本書是為理工科大學各專業(yè)普遍開設的“數(shù)值分析”課程編寫的教材. 其內容包括插值與逼近，數(shù)值微分與數(shù)值積分，非線性方程與線性方程組的數(shù)值解法，矩陣的特征值與特征向量計算，常微分方程數(shù)值解法. 每章附有習題并在書末給出了部分答案，每章還附有復習與思考題和計算實習題. 全書闡述嚴謹，脈絡分明，深入淺出，便于教學.
本書也可作為理工科大學各專業(yè)研究生學位課程的教材，并可供從事科學計算的科技工作者參考.
本書第5版已列入普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，主要作為理科數(shù)學類專業(yè)本科生及其他理工科碩士研究生“數(shù)值分析”課程的教材. 根據(jù)“數(shù)值分析”課程教學大綱的要求，對第4版做了適當修改，但仍保留原教材的基本結構和大部分內容. 主要修改部分如下：
(1) 在內容上精簡了一些較少使用的算法及一些較繁雜的推導和證明；加強了算法基本思想的分析和使用的說明；另外還增加了一些新內容，如自適應求積和重積分的計算，解線性方程組的共軛梯度法，代數(shù)方程求根的病態(tài)分析，常微分方程數(shù)值解法中多步法的收斂性與穩(wěn)定性分析，剛性問題等.
(2) 評注中增加了一些歷史發(fā)展及使用數(shù)學軟件的說明；每章增加了復習與思考題，這有助于讀者加深對基本內容的理解，促進對所講算法的掌握；另外為加強使用計算機解題練習，增添了一些計算實習題.
(3) 根據(jù)本書新版的特點，刪去了并行算法的附錄，有關并行算法目前有很多普及的入門著作，需要了解的可自己學習. 另外，本書推薦讀者使用MATLAB語言及數(shù)學庫，有關MATLAB的使用本書也不做介紹，目前也有很多介紹的書籍可供參考.
本書第5版主要由李慶揚負責修改，是在清華大學出版社及本書編輯劉穎博士推動和支持下完成的，還得到清華大學給予的經(jīng)費資助，作者對他們的支持和幫助表示衷心感謝.
希望使用本書的老師和同學對本書存在的問題給予批評指正.
作 者
2008年元旦
第1章 數(shù)值分析與科學計算引論(1)
1.1 數(shù)值分析的對象、作用與特點(1)
1.1.1 數(shù)學科學與數(shù)值分析(1)
1.1.2 計算數(shù)學與科學計算(1)
1.1.3 計算方法與計算機(2)
1.1.4 數(shù)值問題與算法(2)
1.2 數(shù)值計算的誤差(3)
1.2.1 誤差來源與分類(3)
1.2.2 誤差與有效數(shù)字(4)
1.2.3 數(shù)值運算的誤差估計(7)
1.3 誤差定性分析與避免誤差危害(8)
1.3.1 算法的數(shù)值穩(wěn)定性(9)
1.3.2 病態(tài)問題與條件數(shù)(10)
1.3.3 避免誤差危害(11)
1.4 數(shù)值計算中算法設計的技術(13)
1.4.1 多項式求值的秦九韶算法(13)
1.4.2 迭代法與開方求值(14)
1.4.3 以直代曲與化整為“零”(15)
1.4.4 加權平均的松弛技術(16)
1.5 數(shù)學軟件(17)
評注(18)
復習與思考題(19)
習題(19)
第2章 插值法(22)
2.1 引言(22)
2.1.1 插值問題的提出(22)
2.1.2 多項式插值(23)
2.2 拉格朗日插值(23)
2.2.1 線性插值與拋物線插值(23)
2.2.2 拉格朗日插值多項式(25)
2.2.3 插值余項與誤差估計(26)
2.3 均差與牛頓插值多項式(29)
2.3.1 插值多項式的逐次生成(29)
2.3.2 均差及其性質(30)
2.3.3 牛頓插值多項式(31)
2.3.4 差分形式的牛頓插值公式(32)
2.4 埃爾米特插值(35)
2.4.1 重節(jié)點均差與泰勒插值(35)
2.4.2 兩個典型的埃爾米特插值(36)
2.5 分段低次插值(39)
2.5.1 高次插值的病態(tài)性質(39)
2.5.2 分段線性插值(40)
2.5.3 分段三次埃爾米特插值(40)
2.6 三次樣條插值(41)
2.6.1 三次樣條函數(shù)(41)
2.6.2 樣條插值函數(shù)的建立(42)
2.6.3 誤差界與收斂性(46)
評注(46)
復習與思考題(47)
習題(48)
計算實習題(50)
第3章 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換(51)
