引言
明末清初,隨著西學東漸,三角知識傳入中國.當時歷法需要改革,三角學可用于歷法研究,因而得到明清學者的重視.不過,它的可靠性有待證實,因為儒者擔心“暗傷王化”.由于存在中西之見,引進必須經(jīng)過會通,清代三角學的結(jié)構(gòu)與變遷由此限定.兩次傳入的三角知識大不一樣,兩次會通的數(shù)學結(jié)果也不一樣,值得深入研究.
關(guān)于三角學的第一次傳入與會通,學者已有大量研究,李儼等數(shù)學史前輩已做了奠基性的工作.李儼的文章“角術(shù)和三角函數(shù)表的東來”探討了三角學第一次傳入的歷史,他的另一篇文章“明清算家的割圓術(shù)研究”探討了第一次數(shù)學會通的結(jié)果.通過細心的史料整理與內(nèi)容分析,他為進一步研究奠定了很好的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上,其他學者繼續(xù)探討第一次傳入的三角知識及其會通結(jié)果,研究范圍逐步擴展.梅榮照的文章“王錫闡的數(shù)學著作《園解》”分析了“園解”的方法與結(jié)果,李迪.郭世榮的《清代著名天文數(shù)學家梅文鼎》涉及梅文鼎關(guān)于三角學的會通與結(jié)果,山田慶兒的《中國古代科學史論》涉及清代學者關(guān)于“弦矢捷法”的會通與結(jié)果,筆者的《清代級數(shù)論史綱》涉及中算家關(guān)于三角函數(shù)冪級數(shù)展開式的研究.同類研究工作目前已有不少,它們?yōu)楸緯�提供了有用的線索.
關(guān)于三角學的第二次傳入與會通,目前的研究不多,只有個別學者進行了有價值的探索.田淼的《中國數(shù)學的西化歷程》包括“清代末年傳入的三角學知識”,探討了“清末數(shù)學家對三角函數(shù)概念的認識’’,說明了三角比例數(shù)取代八線概念,以及符號代數(shù)取代圖解方法的經(jīng)過.《三角數(shù)理》是第二次傳入的典型的西方三角學著作,楊楠探討了它的譯本及其影響,分析了它的內(nèi)容及其傳播情況.同類的研究雖然不多,但是思路新穎,值得借鑒.
至于第一次會通的傳統(tǒng)數(shù)學基礎(chǔ).第二次會通的最后結(jié)果.兩次會通引起的數(shù)學變化其意義究竟何在,均有待進一步探討.這對了解清末學者的三角知識與特點,了解中國數(shù)學由傳統(tǒng)向現(xiàn)代的轉(zhuǎn)變,了解近代中西思想的交流,不無裨益.
本書將探討清代三角學的數(shù)理化歷程,關(guān)鍵是基本概念與變遷,涉及中國古代的知識傳統(tǒng).兩次傳入的三角知識與會通結(jié)果.第一次數(shù)學會通立足于一定的傳統(tǒng)知識,清初學者認為三角學通于古法,譬如,勾股術(shù).割圓術(shù)與弧矢術(shù).對于它們的結(jié)構(gòu)特性.發(fā)展變化及其三角學意義,以往研究有所遺漏,有待進一步探討,由此可以說明古代的知識傳統(tǒng).由第一次會通引起的概念進化及其結(jié)果,以往研究者沒有特別地關(guān)注,有待進一步探討,由此可以說明第二次西學東漸之前中算家的三角知識與特點.
