本書共分三冊來講解數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容.在深入挖掘傳統(tǒng)精髓內(nèi)容的同時,力爭做到與后續(xù)課程內(nèi)容的密切結(jié)合,使內(nèi)容具有近代數(shù)學(xué)的氣息.另外,從講述和訓(xùn)練兩個層面來體現(xiàn)因材施教的教學(xué)理念.
第三冊內(nèi)容包括無窮級數(shù),函數(shù)項級數(shù),冪級數(shù),用多項式一致逼近連續(xù)函數(shù),含參變量積分,F(xiàn)ourier分析.書中配備大量典型實例,習(xí)題分練習(xí)題、思考題與復(fù)習(xí)題三個層次,供廣大讀者使用.
本套書可作為理工科大學(xué)或師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的教材,特別是基地班或試點班的教材,也可作為大學(xué)教師與數(shù)學(xué)工作者的參考書.
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課,它對后繼課程(實變函數(shù),泛函分析,拓?fù),微分幾?與近代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究具有非常深遠的影響和至關(guān)重要的作用.一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)分析教材必須包含傳統(tǒng)微積分內(nèi)容的精髓和分析能力與方法的傳授,也必須包含近代的內(nèi)容,其檢驗標(biāo)準(zhǔn)是若干年后能否涌現(xiàn)出一批高水準(zhǔn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)人才和數(shù)學(xué)研究人才,特別是一些數(shù)學(xué)頂尖人物.作者從事數(shù)學(xué)分析教學(xué)幾十年,繼承導(dǎo)師、著名數(shù)學(xué)家吳文俊教授的一整套教學(xué)(特別是教授數(shù)學(xué)分析的)方法(科大稱之為“吳龍”),并將其發(fā)揚光大,因材施教,在中國科技大學(xué)培養(yǎng)了一批國內(nèi)外知名的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)工作者.目前,作者徐森林被特聘到華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,并在數(shù)學(xué)試點班用此教材講授數(shù)學(xué)分析,效果顯著.
本書的主要特色可歸納為以下幾點.
1. 傳統(tǒng)精髓內(nèi)容的完善化
書中包含了實數(shù)的各種引入,七個實數(shù)連續(xù)性等價命題的論述;給出了單變量與多變量的Riemann可積的各等價命題的證明;討論了微分中值定理,Taylor公式余項的各種表達;介紹了積分第一、第二中值定理的描述,隱函數(shù)存在性定理與反函數(shù)定理的兩種不同的證法等內(nèi)容.
2. 與后繼課程的緊密結(jié)合,使內(nèi)容近代化
本書在介紹經(jīng)典微積分理論的同時,將近代數(shù)學(xué)中許多重要概念、理論恰到好處地引進分析教材中.例如,在積分理論中,給出了Lebesgue定理: 函數(shù)f Riemann可積的充要條件是f幾乎處處連續(xù)且有界; 詳細討論了Rn中的拓?fù)浼跋鄳?yīng)的開集、閉集、聚點等概念,描述了Rn中集合的緊致性、連通性、可數(shù)性、Hausdorff性等拓?fù)洳蛔冃,使讀者站到拓?fù)涞母叨葋砝斫饬阒刀ɡ怼⒔橹刀ɡ、最值定理與一致連續(xù)性定理.引進外微分形式及外微分運算,將經(jīng)典Newton\|Leibniz公式、平面Green公式、空間Stokes公式與Gauss公式統(tǒng)一為Stokes公式,并對閉形式、恰當(dāng)形式與場論的對偶關(guān)系給出了全新的表述.這不僅使教材內(nèi)容本身近代化,而且為學(xué)生在高年級學(xué)習(xí)拓?fù)、實變函?shù)、泛函分析、微分幾何等課程提供了一個實際模型并打下良好的基礎(chǔ),為經(jīng)典數(shù)學(xué)與近代數(shù)學(xué)架設(shè)了一座橋梁.
