20世紀(jì)初，偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特發(fā)現(xiàn)，有很多數(shù)學(xué)中的重要論點(diǎn)在結(jié)構(gòu)上十分類似。他意識(shí)到，在適當(dāng)?shù)膹V義范疇下，這些論點(diǎn)事實(shí)上可以視為等同。與此類似的一系列發(fā)現(xiàn)為一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)分支開啟了大門。而這一新領(lǐng)域中的一個(gè)核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來(lái)命名的，這一概念使許許多多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究變得清晰，范圍之廣包括了從數(shù)論直到量子力學(xué)各個(gè)分支，以至于如果你對(duì)希爾伯特空間的基本理論一無(wú)所知，你就根本不能算是一名受過(guò)良好教育的數(shù)學(xué)家。
　　那么，什么是希爾伯特空間呢？在典型的高校數(shù)學(xué)課程中，它被定義為“完備的內(nèi)積空間”。修讀這樣一門課程的學(xué)生，理應(yīng)從先修課程中了解到，所謂“內(nèi)積空間”是指配備了內(nèi)積的向量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當(dāng)然，要想理解這樣的定義，學(xué)生還必須知道“向量空間”、“內(nèi)積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個(gè)舉例來(lái)說(shuō)（這還并不是最長(zhǎng)的一個(gè)）：序列x1，x2，x3，…若滿足對(duì)于任意正數(shù)ε，總存在整數(shù)N，使得對(duì)于任意大于N的整數(shù)p和q，xp與xq間的距離不大于ε，則稱這個(gè)序列為柯西列。
　　簡(jiǎn)言之，如果你希望了解希爾伯特空間是什么，你就必須首先學(xué)習(xí)并且消化一系列由低到高、等級(jí)分明的較低級(jí)概念。毫無(wú)疑問(wèn)這需要耗費(fèi)時(shí)間和精力。對(duì)于許多最重要的數(shù)學(xué)思想來(lái)說(shuō)都是這樣。有鑒于此，要寫一本書提供對(duì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單易懂的介紹，其所能達(dá)到的目標(biāo)就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
　　我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個(gè)難題走，而是集中關(guān)注數(shù)學(xué)交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙并非技術(shù)性的，而更多屬于哲學(xué)性質(zhì)的。它區(qū)分開了兩種人：一種人樂(lè)于接受諸如無(wú)窮大、負(fù)一的平方根、第二十六維和彎曲空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經(jīng)。其實(shí)無(wú)須沉浸在技術(shù)細(xì)節(jié)中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力表明如何做到這一點(diǎn)。
　　如果說(shuō)這本書要向你傳達(dá)什么信息的話，那就是——我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)抽象地思考，因?yàn)橥ㄟ^(guò)抽象地思考，許多哲學(xué)上的困難就能輕易地消除。在第二章里，我將詳細(xì)說(shuō)明什么是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關(guān)的抽象：從現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題中提取核心特征，從而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。第三章中我將討論什么叫作“嚴(yán)格的證明”。這前三章是關(guān)于一般性的數(shù)學(xué)的。
　　之后我將討論一些更加具體的課題。最后一章與其說(shuō)是關(guān)于數(shù)學(xué)的，不如說(shuō)是關(guān)于數(shù)學(xué)家的，因此會(huì)跟前幾章有些不同。我建議你在讀過(guò)第二章后再閱讀后續(xù)章節(jié)。除此以外，這本書已經(jīng)盡量做到不受先后順序影響——在任何章節(jié)中，我并沒有假定讀者已經(jīng)理解并記住了先前的內(nèi)容。