3.1 函數(shù)逼近的基本概念(51)
3.1.1 函數(shù)逼近與函數(shù)空間(51)
3.1.2 范數(shù)與賦范線性空間(52)
3.1.3 內積與內積空間(53)
3.1.4 最佳逼近(56)
3.2 正交多項式(57)
3.2.1 正交函數(shù)族與正交多項式(57)
3.2.2 勒讓德多項式(59)
3.2.3 切比雪夫多項式(61)
3.2.4 切比雪夫多項式零點插值(63)
3.2.5 其他常用的正交多項式(65)
3.3 最佳平方逼近(67)
3.3.1 最佳平方逼近及其計算(67)
3.3.2 用正交函數(shù)族作最佳平方逼近(69)
3.3.3 切比雪夫級數(shù)(72)
3.4 曲線擬合的最小二乘法(73)
3.4.1 最小二乘法及其計算(73)
3.4.2 用正交多項式作最小二乘擬合(76)
3.5 有理逼近(78)
3.5.1 有理逼近與連分式(78)
3.5.2 帕德逼近(80)
3.6 三角多項式逼近與快速傅里葉變換(83)
3.6.1 最佳平方三角逼近與三角插值(84)
3.6.2 N點DFT與FFT算法(86)
評注(92)
復習與思考題(92)
習題(94)
計算實習題(95)
第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分(97)
4.1 數(shù)值積分概論(97)
4.1.1 數(shù)值積分的基本思想(97)
4.1.2 代數(shù)精度的概念(98)
4.1.3 插值型的求積公式(100)
4.1.4 求積公式的余項(101)
4.1.5 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性(102)
4.2 牛頓-柯特斯公式(103)
4.2.1 柯特斯系數(shù)與辛普森公式(103)
4.2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度(105)
4.2.3 辛普森公式的余項(105)
4.3 復合求積公式(106)
4.3.1 復合梯形公式(106)
4.3.2 復合辛普森求積公式(107)
4.4 龍貝格求積公式(109)
4.4.1 梯形法的遞推化(109)
4.4.2 外推技巧(110)
4.4.3 龍貝格算法(112)
4.5 自適應積分方法(113)
4.6 高斯求積公式(116)
4.6.1 一般理論(116)
4.6.2 高斯-勒讓德求積公式(121)
4.6.3 高斯-切比雪夫求積公式(123)
4.6.4 無窮區(qū)間的高斯型求積公式(124)
4.7 多重積分(126)
4.8 數(shù)值微分(128)
4.8.1 中點方法與誤差分析(128)
4.8.2 插值型的求導公式(130)
4.8.3 三次樣條求導(132)
4.8.4 數(shù)值微分的外推算法(132)
評注(133)
復習與思考題(134)
習題(135)
計算實習題(137)
第5章 解線性方程組的直接方法(138)
5.1 引言與預備知識(138)
5.1.1 引言(138)
5.1.2 向量和矩陣(138)
5.1.3 矩陣的特征值與譜半徑(139)
5.1.4 特殊矩陣(141)
5.2 高斯消去法(142)
5.2.1 高斯消去法(142)
5.2.2 矩陣的三角分解(146)
5.2.3 列主元消去法(148)
5.3 矩陣三角分解法(152)
5.3.1 直接三角分解法(152)
5.3.2 平方根法(156)
5.3.3 追趕法(159)
5.4 向量和矩陣的范數(shù)(161)
5.4.1 向量范數(shù)(161)
5.4.2 矩陣范數(shù)(164)
5.5 誤差分析(167)
5.5.1 矩陣的條件數(shù)(167)
5.5.2 迭代改善法(172)
評注(174)
復習與思考題(174)
習題(175)
計算實習題(178)
第6章 解線性方程組的迭代法(180)
6.1 迭代法的基本概念(180)
6.1.1 引言(180)
6.1.2 向量序列與矩陣序列的極限(182)
6.1.3 迭代法及其收斂性(183)
6.2 雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法(187)
6.2.1 雅可比迭代法(187)
6.2.2 高斯-塞德爾迭代法(188)
6.2.3 雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代收斂性(190)