3. 因材施教、著重培養(yǎng)學(xué)生的研究與創(chuàng)新能力
同一定理(如零值定理,一致連續(xù)性定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,隱函數(shù)存在性定理與反函數(shù)定理等)經(jīng)常采用多種證法;同一例題應(yīng)用不同定理或不同方法解答,這是本書又一特色.它使學(xué)生廣開思路、積極鍛煉思維能力,使思維越來越敏捷與成熟.書中舉出大量例題是為了讓讀者得到一定的基本訓(xùn)練,同時從定理的證明和典型實例的分析中掌握數(shù)學(xué)分析的技巧與方法.習(xí)題共分三個層次: 練習(xí)題、思考題與復(fù)習(xí)題.練習(xí)題是基本題,是為讀者熟練掌握內(nèi)容與方法設(shè)置的.為提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣及解題的能力,設(shè)置了思考題.為了讓讀者減少做題的障礙,增強對數(shù)學(xué)的自信心,其中有些題給出了提示.實際上,該節(jié)的標(biāo)題就是最好的提示.在每一章設(shè)置了大量復(fù)習(xí)題,這些題不給提示,因此大部分學(xué)生對它們會感到無從下手,這些題是為少數(shù)想當(dāng)數(shù)學(xué)家的學(xué)生特別設(shè)置的,希望他們能深入思考,自由發(fā)揮,將復(fù)習(xí)題一一解答出來,為將來的研究培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力.如有困難,我們還可撰寫一本精練的學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.
本書共分三冊.第一冊內(nèi)容包括數(shù)列極限,函數(shù)極限與連續(xù),一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分中值定理,Taylor公式,不定積分以及Riemann積分;第二冊內(nèi)容包括Rn中的拓?fù)洌琻元函數(shù)的極限與連續(xù),n元函數(shù)的微分學(xué),隱函數(shù)定理與反函數(shù)定理,n重積分,第一型曲線、曲面積分,第二型曲線、曲面積分,Stokes定理,外微分形式與場論;第三冊內(nèi)容包括數(shù)項級數(shù)和各種收斂判別法,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其性質(zhì),含參變量反常積分的一致收斂性及其性質(zhì),Euler積分(Γ函數(shù)與B函數(shù)),冪級數(shù)與Taylor級數(shù),F(xiàn)ourier分析.
在寫作本書的時候,得到了華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)和教師們的熱情鼓勵與大力支持,作者們謹(jǐn)在此對他們表示誠摯的感謝.博士生鄧勤濤、胡自勝、薛瓊,碩士生金亞東、鮑焱紅等對本書的寫作提出了許多寶貴意見,使本書增色不少.
特別還要感謝的是清華大學(xué)出版社的曾剛、劉穎、王海燕,他們?yōu)槲覀兲峁┝吮緯霭娴臋C會,了卻了我多年的心愿.
徐森林
2005年6月于武漢
前言Ⅰ
第12章無窮級數(shù)
12.1數(shù)項級數(shù)
12.2正項級數(shù)的判別法
12.3一般級數(shù)
12.4級數(shù)的乘法
12.5無窮乘積
復(fù)習(xí)題12
第13章函數(shù)項級數(shù)
13.1函數(shù)項級數(shù)的一致收斂
13.2極限函數(shù)與和函數(shù)的重要性質(zhì)
復(fù)習(xí)題13
第14章冪級數(shù)、用多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)
14.1冪級數(shù)的重要性質(zhì)
14.2函數(shù)的冪級數(shù)展開式
14.3用多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)
復(fù)習(xí)題14
第15章含參變量積分
15.1含參變量的正常積分
15.2含參變量廣義積分的一致收斂
15.3含參變量廣義積分的性質(zhì)
15.4Γ函數(shù)與B函數(shù)
復(fù)習(xí)題15
第16章Fourier分析
16.1周期函數(shù)的Fourier級數(shù)及收斂定理
16.2平方平均收斂
16.3Fourier積分與Fourier變換
16.4Fourier級數(shù)的Cesro求和
復(fù)習(xí)題16
參考文獻