　　讀這本書并不需要太多的預(yù)備知識(shí)，英國(guó)GCSE課程或同等水平即可。不過(guò)我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚(yáng)。因此，我在書中沒有用到趣聞?shì)W事、漫畫、驚嘆號(hào)、搞笑的章節(jié)標(biāo)題或者曼德布羅特集合的圖片。我同樣避免了混沌理論、哥德爾定理等內(nèi)容：與它們?cè)诋?dāng)前數(shù)學(xué)研究中的實(shí)際影響相比，這些內(nèi)容在公眾的想象中所占的比例已經(jīng)過(guò)大，而且其他圖書已經(jīng)充分地闡釋了這些內(nèi)容。我所選擇的內(nèi)容都是很普通的，詳細(xì)地去討論，以說(shuō)明怎樣通過(guò)一種更深刻的方式來(lái)理解它們。換言之，我的目標(biāo)在深不在廣，在于向讀者傳達(dá)主流數(shù)學(xué)的魅力，讓讀者體會(huì)到它的不言而喻。
　　感謝克雷數(shù)學(xué)研究所和普林斯頓大學(xué)在我寫作此書期間對(duì)我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特?阿代爾、麗貝卡?高爾斯、埃米莉?高爾斯、帕特里克?高爾斯、喬書亞?卡茨和埃德蒙?托馬斯閱讀了本書的初稿。他們非常聰明，知識(shí)豐富，實(shí)在不能算作普通讀者，不過(guò)還是能夠讓我放心，至少某些非數(shù)學(xué)專家是能夠讀懂我的作品的。基于他們對(duì)此書的評(píng)論，我作出了許多改進(jìn)。我把這本書獻(xiàn)給埃米莉，希望她能夠借此了解一點(diǎn)點(diǎn)我整天都在做的是些什么事情。
　　第八章 常見問(wèn)題
　　1. 數(shù)學(xué)家在30歲以后就不比當(dāng)年了，這是真的嗎？
　　這種傳說(shuō)影響頗為廣泛，正由于人們誤解了數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)，才使得它很有吸引力。人們總喜歡把數(shù)學(xué)家看作極具天資的人，并認(rèn)為天資這種東西有些人生來(lái)就有，其他人則絕難獲得。
　　其實(shí)，年齡與數(shù)學(xué)成果間的關(guān)系對(duì)不同人來(lái)說(shuō)差別很大。的確有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家在20來(lái)歲的時(shí)候做出了他們最杰出的工作，但絕大多數(shù)人都認(rèn)為，他們的知識(shí)水平和專業(yè)素質(zhì)終其一生都在穩(wěn)健地提高，在許多年里，這種專業(yè)水平的增長(zhǎng)都能夠彌補(bǔ)“原生”腦力的任何衰退（如果確實(shí)有“原生”腦力這回事的話）。確實(shí)數(shù)學(xué)家在年逾40歲之后就少有重要的突破性進(jìn)展了，但這也很有可能是社會(huì)學(xué)方面的原因。到了40歲時(shí)，如果有人還有能力做出突破性的工作，那么他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數(shù)學(xué)家那樣具有奮斗精神。不過(guò)還是有很多反例的，有很多數(shù)學(xué)家在退休之后熱情不減，還繼續(xù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域工作。
　　一般來(lái)講，人們通常所想象的數(shù)學(xué)家的形象——可能很聰明，但有點(diǎn)古怪，穿著邋遢，毫無(wú)性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家在一定程度上的確符合這種形象，但如果你認(rèn)為不這樣就做不好數(shù)學(xué)，這種想法可就太蠢了。實(shí)際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪?jǐn)?shù)學(xué)家更勝一籌。一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的所有學(xué)生中，最后成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開了數(shù)學(xué)，比如失去興趣、沒有申請(qǐng)到讀博機(jī)會(huì)，或者得到了博士學(xué)位但沒有獲得教職。在我看來(lái)（實(shí)際上不僅只有我這么想），對(duì)最終通過(guò)了這層層考驗(yàn)的人來(lái)說(shuō)，那些“怪人”所占的比例比占一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生的比例要小。
