第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
在本章里，我們先介紹復(fù)數(shù)系統(tǒng)的代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)，然后引進(jìn)復(fù)變量的函
數(shù)――復(fù)變函數(shù)，進(jìn)而介紹它的極限和連續(xù)性.
1.1 復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何表示
1.1.1 復(fù)數(shù)概念及四則運(yùn)算
為了便于以后討論，在這里回顧有關(guān)復(fù)數(shù)的基本定義及結(jié)論.
設(shè)x； y 為兩實(shí)數(shù)，稱形如
z = x+iy（或x+yi）
的數(shù)為復(fù)數(shù)，這里i 為虛單位，具有性質(zhì)i2 = ?1.x 及y 分別稱為z 的實(shí)部與虛部，
常記作
x = Rez； y = Imz
虛部為零的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，簡(jiǎn)記為x+i0 = x.因此，全體實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一部分.
特別記0+i0 = 0，即當(dāng)且僅當(dāng)z 的實(shí)部和虛部同時(shí)為零時(shí)復(fù)數(shù)z 為零.實(shí)部為零
且虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù).如果兩復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，則稱兩復(fù)數(shù)
相等.
設(shè)
z1 = x1+iy1； z2 = x2+iy2
定義兩復(fù)數(shù)z1； z2 的四則運(yùn)算法則是
z1+z2 =（x1+iy1）+（x2+iy2） =（x1+x2）+i（y1+y2）（1∶1∶1）
z1 ? z2 =（x1+iy1） ?（x2+iy2） =（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）（1∶1∶2）
z1 ￠ z2 =（x1+iy1）（x2+iy2） =（x1x2 ? y1y2）+i（x1y2+y1x2）（1∶1∶3）
如果z2 6= 0，則
z1
z2
= x1+iy1
x2+iy2
=
（x1+iy1）（x2 ? iy2）
（x2+iy2）（x2 ? iy2）
= x1x2+y1y2
x2
2+y2
2
+ ix2y1 ? x1y2
x2
2+y2
2
（1.1.4）
從式（1.1.1）? 式（1.1.4） 即知復(fù)數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的仍舊是復(fù)數(shù).又從式
（1.1.1） 和式（1.1.2） 以及實(shí)部與虛部的定義得出
Re（z1 § z2） = Rez1 § Rez2
Im（z1 § z2） = Imz1 § Imz2（1∶1∶5）
例1.1.1 化簡(jiǎn)i3；
i
1 ? i
+
1 ? i
i ∶
解i3 = i2 ￠ i = ?1 ￠ i = ? i
i
1 ? i
+
1 ? i
i
=
i2+（1 ? i）2
（1 ? i）i
= ?1 ? 2i
1+i
=
（?1 ? 2i）（1 ? i）
2
= ?
3
2 ?
1
2
i
例1.1.2 計(jì)算
（1）
2+3i
2 ? 3i
，（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
.
解（1）
2+3i
2 ? 3i
=
（2+3i）2
（2 ? 3i）（2+3i）
=
4+12i ? 9
4+9
= ?
5
13
+
12
13
i
（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
=
2i
p3 ? i ?
3
i（p3+i）
=
2i
p3 ? i
+
3i
p3+i
=
1
4
+
5p3
4
i
例1.1.3 已知x+yi =（2x ? 1）+y2i，求z = x+iy.
解比較等式兩端的實(shí)部與虛部，得
x = 2x ? 1； x = 1
y = y2； y = 0 或y = 1
由此解得
z = 1 或z = 1+i
1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示
任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)z = x+iy，都與一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x； y） 相對(duì)應(yīng).而任意一對(duì)
有序?qū)崝?shù)（x； y） 都與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P（x； y） 對(duì)應(yīng)，這樣能夠建立平面上的
全部點(diǎn)與全體復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，于是可用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)
（圖1.1.1）.
表示復(fù)數(shù)z 的直角坐標(biāo)平面稱為復(fù)平面或z{平面，復(fù)平面也常用C 來表示.
