數(shù)學(xué)描述，即構(gòu)成所研究問題的數(shù)學(xué)模型.通常它是描述問題的主要因素的變量之間的一個(gè)關(guān)系式或其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在初步構(gòu)成數(shù)學(xué)模型之后，一般還要進(jìn)行必要的分析和化簡(jiǎn)，使它達(dá)到便于求解的形式，并根據(jù)研究的目的，對(duì)它進(jìn)行檢查，主要是看它能否代表研究的實(shí)際問題.
　　1.5.4模型求解
　　當(dāng)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法還不能很好解決所歸結(jié)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，就需要針對(duì)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)有的方法進(jìn)行改進(jìn)或提出新的方法以適應(yīng)需要。
　　1.5.5模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)
　　數(shù)學(xué)模型總是在不斷地分析、檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)中，不斷地進(jìn)行改進(jìn)和完善的.數(shù)學(xué)模型是否便于求解也是評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)然，建模的目的是為了解決實(shí)際問題，所以評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣最重要的標(biāo)準(zhǔn)是模型及其解能否反映現(xiàn)實(shí)問題、滿足解決實(shí)際問題的需要。
　　1.5.6模型應(yīng)用
　　模型應(yīng)用就是把經(jīng)過多次反復(fù)改進(jìn)的模型及其解應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)，看能否達(dá)到預(yù)期的目的.若不夠滿意，則建模任務(wù)仍未完成，需要繼續(xù)努力（圖1.5.1)。
　　6.模型應(yīng)用3.模型構(gòu)成
　　4.模型求解
　　圖1.5.1數(shù)學(xué)建模流程圖
　　應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，并不是所有的數(shù)學(xué)建模過程都要按上述步驟進(jìn)行.上述步驟只是數(shù)學(xué)建模過程的一個(gè)大致的描述，實(shí)際建模時(shí)可以靈活應(yīng)用。
　　1.6數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡(jiǎn)介
　　1.6.1美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
　　1985年由美國(guó)數(shù)學(xué)及應(yīng)用協(xié)會(huì)（ConsortiumforMathematicsanditsApplications，COMAP)主辦、美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，SIAM)、美國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)（OperationsResearchSocietyofAmerica，ORSA)和幾所大學(xué)支持的美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MathematicalContestinModeling，MCM)第一-次舉辦，除美國(guó)之外，加拿大、中國(guó)、荷蘭和中國(guó)香港地區(qū)等地的學(xué)校也相繼參加.我國(guó)最早是在1989年由北京的三所大學(xué)組隊(duì)參加美國(guó)的MCM.競(jìng)賽的目的在于鼓勵(lì)和訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，競(jìng)賽題目均從有實(shí)際意義的課題中提煉而成，沒有預(yù)先設(shè)定的答案。
　　參加競(jìng)賽的隊(duì)伍由三名在校大學(xué)生組成，配一名指導(dǎo)教師.競(jìng)賽時(shí)從兩道題中任選一題，在指定的四天內(nèi)完成，可以參閱各種圖書資料，使用計(jì)算機(jī)及各種軟件但不得和其他人討論.提交的論文應(yīng)包括問題的闡述、模型假設(shè)條件、問題分析、模型設(shè)計(jì)與討論（誤差、穩(wěn)定性、優(yōu)缺點(diǎn)），一般要有計(jì)算程序和結(jié)果。
　　……