　　對(duì)數(shù)學(xué)家這樣的負(fù)面刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來(lái)可能喜歡并且擅長(zhǎng)這一領(lǐng)域的人，但是“天才”這個(gè)詞則更加惡毒，殺傷力更大。這里有一個(gè)現(xiàn)成的對(duì)“天才”的大致定義：對(duì)于別人必須經(jīng)過(guò)多年實(shí)踐都未必能夠掌握的事情，天才就是那些在少年時(shí)期就能夠輕易做好這些事的人。天才的成就有著魔法般的特質(zhì)，就好像他們的大腦并不只是比我們更有效率，而是運(yùn)轉(zhuǎn)方式完全不同。劍橋大學(xué)每年都會(huì)有一兩個(gè)數(shù)學(xué)系本科生，他們經(jīng)常在數(shù)分鐘之內(nèi)就能解決的問(wèn)題，大多數(shù)人——包括應(yīng)該能夠教他們的人——往往需要花上幾個(gè)小時(shí)以上。遇到這種人的時(shí)候，我們只能退避三舍、頂禮膜拜。
　　然而，這些超乎尋常的人并不總是最成功的數(shù)學(xué)研究者。如果你想要解決某個(gè)問(wèn)題，而之前嘗試過(guò)的數(shù)學(xué)家都以失敗告終，那么你需要具備種種素質(zhì)，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過(guò)一個(gè)極端一點(diǎn)的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。安德魯?懷爾斯（在剛到40歲的時(shí)候）證明了費(fèi)馬大定理（即對(duì)任意正整數(shù)x,y,z及大于2的正整數(shù)n，xn+yn不可能等于zn），解決了世界上最著名的數(shù)學(xué)難題。毫無(wú)疑問(wèn)他很聰明，但他并不是我所說(shuō)的天才。
　　你可能會(huì)問(wèn)，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？回答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無(wú)法解釋的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅(jiān)定和耐心，對(duì)他人完成的艱難工作的廣泛了解，在正確時(shí)間專攻正確領(lǐng)域的運(yùn)氣，以及杰出的戰(zhàn)略性眼光。
　　上面所說(shuō)的最后一條素質(zhì)，從根本上要比驚人的大腦運(yùn)轉(zhuǎn)速度更加重要。數(shù)學(xué)中絕大多數(shù)影響深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的。隨著數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)，他們都會(huì)逐漸學(xué)會(huì)這個(gè)行當(dāng)里的各種把戲，部分來(lái)自于其他數(shù)學(xué)家的工作，部分來(lái)自于自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)間的思考。是否能將他們的專長(zhǎng)用于解決極其困難的問(wèn)題，則在很大程度上決定于細(xì)致的規(guī)劃：選取一些可能會(huì)結(jié)出豐碩成果的問(wèn)題，知道什么時(shí)候應(yīng)該放棄一條思路（相當(dāng)困難的判斷），能夠先勾勒出論證問(wèn)題的大框架繼而再時(shí)不時(shí)地向里面填充細(xì)節(jié)。這就需要對(duì)數(shù)學(xué)有相當(dāng)成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會(huì)伴隨著天賦。
　　2. 為什么女性數(shù)學(xué)家很少見？
　　真想回避這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)榛卮疬@個(gè)問(wèn)題很容易冒犯別人。但是，在全世界各地的數(shù)學(xué)系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很��；這是一個(gè)值得注意的現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)生活中的一個(gè)重要事實(shí)，我被迫感到不得不說(shuō)點(diǎn)什么，盡管我所要說(shuō)的也無(wú)非是對(duì)此感到不解和遺憾。
　　值得強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)家中女性較少只不過(guò)是一種統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象：確實(shí)有十分優(yōu)秀的女性數(shù)學(xué)家，與男性同行一樣，她們表現(xiàn)優(yōu)秀的方式也多種多樣，有時(shí)也包括擁有天賦。沒有任何跡象表明，女性在數(shù)學(xué)中所能達(dá)到的成就會(huì)有上限。我們有時(shí)會(huì)讀到，在特定的智力測(cè)試中——比如說(shuō)視覺空間能力，男性表現(xiàn)得更優(yōu)秀，有人認(rèn)為這解釋了他們主導(dǎo)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的原因。然而，這樣的論據(jù)不足以令人信服，因?yàn)橐曈X空間能力能夠通過(guò)練習(xí)來(lái)增強(qiáng)，而且盡管它有時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)家有幫助，卻并非不可或缺。