因復(fù)平面上的x 軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，y 軸上非零的點(diǎn)對(duì)應(yīng)純虛數(shù)，故稱x 軸為實(shí)軸，
y 軸為虛軸.由于全體復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的全體是一一對(duì)應(yīng)的，以后把“點(diǎn)z”和
“復(fù)數(shù)z”作為同義詞而不加區(qū)別.
在復(fù)平面上，如圖1.1.1 所示，從原點(diǎn)O
到點(diǎn)P（x； y） 作向量?O?!P .我們看到復(fù)平面
上由原點(diǎn)出發(fā)的向量的全體與復(fù)數(shù)的全體C
之間也構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)0 對(duì)應(yīng)著零
向量），因此也可以用向量?O?!P 來表示復(fù)數(shù)
z = x+iy∶
在物理學(xué)中，力、速度、加速度等都可用
向量表示，說明復(fù)數(shù)可以用來表示實(shí)有的物
理量.
圖1.1.1
向量?O?!P 的長(zhǎng)度r 稱為復(fù)數(shù)z 的�；蚪^對(duì)值，記作jzj，即jzj = r.實(shí)軸正向轉(zhuǎn)
到與向量?O?!P 方向一致時(shí)，所成的角度μ 稱為復(fù)數(shù)的輻角，記作Argz，即Argz = μ.
復(fù)數(shù)0 的模為零，即j0j = 0，其輻角是不確定的.任何不為零的復(fù)數(shù)z 的輻角
Argz 均有無窮多個(gè)值，彼此之間相差2 的整數(shù)倍.通常把滿足? < μ0 6 的輻
角值μ0 稱為Argz 的主值，記作arg z，于是
Argz = arg z+2k； k = 0；§1；§2； …
并且可以用復(fù)數(shù)z 的實(shí)部與虛部來表示輻角主值arg z：
arg z =
8>
>><>>>∶
arctan y
x
； x > 0
arctan y
x
+ ； x < 0； y > 0
arctan y
x ? ； x < 0； y < 0
由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系（圖1.1.1），我們立即得到不為零的復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛
部與該復(fù)數(shù)的模、輻角之間的關(guān)系
8<∶
r = jzj = px2+y2
tan μ = tan（Argz） = y
x
（1.1.6）
以及
（ x = r cos μ
y = r sin μ
（1.1.7）
于是復(fù)數(shù)z 又可表示為
z = x+iy = r（cos μ+i sin μ）（1.1.8）
式（1.1.8） 通常稱為復(fù)數(shù)z 的三角表示式.如果再利用歐拉（Euler） 公式
eiμ = cos μ+i sin μ
又可以得到
z = reiμ（1.1.9）
這種形式稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式.
在1.1.1 節(jié)中已經(jīng)指出：兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等，則稱兩復(fù)數(shù)相等.于
是從式（1.1.6） 與式（1.1.7） 即知兩復(fù)數(shù)相等，其模必定相等，其輻角可以差2 的整
數(shù)倍（輻角如果都取主值，則應(yīng)相等）.反之，如果復(fù)數(shù)的模及輻角分別相等，則從式
（1.1.8） 即知這兩個(gè)復(fù)數(shù)必然相等.
因復(fù)數(shù)可用向量表示，故復(fù)數(shù)是既有大小、又有方向的量，所以兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果
不都是實(shí)數(shù)，就無法比較大小.但是，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小.
從圖1.1.1 可以看出
?r 6 x； y 6 r
即
?jzj 6 Rez； Imz 6 jzj（1.1.10）
例1.1.4 求下列各復(fù)數(shù)的模及輻角.
（1）?2，（2）?i，（3）1+i.
解由z 平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，可以看出
（1）j ? 2j = 2，arg（?2） = ，Arg（?2） = +2k，k = 0；§1；§2； …
（2）j ? ij = 1，arg（?i） = ?

2
，Arg（?i） = ?