第二次傳入的三角知識在形式上有了較大變化,所有對象都可以符號代之,所有結(jié)果“俱能以算術(shù)核之”.關(guān)于比例數(shù)與割圓八線的區(qū)別,學者尚未展開深入分析,仍需進一步探討,由此可以說明第二次會通工作的特點.關(guān)于數(shù)理方法與代數(shù)方法的區(qū)別,學者的研究尚未涉及,有待探討,由此可以說明第二次會通工作的范圍.數(shù)學會通方式在廢除科舉制度后發(fā)生了很大變化,這種變化的結(jié)果及其意義有待探討,由此可以說明清末三角知識的結(jié)構(gòu)與特點.以往學者的研究沒有將三角函數(shù)與割圓八線或比例數(shù)區(qū)別開來,三角函數(shù)概念真正的建立與發(fā)展仍有待探討,清末三角學的結(jié)構(gòu)變化由此得到說明.
本書的重點是中西概念的會通與結(jié)果,涉及古代的有關(guān)知識與傳統(tǒng),以及兩次傳入的三角知識與特點.由于內(nèi)容廣泛,涉及大量的原始文獻與研究文獻,因而材料的選擇與表達有難度.我們的基本原則是:不求面面俱到,只想說明基本概念與變遷.相關(guān)的文獻資料,包括以往學者的研究工作,都要根據(jù)原文合理重建.選擇典型的原始文獻,通過內(nèi)容分析,說明中西數(shù)學概念的不同特點.在此基礎(chǔ)上,通過比較分析,說明會通前后基本概念的變化及其意義.
第一,通過分析傳統(tǒng)勾股術(shù).割圓術(shù)及弧矢術(shù)的結(jié)構(gòu)特性與發(fā)展變化,說明有關(guān)三角學的傳統(tǒng)知識與特點.
第二,通過分析《大測》及《測量全義》中的基本概念和方法,說明第一次傳入的三角知識與特點.選擇王錫闡.梅文鼎.明安圖及項名達等的相關(guān)著作作為典型案例,通過分析概念和方法的變化,說明第一次會通的結(jié)果.
第三,選擇《三角數(shù)理》及《代數(shù)術(shù)》等著作,通過分析有關(guān)概念和方法,說明第二次傳入的三角知識及其特點.
第四,選擇《割圓術(shù)輯要》及《新三角問題正解》等著作作為第二次會通的典型案例,通過分析概念和方法的變化,說明清末學者的三角知識及其特點.
第五,選擇《平面三角法》等著作,通過分析三角學的結(jié)構(gòu)與變遷,說明全盤西化的結(jié)果.
通過引用新材料與新方法,本書得出若干新觀點:古代的弧矢概念實質(zhì)上是物理的,相應(yīng)的結(jié)果則是近似的.本書根據(jù)原文分析,區(qū)分物理.幾何.算術(shù)與分析的概念,說明了清代三角學的結(jié)構(gòu)與變遷,由此引出一些新觀點.某些古法有其三角學意義,但是古代學者沒有嚴格區(qū)分近似關(guān)系與精確關(guān)系,原因是它們未能獨立于天文學.第一次數(shù)學會通使三角學獨立于天文學,物理概念進化為幾何概念,結(jié)果是精確關(guān)系取代了近似關(guān)系.第二次西學東漸使三角學獨立于幾何學,幾何概念進化為算術(shù)概念,特殊關(guān)系被一般關(guān)系所取代.三角函數(shù)概念并不是第二次會通的結(jié)果,而是全盤西化的結(jié)果,全盤西化則是第二次會通的最后結(jié)果.清末學者引進了“三角函數(shù)”,然而有名無實,全盤西化之前函數(shù)概念并未真正建立起來.科舉制度廢除以后三角學全盤西化,基本概念進化為三角函數(shù),三角級數(shù)論走向現(xiàn)代函數(shù)論.上述觀點得到了新材料的支持,如盧靖(1855.1948)的《割圓術(shù)輯要》.長澤氏的《三角法公式》及陳文的《平面三角法》,它們在這里被初次探討.