　　更可信的一種理由是社會(huì)方面的因素：當(dāng)男孩子為數(shù)學(xué)能力感到驕傲?xí)r，可以想象某個(gè)女孩子可能會(huì)為自己擅長(zhǎng)這項(xiàng)不那么女性化的事務(wù)而感到窘迫。而且，有數(shù)學(xué)天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們只能靠自我保持、自我強(qiáng)化。一項(xiàng)社會(huì)因素可能會(huì)在之后發(fā)揮更大的作用：比起其他學(xué)科來(lái)，前言
　　20世紀(jì)初，偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特發(fā)現(xiàn)，有很多數(shù)學(xué)中的重要論點(diǎn)在結(jié)構(gòu)上十分類似。他意識(shí)到，在適當(dāng)?shù)膹V義范疇下，這些論點(diǎn)事實(shí)上可以視為等同。與此類似的一系列發(fā)現(xiàn)為一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)分支開啟了大門。而這一新領(lǐng)域中的一個(gè)核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來(lái)命名的，這一概念使許許多多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究變得清晰，范圍之廣包括了從數(shù)論直到量子力學(xué)各個(gè)分支，以至于如果你對(duì)希爾伯特空間的基本理論一無(wú)所知，你就根本不能算是一名受過(guò)良好教育的數(shù)學(xué)家。
　　那么，什么是希爾伯特空間呢？在典型的高校數(shù)學(xué)課程中，它被定義為“完備的內(nèi)積空間”。修讀這樣一門課程的學(xué)生，理應(yīng)從先修課程中了解到，所謂“內(nèi)積空間”是指配備了內(nèi)積的向量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當(dāng)然，要想理解這樣的定義，學(xué)生還必須知道“向量空間”、“內(nèi)積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個(gè)舉例來(lái)說(shuō)（這還并不是最長(zhǎng)的一個(gè)）：序列x1，x2，x3，…若滿足對(duì)于任意正數(shù)ε，總存在整數(shù)N，使得對(duì)于任意大于N的整數(shù)p和q，xp與xq間的距離不大于ε，則稱這個(gè)序列為柯西列。
　　簡(jiǎn)言之，如果你希望了解希爾伯特空間是什么，你就必須首先學(xué)習(xí)并且消化一系列由低到高、等級(jí)分明的較低級(jí)概念。毫無(wú)疑問(wèn)這需要耗費(fèi)時(shí)間和精力。對(duì)于許多最重要的數(shù)學(xué)思想來(lái)說(shuō)都是這樣。有鑒于此，要寫一本書提供對(duì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單易懂的介紹，其所能達(dá)到的目標(biāo)就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
　　我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個(gè)難題走，而是集中關(guān)注數(shù)學(xué)交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙并非技術(shù)性的，而更多屬于哲學(xué)性質(zhì)的。它區(qū)分開了兩種人：一種人樂(lè)于接受諸如無(wú)窮大、負(fù)一的平方根、第二十六維和彎曲空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經(jīng)。其實(shí)無(wú)須沉浸在技術(shù)細(xì)節(jié)中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力表明如何做到這一點(diǎn)。
　　如果說(shuō)這本書要向你傳達(dá)什么信息的話，那就是——我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)抽象地思考，因?yàn)橥ㄟ^(guò)抽象地思考，許多哲學(xué)上的困難就能輕易地消除。在第二章里，我將詳細(xì)說(shuō)明什么是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關(guān)的抽象：從現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題中提取核心特征，從而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。第三章中我將討論什么叫作“嚴(yán)格的證明”。這前三章是關(guān)于一般性的數(shù)學(xué)的。
