第1章　無窮小的魔術
　　“數學是關于無窮的科學。”——大數學家希爾伯特名言
　　1. 從微積分說起
　　有朋友對我說，簡單的初等數學永遠能記住，因為它對日常生活很有用處，比如算賬什么的就需要。至于微積分嘛，早都還給老師去了，因為它與實際生活沒有關系啊！微積分與我們日常生活真的無關嗎？其實不然，看了下面這幾個例子，也許你的看法就不一樣了。
　　你去爬山時一定注意過山坡的形狀，有的簡單、有的復雜，或高或低、或平或陡。但無論何種形狀，山坡的高度總是隨著離山腳下出發(fā)點的距離而變化的。有的部分很陡，也就是說高度變化得很快；而另一些部分比較平坦，即高度變化得慢，或者幾乎不變。如何來描述高度的這種變化呢？快還是慢，陡還是平？我們可以用一個叫“坡度”的數值來表示。坡度定義為高度的增加與你走過的水平距離的比值。比如，如果像圖1.1（a）所示的簡單形狀，用初等數學中的簡單幾何知識就能描述，不就是幾條直線構成的幾個三角形和矩形嗎？在這種情形下，坡度的計算也很簡單，如圖中所示，用高度除以距離即可得到。圖1.1（a）中的山坡分成簡單的3段：上坡、平地、下坡，在每一段中，坡度都將分別是一個常數。
　　數學中有一個更專業(yè)的詞匯來描述上面例子中的山坡形狀，那就是“函數”。函數是用來描述變量之間的關系的，比如說，在上面的例子中，山坡的高度y隨著離出發(fā)點O的水平距離x而變化，也就是說，y是x的函數。這里，y是函數，x叫作自變量。函數和自變量的關系可以用像圖1.1（a）中所畫的類似曲線來描述，而剛才爬山例子中所說的“坡度”，也有一個數學術語：曲線的斜率。斜率表征了函數在某點的變化快慢，它的計算便需要用到微積分。
　　當然，如果山坡的形狀很簡單，并不需要用微積分來計算坡度，比如像圖1.1（a）的情況，山坡的每一段都是直線，計算坡度時只需要用這一段山坡高度的變化Δy除以水平距離的變化Δx就行了。從圖1.1（a）的圖形來估計，第一段山路的坡度大約等于1；第二段山路中高度沒有變化，坡度為0；第三段是很陡的下坡路，坡度是負數，絕對值大于1。
　　但是，如果山坡的形狀比較復雜如圖1.1（b）所示，坡度就不方便用初等數學來計算了。這時候，就需要用到微積分這個銳利的工具。
　　因此，可以粗略地說，微積分是用來研究函數是如何變化的。
　　圖1.1　山坡形狀及坡度計算
　　首先，它可以被用來計算函數變化的斜率，從而考察函數變化的快慢。當函數很復雜，是個任意形狀的曲線時，斜率的計算也變得很復雜，這時候，微積分便被派來解決這種問題。
　　在日常生活中，復雜的函數形狀比比皆是。由于我們的世界處于不斷的變化和運動之中，一切皆變數，到處都是“變量”，幾乎在每一個領域，都能見到使用各種曲線來描述經濟的發(fā)展、公司的業(yè)績、員工的增長、交通的繁忙 如何深入研究這些變化呢？答案就是微積分。
　　比如，圖1.2所示的股票市場、溫度變化、心電圖等，這些曲線都可用微積分來分析。
　　讓我們再回到山坡的例子，解釋如何計算坡度。初等數學只能處理簡單的函數，計算如同圖1.1（a）所示的山坡形狀的坡度。如果碰到變化多端的任意形狀的函數，該如何計算斜率呢？比如，如何計算圖1.1（b）所示的那種復雜山坡的坡度呢？
　　當然，我們仍然可以沿用圖1.1（a）所示的方法，用高度Δy除以距離Δx來計算，但這時得到的數值只能算是某一段距離Δx中的平均坡度。如果我們改變計算所用的Δx的大小，平均坡度也將隨之變化。例如，當我們要計算圖1.1（c）中某一個點A附近的坡度，
　　圖1.2　日常生活中的函數
　　可以采取如下步驟：從A點的x開始，首先增加到x＋Δx1，如果y的改變?yōu)棣�y1，便能算出第一個平均坡度P1＝Δy1/Δx1。然后，逐次減小Δx1使之成為Δx2， Δx3， ， Δxn，相應地得到y(tǒng)的增量：Δy2， Δy3， ， Δyn，最后，分別計算相應的坡度P2， P3， ， Pn。P1， P2， P3， ， Pn是對應于x的一系列增量Δx1， Δx2， Δx3， ， Δxn的平均坡度。如果要更為準確地反映某一“點A”的坡度，就必須將計算的范圍，即Δx取得更小，更靠近這個“點A”。我們如此想象下去，Δx越來越小，那么Δy也會越來越小 最后得到的比值P＝Δy/Δx便可以表示“點A”的坡度了。
　　上述段落中所描述的便是使用微積分來計算斜率的思想。微積分是“微分”和“積分”的統(tǒng)稱。所謂微分的意思就是說，將自變量的變化Δx變得微小又微小，直到“無限小”，而觀察函數y是如何變化的。一般來說，y的變化Δy也會是一個“無限小”的量。但人們關心的是這兩個“無限小”量的比值，即上面例子中所描述的山坡在點A的坡度P，或在一般情形下稱之為曲線在該點的斜率P。我們將這個值P叫作函數y對x在給定點的微分，也叫作y對x的導數。