古代的學者未能分辨物理的弧矢與幾何的弧矢,由于西學東漸,弧矢概念幾何化,最終實現(xiàn)數(shù)理化.幾何化說明了清代割圓術(shù)的興衰,物理概念幾何化使清代割圓術(shù)獲得空前發(fā)展,進一步幾何化則使基本概念獨立于割圓術(shù),最終被歐氏幾何之理取而代之.三角學的數(shù)理化包括代數(shù)化與分析化,代數(shù)化過程涉及代數(shù)之常法與純形式定義,分析內(nèi)容涉及無窮級數(shù)與正交函數(shù).晚清學者未能分辨幾何.算術(shù)與分析的概念,以為三角函數(shù)即八線.他們接受了代數(shù)之常法,但拒絕了純形式定義,未能完成代數(shù)化.至于無窮級數(shù)與正交函數(shù),由于未能有效地利用微積分,他們不可能實現(xiàn)分析化.無論如何,由于受到日本數(shù)學的影響,清末學者的平面三角學最終全盤西化.
從形式的觀點看,三角學可由二項式導出,基本概念可依歐拉公式定義.晚清三角學背道而馳,數(shù)理概念幾何化,西法歸入割圓術(shù).清代學者曾有機會獨立完成數(shù)理化,然而古代的形式主義傳統(tǒng)似乎被忘卻了,何以至此值得深思.
第一章古代的知識傳統(tǒng)
清初學者認為,三角學通于古法,甚至覺得古法更為基本.由此導致了截然不同的兩種結(jié)果:一些學者嘗試會通中西,以便“補益王化”;另一些學者則極力維護傳統(tǒng),以免破壞古法固有的和諧關(guān)系.前者引進新概念.新方法,使三角學獨立于天文學,最終以精確結(jié)果取代了近似結(jié)果;后者沒有對近似關(guān)系與精確關(guān)系作出區(qū)分,由于受到知識傳統(tǒng)的制約,他們拒絕了無窮的概念,因而無法使三角學獨立于天文學.
第一節(jié)有關(guān)概念
梅文鼎(1633.1721)認為,中西數(shù)學的原理是一致的,因為中西“共戴一天”.數(shù)學的天是自然的天,自然的天沒有中西之別.中西相隔雖數(shù)萬里,但數(shù)學原理不容不合.所以三角學通于古法,譬如,勾股術(shù).割圓術(shù)與弧矢術(shù).
一.勾股術(shù)
傳統(tǒng)勾股術(shù)包括勾股算術(shù).勾股容方與容圓.整勾股數(shù)等問題,涉及勾股恒等式.內(nèi)接正方形邊長.內(nèi)切圓直徑和不定方程的整數(shù)解,皆與不失本率原理有關(guān).不失本率原理是算術(shù)的,由于古人將其用于解決勾股問題獲得成功,后人便以為它是幾何的,并舉“冪圖”為證.
在清代三角學概念的進化過程中,作為傳統(tǒng)勾股術(shù)的一個典型方面,勾股算術(shù)曾經(jīng)起到過特殊的作用.這不僅因為“三角即勾股之變通”,更為重要的是,中算家在古代的傳統(tǒng)中找到了勾股算術(shù)的形式基礎(chǔ).人們由此感到西算沒有那么危險,于是加快了三角學的形式化步伐,雖然直到20世紀以前,該進程并未真正完成.
勾股算術(shù)起源于和較相求問題,問題取決于勾股恒等式轉(zhuǎn)而依賴更為基本的關(guān)系,但是長期以來被幾何解釋所掩蓋.從形式的觀點看,勾股恒等式完全取決于算術(shù)關(guān)系
古代學者曾以不同的形式引用過這些結(jié)果,但是清代以前它們未能成為勾股算術(shù)的基礎(chǔ),這是算術(shù)依賴于幾何的結(jié)果.