6.3 超松弛迭代法(193)
6.3.1 逐次超松弛迭代法(193)
6.3.2 SOR迭代法的收斂性(195)
6.3.3 塊迭代法(197)
6.4 共軛梯度法(202)
6.4.1 與方程組等價的變分問題(202)
6.4.2 最速下降法(203)
6.4.3 共軛梯度法（CG方法）(204)
評注(208)
復習與思考題(208)
習題(209)
計算實習題(211)
第7章 非線性方程與方程組的數(shù)值解法(212)
7.1 方程求根與二分法(212)
7.1.1 引言(212)
7.1.2 二分法(213)
7.2 不動點迭代法及其收斂性(215)
7.2.1 不動點與不動點迭代法(215)
7.2.2 不動點的存在性與迭代法的收斂性(216)
7.2.3 局部收斂性與收斂階(218)
7.3 迭代收斂的加速方法(220)
7.3.1 埃特金加速收斂方法(220)
7.3.2 斯特芬森迭代法(221)
7.4 牛頓法(222)
7.4.1 牛頓法及其收斂性(222)
7.4.2 牛頓法應用舉例(224)
7.4.3 簡化牛頓法與牛頓下山法(225)
7.4.4 重根情形(226)
7.5 弦截法與拋物線法(228)
7.5.1 弦截法(228)
7.5.2 拋物線法(229)
7.6 求根問題的敏感性與多項式的零點(230)
7.6.1 求根問題的敏感性與病態(tài)代數(shù)方程(230)
7.6.2 多項式的零點(232)
7.7 非線性方程組的數(shù)值解法(233)
7.7.1 非線性方程組(233)
7.7.2 多變量方程的不動點迭代法(234)
7.7.3 非線性方程組的牛頓迭代法(236)
評注(236)
復習與思考題(237)
習題(238)
計算實習題(239)
第8章 矩陣特征值計算(241)
8.1 特征值性質和估計(241)
8.1.1 特征值問題及其性質(241)
8.1.2 特征值估計與擾動(242)
8.2 冪法及反冪法(245)
8.2.1 冪法(245)
8.2.2 加速方法(248)
8.2.3 反冪法(251)
8.3 正交變換與矩陣分解(254)
8.3.1 豪斯霍爾德變換(254)
8.3.2 吉文斯變換(256)
8.3.3 矩陣的QR分解與舒爾分解(258)
8.3.4 用正交相似變換約化一般矩陣為上海森柏格矩陣(261)
8.4 QR方法(264)
8.4.1 QR算法(264)
8.4.2 帶原點位移的QR方法(266)
8.4.3 用單步QR方法計算上海森伯格矩陣的特征值(268)
8.4.4 雙步QR方法（隱式QR方法）(272)
評注(274)
復習與思考題(274)
習題(275)
計算實習題(277)
第9章 常微分方程初值問題數(shù)值解法(279)
9.1 引言(279)
9.2 簡單的數(shù)值方法(280)
9.2.1 歐拉法與后退歐拉法(280)
9.2.2 梯形方法(282)
9.2.3 改進歐拉公式(283)
9.2.4 單步法的局部截斷誤差與階(284)
9.3 龍格-庫塔方法(286)
9.3.1 顯式龍格-庫塔法的一般形式(286)
9.3.2 二階顯式R-K方法(287)
9.3.3 三階與四階顯式R-K方法(288)
9.3.4 變步長的龍格-庫塔方法(290)
9.4 單步法的收斂性與穩(wěn)定性(291)
9.4.1 收斂性與相容性(291)
9.4.2 絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域(293)
9.5 線性多步法(297)
9.5.1 線性多步法的一般公式(297)
9.5.2 阿當姆斯顯式與隱式公式(299)
9.5.3 米爾尼方法與辛普森方法(301)
9.5.4 漢明方法(302)
9.5.5 預測-校正方法(303)
9.5.6 構造多步法公式的注記和例(305)
9.6 線性多步法的收斂性與穩(wěn)定性(306)
9.6.1 相容性及收斂性(307)
9.6.2 穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定性(308)
9.7 一階方程組與剛性方程組(310)
9.7.1 一階方程組(310)
9.7.2 化高階方程為一階方程組(312)
9.7.3 剛性方程組(313)
評注(315)
復習與思考題(315)
習題(316)
計算實習題(318)
部分習題答案(320)
參考文獻(325)
書單推薦