　　“無窮小”或“無限小”，是一個有趣又有用的概念。如我們本章開頭所引用的大數學家希爾伯特的名言所說的那樣，數學就是研究“無窮”的科學。希爾伯特還說過：“無窮！再也沒有其他問題如此深刻地打動過人類的心靈。”的確如此，“無窮大”和“無窮小”這兩個神秘而又令人困惑的詞與現代數學，進而與現代科學技術緊緊地聯系在一起。它們深刻地影響了人類的精神，激勵著人類的智力。“無窮小”在人類的科學技術舞臺上變換表演出各種精湛絕美的魔術，也就是我們將要在本章看到的“無窮小”的魔術。
　　生活中經常碰到的需要求函數的導數的例子是計算運動物體的速度。比如我們開車出外旅游，汽車行駛的距離s便是時間t的函數，汽車的速度v就是距離隨著時間的增長率。速度v是不停變化的，所謂需要計算汽車在某個時刻的“瞬時速度”，也就是計算函數s對時間t在一個點上的導數。
　　從以上的介紹我們明白了，微分的方法可用來求變量的導數，計算函數的增長率、坡度、速度等。積分又有何用途呢？積分實際上是微分的逆運算，也就是說，從山坡的坡度反過來計算山坡的高度。或者說，知道汽車在所有點的瞬時速度，反過來計算汽車行駛的距離時，就需要用到積分（圖1.3）。對簡單函數，比如圖1.3（a）所示的勻速運動，已知速度求距離很簡單，只需要將速度乘時間即可，對應于圖1.3（a）中陰影矩形的面積。然而，如果速度隨時間不停變化，如圖1.3（b）所示的變速運動，這時候需要計算面積的圖形形狀就不是簡單的矩形了。那么，應該如何來計算一個任意形狀的圖形面積呢？積分的思想就是把這個圖形分成n個狹窄的、寬度為Δx的長條，然后把所有長條的面積加起來，得到Sn。當這些長條的寬度Δx趨近于“無限小”時，Sn趨近的數值就等于曲線下形成的圖形的面積，也就是速度函數的積分值，即距離。
　　圖1.3　勻速運動和變速運動時的求積分運算
　　這種將變量的變化趨于“無限小”的想法，也就是所謂的“極限”概念，是微積分的基本思想�，F在我們說起“極限”來，好像并不難理解。但是，從產生這種最初的極限思想開始，又將其發(fā)展概括，最后整理歸納為數學語言，人類每一步走過來，都歷經了漫長的歷史過程。下一節(jié)，筆者便帶你簡單地回顧極限概念的發(fā)展歷史。
　　2. 阿基里斯能追上烏龜嗎？
　　極限這個字眼激發(fā)我們無限的想象，首先讓我們聯想到的是人們常常說的一句話：“挑戰(zhàn)極限。”不過，在數學上，極限有它獨特的含義，表示的是一種數學量無限趨近某個固定數值。極限思想的萌芽階段可以上溯到兩千多年前。希臘哲學家芝諾（Zeno of Elea，公元前490~前430年）曾經提出一個著名的阿基里斯悖論，這就是古希臘極限萌芽意識的典型體現。
　　阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄人物，參與了特洛伊戰(zhàn)爭，被稱為“希臘第一勇士”。假設他跑步的速度為烏龜的10倍，比如說，阿基里斯每秒鐘跑10m，烏龜每秒鐘跑1m。出發(fā)時，烏龜在他前面100m處。按照我們每個人都具備的常識，阿基里斯很快就能追上并超過烏龜。我們可以簡單地計算一下20s之后阿基里斯和烏龜在哪里？20s之后，阿基里斯跑到了離他出發(fā)點200m的地方，而烏龜呢，只在離它自己出發(fā)點的20m之處，也就是距阿基里斯出發(fā)點的120m之處，阿基里斯顯然早就超過了它（圖1.4）。
　　但是，從古至今的哲學家們都喜歡狡辯，芝諾說：“不對，阿基里斯永遠都趕不上烏龜！”為什么呢？芝諾說，你看，開始的時候，烏龜超過阿基里斯100m，當阿基里斯跑了100m到了烏龜開始的位置時，烏龜已經向前爬了10m，這時候，烏龜超前阿基里斯10m；然后，我們就可以一直這樣說下去：當阿基里斯又跑了10m后烏龜超前1米；下一時刻，烏龜超前0.1m；再下一刻，烏龜超前0.01m， 0.001m， 0.0001m 不管這個數值變得多么小，烏龜永遠在阿基里斯前面。所以，阿基里斯不可能追上烏龜。
　　正如柏拉圖所言，芝諾編出這樣的悖論，或許是興之所至而開的小玩笑。芝諾當然知道阿基里斯能夠趕上烏龜，但他的狡辯聽起來也似乎頗有道理，怎樣才能反駁芝諾的悖論呢？
　　再仔細分析一下這個問題。將阿基里斯開始的位置設為0點，那時烏龜在阿基里斯前面100m，位置＝100m。我們可以計算一下在比賽開始（100/9）s之后，阿基里斯及烏龜的位置。阿基里斯跑了（1000/9）m，烏龜跑了（100/9）m，加上原來的100m，烏龜所在的位置＝（100/9＋100）m＝（1000/9）m，與阿基里斯在同一個位置，說明在（100/9）s的時候阿基里斯追上了烏龜。但是，按照悖論的邏輯，將這11s＋（1/9）s的時間間隔無限細分，給我們一種好像這段時間永遠也過不完的印象。就好比說，你有1t的時間，過了一半，還有（1/2）t；又過了一半，還有（1/4）t；又過了一半，你還有（1/8）t， （1/16）t，（1/32）t 一直下去，好像這后面的半小時永遠也過不完了，這當然與實際情況不符。事實上，無論你將這后面的半小時分
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