根據(jù)古代的觀點,(3)是由磬折形與矩形的關(guān)系所確立的:
勾實之矩以股弦差為廣.股弦并為袤,而股實方其里.……股實之矩以勾弦差為廣.勾弦并為袤,而勾實方其里.[1]
這里0(a+b-c)2=2(c-a)(c-b), (4)
它是由(3)所確立的,但幾何解釋掩蓋了因式分解過程.后來,徐光啟(1562.1633)給出(3)的另外一種幾何解釋
a2=c2-b2=b(c-b)+c(c-b)=(c-b)(c+b),
其中0至于(1).(2),它們的幾何意義如此顯然,以至于沒人感到它們還需要證明,直到西學東漸.《九章算術(shù)》“少廣”章涉及數(shù)字多項式
其項數(shù)可以任意多,而次數(shù)不難推廣到“諸乘方”.開方術(shù)是把多項式的展開作為二項式的多次展開,例如,“今有積五萬五千二百二十五步,問為方幾何”,答案由
(x1+x2+x3)2=xj2+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2
=xj2+x^+x^+2xjx2+2x2x3+2x3xj
確定,這與(2)完全一致.
楊輝(13世紀)的《乘除通變算寶》以數(shù)值形式給出(1),他稱之為“連身加法”.譬如,“銅二十九砣,每砣二十三斤,問重幾何”,結(jié)果是
(9+20)(3+20)=9x3+9x20+20x3+20x20.
隨著西學東漸,徐光啟給出了(1).(2)的一般性證明:
兩和相乘為乙巳直角形,倍之為丁戊直角形.以為實平方開之,得巳庚直角方形與丁戊等,即其邊為弦和和者.何也.丁戊全形內(nèi)有弦冪二,股弦矩內(nèi)形.勾弦矩內(nèi)形.勾股矩內(nèi)形各二.與巳庚全形內(nèi)諸形比,各等.
獨丁戊形內(nèi)余一弦冪,巳庚形內(nèi)余一勾冪.一股冪.并二較一亦等,即巳庚方形之各邊皆弦和和.[2]
2(a+c)(b+c)=2[ab+(a+b)c+c2]
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2. ⑶
古代的數(shù)值結(jié)果由此得以一般化,但仍要求0由于未能擺脫幾何直觀,明末清初的學者不可能將(1).(2)及(3)完全一般化.不過,通過(3)的推廣使用,梅文鼎得到
(a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c),c—(b—a)=(c—b+a)(c+b—a).
由古代的弦圖,有
(a+b)2—c2=c2—(b—a)2=2ab,
于是
(a+b—c)(a+b+c)
=(c—b+a)(c+b—a)=2ab. (6)
梅文鼎認為,(6)說明了勾股算術(shù)的“立法之根”,并稱“其理皆具古圖中”,將合理性歸之于面積變換.
一個世紀后,項名達(1789.1850)在比例關(guān)系中找到了勾股算術(shù)的基礎(chǔ),變化是由數(shù)學會通引起的.他發(fā)現(xiàn),勾股恒等式雖然可用面積關(guān)系來解釋,但卻并不依賴于這樣的解釋.對于因式分解公式,西算給出了不同的解釋,(3)被歸結(jié)為相似勾股形的比例關(guān)系.根據(jù)《幾何原本》,在勾股形中如果由直角向弦作垂線,則與垂線相鄰的兩個勾股形相似,故垂線為弦上兩段的比例中項.[3]這種解釋后來被中算家收入《數(shù)理精蘊》,同時還收入了西算的種種“和較比例”,包括合比.分比及合分比等基本關(guān)系.很可能由此得到啟發(fā),項名達將(3)作為勾股算術(shù)的立法之根,并釋之以三率連比例
(c—b):a=a(c+b). (7)
根據(jù)比例的性質(zhì),“凡有比例加減之,其和較亦可互相比例”.因此,由(7)可以“另生比例”導出其他勾股恒等式,而“諸術(shù)開方之所以然,遂于是得”.比例關(guān)系(7)仍出于幾何的思考,勾股算術(shù)仍然需要這樣一個幾何基礎(chǔ).但是在此基礎(chǔ)上建立的其他勾股恒等式,則為純粹的算術(shù)關(guān)系,項名達的形式化工作已很接近現(xiàn)代的標準.由