　　之后我將討論一些更加具體的課題。最后一章與其說(shuō)是關(guān)于數(shù)學(xué)的，不如說(shuō)是關(guān)于數(shù)學(xué)家的，因此會(huì)跟前幾章有些不同。我建議你在讀過(guò)第二章后再閱讀后續(xù)章節(jié)。除此以外，這本書已經(jīng)盡量做到不受先后順序影響——在任何章節(jié)中，我并沒有假定讀者已經(jīng)理解并記住了先前的內(nèi)容。
　　讀這本書并不需要太多的預(yù)備知識(shí)，英國(guó)GCSE課程或同等水平即可。不過(guò)我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚(yáng)。因此，我在書中沒有用到趣聞?shì)W事、漫畫、驚嘆號(hào)、搞笑的章節(jié)標(biāo)題或者曼德布羅特集合的圖片。我同樣避免了混沌理論、哥德爾定理等內(nèi)容：與它們?cè)诋?dāng)前數(shù)學(xué)研究中的實(shí)際影響相比，這些內(nèi)容在公眾的想象中所占的比例已經(jīng)過(guò)大，而且其他圖書已經(jīng)充分地闡釋了這些內(nèi)容。我所選擇的內(nèi)容都是很普通的，詳細(xì)地去討論，以說(shuō)明怎樣通過(guò)一種更深刻的方式來(lái)理解它們。換言之，我的目標(biāo)在深不在廣，在于向讀者傳達(dá)主流數(shù)學(xué)的魅力，讓讀者體會(huì)到它的不言而喻。
　　感謝克雷數(shù)學(xué)研究所和普林斯頓大學(xué)在我寫作此書期間對(duì)我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特?阿代爾、麗貝卡?高爾斯、埃米莉?高爾斯、帕特里克?高爾斯、喬書亞?卡茨和埃德蒙?托馬斯閱讀了本書的初稿。他們非常聰明，知識(shí)豐富，實(shí)在不能算作普通讀者，不過(guò)還是能夠讓我放心，至少某些非數(shù)學(xué)專家是能夠讀懂我的作品的�；�于他們對(duì)此書的評(píng)論，我作出了許多改進(jìn)。我把這本書獻(xiàn)給埃米莉，希望她能夠借此了解一點(diǎn)點(diǎn)我整天都在做的是些什么事情。
　　第八章 常見問(wèn)題
　　1. 數(shù)學(xué)家在30歲以后就不比當(dāng)年了，這是真的嗎？
　　這種傳說(shuō)影響頗為廣泛，正由于人們誤解了數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)，才使得它很有吸引力。人們總喜歡把數(shù)學(xué)家看作極具天資的人，并認(rèn)為天資這種東西有些人生來(lái)就有，其他人則絕難獲得。
　　其實(shí)，年齡與數(shù)學(xué)成果間的關(guān)系對(duì)不同人來(lái)說(shuō)差別很大。的確有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家在20來(lái)歲的時(shí)候做出了他們最杰出的工作，但絕大多數(shù)人都認(rèn)為，他們的知識(shí)水平和專業(yè)素質(zhì)終其一生都在穩(wěn)健地提高，在許多年里，這種專業(yè)水平的增長(zhǎng)都能夠彌補(bǔ)“原生”腦力的任何衰退（如果確實(shí)有“原生”腦力這回事的話）。確實(shí)數(shù)學(xué)家在年逾40歲之后就少有重要的突破性進(jìn)展了，但這也很有可能是社會(huì)學(xué)方面的原因。到了40歲時(shí)，如果有人還有能力做出突破性的工作，那么他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數(shù)學(xué)家那樣具有奮斗精神。不過(guò)還是有很多反例的，有很多數(shù)學(xué)家在退休之后熱情不減，還繼續(xù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域工作。
　　一般來(lái)講，人們通常所想象的數(shù)學(xué)家的形象——可能很聰明，但有點(diǎn)古怪，穿著邋遢，毫無(wú)性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家在一定程度上的確符合這種形象，但如果你認(rèn)為不這樣就做不好數(shù)學(xué)，這種想法可就太蠢了。實(shí)際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪?jǐn)?shù)學(xué)家更勝一籌。一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的所有學(xué)生中，最后成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開了數(shù)學(xué)，比如失去興趣、沒有申請(qǐng)到讀博機(jī)會(huì)，或者得到了博士學(xué)位但沒有獲得教職。在我看來(lái)（實(shí)際上不僅只有我這么想），對(duì)最終通過(guò)了這層層考驗(yàn)的人來(lái)說(shuō)，那些“怪人”所占的比例比占一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生的比例要小。