2
+ 2k，k = 0；§1；§2； …
（3）j1+ij = p12+12 = p2，arg（1+i） =
4
，Arg（1+i） =
4
+ 2k，k =
0；§1；§2； …
例1.1.5 將復(fù)數(shù)z = ?1 ? p3i 分別化為三角表示式和指數(shù)表示式.
解因?yàn)閤 = ?1； y = ?p3，所以
r = q（?1）2+（?
p3）2 = 2
又z 在第三象限內(nèi)，于是
arg z = arctan ?p3
?1 ? = ?
2
3
所以
z = 2 ?cosμ?
2
3 ?+ i sinμ?
2
3 ??
由正、余弦函數(shù)的周期性，也可表為
圖1.1.2
z = 2 ?cosμ?
2
3
+ 2k?+ i sinμ?
2
3
+ 2k??
相應(yīng)的指數(shù)表示式為
z = 2e（?2
3 +2k）i； k = 0；§1；§2； …
以?O?!z1 和?O?!z2 為兩鄰邊作一平行四邊形Oz1zz2，通過圖1.1.2 可以說明，復(fù)數(shù)的
加法、減法法則與向量的加法、減法法則一致.通過兩向量的和與差的幾何作圖法，
在復(fù)平面中可以求出相應(yīng)兩復(fù)數(shù)的和z1+z2 與差z1 ? z2 的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
圖1.1.3
在圖1.1.3 中，以向量?O?!z1 和
?O?!z2 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)
角線向量?O!z 及?z?2!z1 就分別對(duì)應(yīng)于
復(fù)數(shù)z1+z2 及z1 ? z2.由于?! Oz 的
起點(diǎn)為原點(diǎn)O，因而終點(diǎn)z 所對(duì)應(yīng)的
復(fù)數(shù)就是z1+z2； 而向量?z?2!z1 的起
點(diǎn)不是原點(diǎn)，經(jīng)平移得起點(diǎn)為原點(diǎn)O
的向量?! OS，則終點(diǎn)S 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)
就是z1?z2.從圖1.1.3 還可以看到，
jz1 ? z2j 表示復(fù)平面上兩點(diǎn)z1 與z2
之間的距離.事實(shí)上，有
jz1 ? z2j = j（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）j = p（x1 ? x2）2+（y1 ? y2）2
這正是平面上兩點(diǎn)距離的表達(dá)式.
1.1.3 共軛復(fù)數(shù)
實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).如果其中一個(gè)復(fù)數(shù)記作
z，則其共軛復(fù)數(shù)記作1z.于是
x ? iy = x+iy
由定義，顯然z = z.特別地，實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是該實(shí)數(shù)本身； 反之，如果復(fù)數(shù)z
與它的共軛復(fù)數(shù)1z 相等，則這個(gè)復(fù)數(shù)便是一個(gè)實(shí)數(shù).
由定義不難驗(yàn)證，兩復(fù)數(shù)的和、差、積、商的共軛復(fù)數(shù)，分別等于這兩復(fù)數(shù)的共
軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商，即
z1 § z2 = z1 § z2（1.1.11）
z1 ￠ z2 = z1 ￠ z2（1.1.12）
μz1
z2?= z1
z2
（z2 6= 0）（1.1.13）
我們還可以用共軛復(fù)數(shù)來表示復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部以及模.例如
2Rez = z+z
2iImz = z ? z
zz = x2+y2 = jzj2
jzj = jzj
利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，我們能夠比較容易地證明兩個(gè)重要的不等式
jz1+z2j 6 jz1j+jz2j（1.1.14）
jz1 ? z2j > jjz1j ? jz2jj（1.1.15）
事實(shí)上，從共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，我們有
jz1+z2j2 =（z1+z2）（z1+z2） = z1z1+z2z1+z1z2+z2z2
= jz1j2+z1z2+z1z2+jz2j2 = jz1j2+2Re（z1z2）+jz2j2
6 jz1j2+2jz1jjz2j+jz2j2 =（jz1j+jz2j）2
由此可得不等式（1.1.14）.如將上式中z2 換成?z2，則有
jz1 ? z2j2 = jz1j2 ? 2Re（z1z2）+jz2j2