《數(shù)值計算方法(第3版)》主要介紹常用的數(shù)值計算方法,教材體系、內(nèi)容安排、例題習(xí)題配置合理,被高校教師廣泛認(rèn)可。鑒于現(xiàn)代數(shù)值技術(shù)的發(fā)展和高校課程的教學(xué)改革,結(jié)合教師的使用意見,編者對教材進(jìn)行了較大修訂,以適應(yīng)該課程的教學(xué)需要。主要修訂內(nèi)容如下:第一章增加有效數(shù)字與相對誤差之間關(guān)系的定量結(jié)論;第二章增加一節(jié)簡介求解非線性方程組的牛頓法;第三章增加處理病態(tài)線性方程組的預(yù)條件技術(shù);第四章增加埃爾米特插值,修正最小二乘法中的一些結(jié)論表述;第五章增加一節(jié)“高斯型求積公式”;第六章增加用有限差分方法求解邊值問題的帶導(dǎo)數(shù)邊界條件的離散處理方法等。
緒論
第1章 誤差
&1 誤差的來源
&2 絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字
2.1 絕對誤差與絕對誤差限
2.2 相對誤差與相對誤差限
2.3 有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)
2.4 有效數(shù)字、絕對誤差、相對誤差之間的關(guān)系
&3 數(shù)值運(yùn)算中誤差傳播規(guī)律簡析
&4 數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)注意的幾個原則
小結(jié)
習(xí)題一
第2章 非線性方程求根
&1 二分法
&2 迭代法
2.1 簡單迭代法
2.2 迭代法的幾何意義
2.3 迭代法收斂的充分條件
&3 牛頓迭代法與弦割法
3.1 牛頓迭代公式及其幾何意義
3.2 牛頓迭代法收斂的充分條件
3.3 弦割法
&4 非線性方程組牛頓迭代法求根
&5 迭代法的收斂階與加速收斂方法
小結(jié)
習(xí)題二
第3章 線性代數(shù)方程組的解法
&1 高斯消元法與選主元技巧
1.1 三角形方程組及其解法
1.2 高斯消元法
1.3 列主元消元法
&2 三角分解法
2.1 矩陣的三角分解
2.2 杜利特爾分解法
2.3 解三對角線方程組的追趕法
2.4 解對稱正定矩陣方程組的平方根法
&3 向量與矩陣的范數(shù)
3.1 向量的范數(shù)
3.2 矩陣的范數(shù)
&4 迭代法
4.1 雅可比迭代法
4.2 高斯-賽德爾迭代法
4.3 迭代法收斂條件與誤差估計
4.4 逐次超松弛迭代法
&5 方程組的狀態(tài)與解的迭代改善
5.1 方程組的狀態(tài)與矩陣的條件數(shù)
5.2 方程組近似解可靠性判別法
5.3 近似解的迭代改善法
5.4 預(yù)條件處理方法
小結(jié)
習(xí)題三
第4章 插值與擬合
&1 插值概念與基礎(chǔ)理論
1.1 插值問題的提法
1.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性
1.3 插值余項(xiàng)
&2 插值多項(xiàng)式的求法
2.1 拉格朗日插值多項(xiàng)式
2.2 差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式
2.3 差分與等距結(jié)點(diǎn)下的牛頓公式
&3 分段低次插值
3.1 分段線性插值與分段二次插值
3.2 三次樣條插值
&4 埃爾米特(Hemite)插值
&5 函數(shù)最佳逼近
5.1 最佳一致逼近多項(xiàng)式
5.2 最佳平方逼近
&6 曲線擬合的最小二乘法
6.1 最小二乘問題的提法
6.2 最小二乘解的求法
6.3 加權(quán)技巧的應(yīng)用
小結(jié)
習(xí)題四
第5章 數(shù)值微分與數(shù)值積分
&1 數(shù)值微分
1.1 利用插值多項(xiàng)式構(gòu)造數(shù)值微分公式
1.2 利用三次樣條插值函數(shù)構(gòu)造數(shù)值微分公式
&2 構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本方法與有關(guān)概念
2.1 構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本方法
2.2 數(shù)值積分公式的余項(xiàng)
2.3 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度
&3 牛頓-科茨公式
3.1 牛頓-科茨公式
3.2 復(fù)合低階牛頓-科茨公式
3.3 誤差的事后估計與步長的自動調(diào)整
3.4 變步長復(fù)合梯形法的遞推算式
&4 龍貝格算法
&5 高斯型求積公式簡介
&6 自適應(yīng)求積方法
小結(jié)
習(xí)題五
第6章 常微分方程的數(shù)值解法
&1 歐拉方法與改進(jìn)歐拉方法
1.1 歐拉方法
1.2 歐拉公式的局部截斷誤差與精度分析
1.3 改進(jìn)歐拉方法
&2 龍格-庫塔法
2.1 龍格-庫塔法的構(gòu)造原理
2.2 經(jīng)典龍格-庫塔法
2.3 步長的自動選擇
&3 收斂性與穩(wěn)定性
3.1 收斂性
3.2 穩(wěn)定性
&4 一階方程組與高階方程的數(shù)值解法
4.1 一階方程組初值問題的數(shù)值解法
4.2 高階方程初值問題的數(shù)值解法
&5 邊值問題的數(shù)值解法
5.1 打靶法
5.2 有限差分法
小結(jié)
習(xí)題六
第7章 矩陣特征值計算
&1 冪法及反冪法
&2 計算對稱矩陣的全部特征值方法——雅可比方法
&3 初等反射矩陣(豪斯霍爾德變換)
小結(jié)
習(xí)題七
第8章 上機(jī)實(shí)習(xí)參考題
習(xí)題答案
參考文獻(xiàn)
數(shù)值微分與數(shù)值積分都是利用函數(shù)在一些點(diǎn)上的函數(shù)值推算導(dǎo)數(shù)或積分近似值的方法,在實(shí)際計算中常常被采用。本章主要應(yīng)用插值多項(xiàng)式pn(x)近似代替f(x),導(dǎo)出了計算導(dǎo)數(shù)或積分近似值的一些基本公式。對于數(shù)值積分,各個公式使用的效果如何,不但與公式本身有關(guān),而且還與被積函數(shù)的性態(tài)以及對計算結(jié)果精度的要求有關(guān)。高階(即求積結(jié)點(diǎn)較多)牛頓—科茨公式,不但計算復(fù)雜,而且穩(wěn)定性又差,因此很少被人引用。低階牛頓—科茨公式盡管計算簡單、使用方便,但由于精度較差,只有在對計算結(jié)果精度要求不高時才使用。但是,在引入復(fù)合求積法以后,從這些公式出發(fā),可以構(gòu)造出具有較大實(shí)用價值的復(fù)合低階牛頓—科茨公式,例如復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式,它們既保留了低階牛頓—科茨公式的優(yōu)點(diǎn),又能保證獲得精度較高的計算結(jié)果。龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中,對用復(fù)合梯形法所獲得的近似值進(jìn)行多級“加工”,以獲得準(zhǔn)確程度較高的積分近似值的方法,具有公式簡練、使用方便、結(jié)果準(zhǔn)確等特點(diǎn),而且計算量往往小于復(fù)合梯形公式或復(fù)合辛普森公式。