　　對(duì)數(shù)學(xué)家這樣的負(fù)面刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來(lái)可能喜歡并且擅長(zhǎng)這一領(lǐng)域的人，但是“天才”這個(gè)詞則更加惡毒，殺傷力更大。這里有一個(gè)現(xiàn)成的對(duì)“天才”的大致定義：對(duì)于別人必須經(jīng)過(guò)多年實(shí)踐都未必能夠掌握的事情，天才就是那些在少年時(shí)期就能夠輕易做好這些事的人。天才的成就有著魔法般的特質(zhì)，就好像他們的大腦并不只是比我們更有效率，而是運(yùn)轉(zhuǎn)方式完全不同。劍橋大學(xué)每年都會(huì)有一兩個(gè)數(shù)學(xué)系本科生，他們經(jīng)常在數(shù)分鐘之內(nèi)就能解決的問(wèn)題，大多數(shù)人——包括應(yīng)該能夠教他們的人——往往需要花上幾個(gè)小時(shí)以上。遇到這種人的時(shí)候，我們只能退避三舍、頂禮膜拜。
　　然而，這些超乎尋常的人并不總是最成功的數(shù)學(xué)研究者。如果你想要解決某個(gè)問(wèn)題，而之前嘗試過(guò)的數(shù)學(xué)家都以失敗告終，那么你需要具備種種素質(zhì)，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過(guò)一個(gè)極端一點(diǎn)的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。安德魯?懷爾斯（在剛到40歲的時(shí)候）證明了費(fèi)馬大定理（即對(duì)任意正整數(shù)x,y,z及大于2的正整數(shù)n，xn+yn不可能等于zn），解決了世界上最著名的數(shù)學(xué)難題。毫無(wú)疑問(wèn)他很聰明，但他并不是我所說(shuō)的天才。
　　你可能會(huì)問(wèn)，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？回答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無(wú)法解釋的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅(jiān)定和耐心，對(duì)他人完成的艱難工作的廣泛了解，在正確時(shí)間專攻正確領(lǐng)域的運(yùn)氣，以及杰出的戰(zhàn)略性眼光。
　　上面所說(shuō)的最后一條素質(zhì)，從根本上要比驚人的大腦運(yùn)轉(zhuǎn)速度更加重要。數(shù)學(xué)中絕大多數(shù)影響深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的。隨著數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)，他們都會(huì)逐漸學(xué)會(huì)這個(gè)行當(dāng)里的各種把戲，部分來(lái)自于其他數(shù)學(xué)家的工作，部分來(lái)自于自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)間的思考。是否能將他們的專長(zhǎng)用于解決極其困難的問(wèn)題，則在很大程度上決定于細(xì)致的規(guī)劃：選取一些可能會(huì)結(jié)出豐碩成果的問(wèn)題，知道什么時(shí)候應(yīng)該放棄一條思路（相當(dāng)困難的判斷），能夠先勾勒出論證問(wèn)題的大框架繼而再時(shí)不時(shí)地向里面填充細(xì)節(jié)。這就需要對(duì)數(shù)學(xué)有相當(dāng)成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會(huì)伴隨著天賦。
　　2. 為什么女性數(shù)學(xué)家很少見？
　　真想回避這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)榛卮疬@個(gè)問(wèn)題很容易冒犯別人。但是，在全世界各地的數(shù)學(xué)系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很�。贿@是一個(gè)值得注意的現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)生活中的一個(gè)重要事實(shí)，我被迫感到不得不說(shuō)點(diǎn)什么，盡管我所要說(shuō)的也無(wú)非是對(duì)此感到不解和遺憾。
　　值得強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)家中女性較少只不過(guò)是一種統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象：確實(shí)有十分優(yōu)秀的女性數(shù)學(xué)家，與男性同行一樣，她們表現(xiàn)優(yōu)秀的方式也多種多樣，有時(shí)也包括擁有天賦。沒有任何跡象表明，女性在數(shù)學(xué)中所能達(dá)到的成就會(huì)有上限。我們有時(shí)會(huì)讀到，在特定的智力測(cè)試中——比如說(shuō)視覺空間能力，男性表現(xiàn)得更優(yōu)秀，有人認(rèn)為這解釋了他們主導(dǎo)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的原因。然而，這樣的論據(jù)不足以令人信服，因?yàn)橐曈X空間能力能夠通過(guò)練習(xí)來(lái)增強(qiáng)，而且盡管它有時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)家有幫助，卻并非不可或缺。
　　更可信的一種理由是社會(huì)方面的因素：當(dāng)男孩子為數(shù)學(xué)能力感到驕傲?xí)r，可以想象某個(gè)女孩子可能會(huì)為自己擅長(zhǎng)這項(xiàng)不那么女性化的事務(wù)而感到窘迫。而且，有數(shù)學(xué)天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們只能靠自我保持、自我強(qiáng)化。一項(xiàng)社會(huì)因素可能會(huì)在之后發(fā)揮更大的作用：比起其他學(xué)科來(lái)，數(shù)學(xué)需要一個(gè)人更加專注，這雖然不是不可能，但也很難與女性的母親身份相結(jié)合。小說(shuō)家坎迪亞?麥克威廉曾經(jīng)說(shuō)，她的每個(gè)孩子都使她少寫了兩本書，不過(guò)在幾年未動(dòng)筆之后，她至少還能夠重新寫小說(shuō)。但如果你幾年沒有做數(shù)學(xué)，你就失去了數(shù)學(xué)的習(xí)慣，很難再重拾了。
　　有人認(rèn)為，女性數(shù)學(xué)家發(fā)展起自己事業(yè)的時(shí)間往往晚于男性同行，而數(shù)學(xué)家的職業(yè)結(jié)構(gòu)傾向于回報(bào)早期成就，這就使得女性處于一種不利的地位。最杰出的一些女性數(shù)學(xué)家的人生故事支持了這種說(shuō)法。不過(guò)她們發(fā)展自己職業(yè)生涯較晚的原因，基本上都是上面所說(shuō)的社會(huì)原因，而且也有許多這方面的例外。
　　不過(guò)，這些解釋看起來(lái)都不夠充分。我在此不再深入探討了。我還能做的就是告訴大家，關(guān)于這方面已經(jīng)出了幾本書（參見“延伸閱讀”）。最后再加上一點(diǎn)評(píng)論：這樣的情況是在不斷進(jìn)步的。數(shù)學(xué)家中女性所占的比例近年來(lái)在穩(wěn)步提高，而且隨著社會(huì)大環(huán)境的不斷改變，這樣的現(xiàn)象一定還會(huì)持續(xù)下去。
　　3. 數(shù)學(xué)與音樂(lè)息息相通嗎？
　　盡管有很多數(shù)學(xué)家完全不了解音樂(lè)，也很少有音樂(lè)家對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，但一直有一種民間觀念認(rèn)為這兩個(gè)領(lǐng)域是相關(guān)聯(lián)的。其結(jié)果就是，當(dāng)我們聽說(shuō)某位數(shù)學(xué)家鋼琴?gòu)椀煤芎�，或者愛好作曲，或者喜歡聽巴赫，沒有人會(huì)對(duì)此感到驚奇。
　　有很多奇聞?shì)W事在講，各種藝術(shù)形式中，數(shù)學(xué)家為音樂(lè)所吸引的最多。也有一些研究聲稱已經(jīng)表明，受過(guò)音樂(lè)教育的兒童在科學(xué)領(lǐng)域中表現(xiàn)得更優(yōu)秀。我們不難猜出為什么會(huì)這樣。盡管在所有藝術(shù)形式中抽象都很重要，但音樂(lè)在其中最具有代表性，可以說(shuō)是最明顯的抽象藝術(shù)：聽音樂(lè)所獲得的愉悅感，大部分來(lái)自于對(duì)不具有內(nèi)在含義的純粹形式的直接——即使不是完全自覺的——欣賞。
　　不幸的是，這些傳說(shuō)中的證據(jù)很少得到嚴(yán)格的科學(xué)支持。關(guān)于這種說(shuō)法，就連應(yīng)該提出哪些疑問(wèn)都不好說(shuō)。如果我們收集到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯著地說(shuō)明，在相近的社會(huì)背景及教育背景下，數(shù)學(xué)家與其他人相比，彈鋼琴的百分比更高，那我們能夠從中了解到什么呢？我自己猜測(cè)，的確會(huì)得到這樣的數(shù)據(jù)。但如果提出一種可經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的理論來(lái)說(shuō)明這其中的關(guān)聯(lián)，會(huì)有趣得多。就統(tǒng)計(jì)證據(jù)而言，如果能夠更加詳盡明確，也會(huì)更有價(jià)值。數(shù)學(xué)和音樂(lè)都是內(nèi)容很廣泛的領(lǐng)域，某些人很有可能只對(duì)領(lǐng)域中的某一部分有熱情，而對(duì)其他部分毫無(wú)興趣。數(shù)學(xué)和音樂(lè)趣味之間是否會(huì)有微妙的聯(lián)系？如果有，那將會(huì)比這兩個(gè)領(lǐng)域間整體的粗略相關(guān)性更具信息含量。
　　4. 為什么有那么多人旗幟鮮明地厭惡數(shù)學(xué)？
　　我們不常聽到別人說(shuō)他們從來(lái)不喜歡生物學(xué)，或者英國(guó)文學(xué)。毫無(wú)疑問(wèn)，并不是所有人都會(huì)對(duì)這些學(xué)科感到興奮，但是，那些沒有熱情的人往往完全理解那些有熱情的人。相反，數(shù)學(xué)，以及其他內(nèi)容高度數(shù)學(xué)化的學(xué)科，諸如物理，似乎不僅僅使人提不起興趣，而且能激起反感。究竟是什么原因使他們一旦能夠拋棄數(shù)學(xué)時(shí)就立刻拋棄，并且一生都對(duì)數(shù)學(xué)心有余悸？
　　很可能并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)很無(wú)聊，而是數(shù)學(xué)課的經(jīng)歷很乏味。這一點(diǎn)更容易理解。因?yàn)閿?shù)學(xué)總是持續(xù)在自身的基礎(chǔ)上構(gòu)建，所以學(xué)習(xí)時(shí)的步步跟進(jìn)就顯得很重要。比方說(shuō)，如果你不太擅長(zhǎng)兩位數(shù)的乘法，那你很可能就不會(huì)對(duì)分配律（第二章中討論過(guò)）有良好的直覺。沒有這種直覺，你可能就會(huì)在計(jì)算打開括號(hào)（x+2）（x+3）時(shí)感到不適應(yīng)，于是你接下來(lái)就不能很好地理解二次方程，因而也無(wú)法理解為什么黃金分割比是（1+√5）/2。
　　類似這樣的環(huán)環(huán)相扣還有很多，但是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的步步跟進(jìn)不僅僅是保持技術(shù)熟練度而已。數(shù)學(xué)中常常會(huì)引入重要的新思想，新思想會(huì)比舊思想更加復(fù)雜，每一個(gè)新思想的引入都有可能把我們甩在后面。一個(gè)很明顯的例子就是用字母表示數(shù)，很多人對(duì)此糊里糊涂，但對(duì)某個(gè)層次以上的數(shù)學(xué)來(lái)講這是基礎(chǔ)性的。還有其他類似的例子，比如負(fù)數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)以及初步的微積分。沒有作好準(zhǔn)備來(lái)進(jìn)行必要的概念飛躍的人，一旦遇到這些新思想時(shí)，就會(huì)對(duì)其后建立在新思想基礎(chǔ)上的一切數(shù)學(xué)感到并不牢靠。久而久之，他們就會(huì)習(xí)慣于對(duì)數(shù)學(xué)老師所說(shuō)的東西僅僅一知半解，日后再錯(cuò)過(guò)幾次飛躍，恐怕連一知半解也做不到了。同時(shí)他們又看到班上其他同學(xué)能夠輕而易舉地跟上課程。因此就不難理解，為什么對(duì)許多人來(lái)講數(shù)學(xué)課成為了一種煎熬。
　　情況一定是這樣的嗎？有沒有人天生注定就會(huì)在學(xué)校里厭惡數(shù)學(xué)，還是說(shuō)，有可能找出一種不同的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，使得排斥數(shù)學(xué)的人能夠大大減少？我相信，小孩子如果在早期接受到熱情的好老師一對(duì)一教學(xué)，長(zhǎng)大之后就會(huì)喜歡上數(shù)學(xué)。當(dāng)然，這并不能直接成為一種可行的教育政策，不過(guò)至少告訴我們，數(shù)學(xué)的教育方法可能有改進(jìn)空間。
　　從我在本書中所強(qiáng)調(diào)的思想出發(fā)，我可以給出一條建議。在上面，我間接地將技術(shù)的熟練度與對(duì)較難概念的理解作了一番比較，但實(shí)際情況似乎是，凡是擅長(zhǎng)其中一個(gè)方面的必然兩個(gè)方面都擅長(zhǎng)。況且，如果說(shuō)理解數(shù)學(xué)對(duì)象，大體上就是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)象所遵從的規(guī)則，而非把握其本質(zhì)，那么我們完全可以預(yù)期：技術(shù)的熟練度與數(shù)學(xué)理解力之間并不像我們想象得那樣涇渭分明。這又會(huì)對(duì)課堂實(shí)踐產(chǎn)生什么影響呢？我并不贊成革命性的改進(jìn)——數(shù)學(xué)教育已經(jīng)深受其累，我所贊同的是小幅度的改變，有所側(cè)重的小幅變化將會(huì)是有益的。
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