《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》是由Fields 獎(jiǎng)得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學(xué)家共同參與撰寫的大型文集. 《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》由288 篇長(zhǎng)篇論文和短篇條目構(gòu)成, 目的是對(duì)20 世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展給出一個(gè)概覽, 以幫助青年數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)和研究其最活躍的部分, 這些論文和條目都可以獨(dú)立閱讀. 原書有八個(gè)部分, 除第Ⅰ部分是一個(gè)簡(jiǎn)短的引論、第Ⅷ部分是《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》的“終曲”以外, 《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》分為三大板塊, 核心是第Ⅳ部分“數(shù)學(xué)的各個(gè)分支”, 共26 篇長(zhǎng)文, 介紹了20 世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)研究中最重要的成果和最活躍的領(lǐng)域, 第Ⅲ部分“數(shù)學(xué)概念”和第Ⅴ部分“定理與問題”都是為它服務(wù)的短條目. 第二個(gè)板塊是數(shù)學(xué)的歷史, 由第Ⅱ部分“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源”(共7 篇長(zhǎng)文)和第Ⅵ部分“數(shù)學(xué)家傳記”(96 位數(shù)學(xué)家的短篇傳記)組成. 第三個(gè)板塊是數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 即第Ⅶ部分“數(shù)學(xué)的影響”(14 篇長(zhǎng)文章). 作為《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》“終曲”的第Ⅷ部分“結(jié)束語(yǔ)：一些看法”則是對(duì)青年數(shù)學(xué)家的建議等7 篇文章.中譯本分為三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.
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《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》是由Fields 獎(jiǎng)得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學(xué)家共同參與撰寫的學(xué)科巨著，極具權(quán)威性，對(duì)20世紀(jì)最后一二十年純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展給出一個(gè)概覽, 總結(jié)過去指引未來，以幫助青年數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)和研究其最活躍的部分,《普林斯頓數(shù)學(xué)指南（第一分冊(cè)）》內(nèi)容生動(dòng)鮮活，論文和條目都可以獨(dú)立閱讀，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的師生以及對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經(jīng)典讀物。
《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》由普林斯頓大學(xué)出版社（PUP）2008年出版，由英國(guó)數(shù)學(xué)家Gowers （Sir William Timothy Gowers, 1963—)主編。Gowers 是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員、劍橋大學(xué)的純粹數(shù)學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教授，在三一學(xué)院擔(dān)任Rouse Ball講座教授，1998 年因?yàn)樵诜汉治雠c組合學(xué)中的貢獻(xiàn)而獲得菲爾茲獎(jiǎng)。此書由他領(lǐng)銜，組織了133位杰出的數(shù)學(xué)家（其中不乏為我國(guó)數(shù)學(xué)界熟知的知名學(xué)者，如M. Atiyah, A. Connes, B. Mazur, C. Fefferman, S. Kleinerman, P. D. Lax,陶哲軒等，按Gowers的說法，就數(shù)學(xué)在21世紀(jì)之始所面臨的重大問題，各人就其所長(zhǎng)，以摘要提綱的形式寫成288個(gè)長(zhǎng)短各異的條目。Gowers本人撰寫了其中68條，包括一篇長(zhǎng)達(dá)76頁(yè)的引言。這部長(zhǎng)達(dá)1000余頁(yè)的巨著，獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（Mathematical Association of America, MAA）2011年歐拉圖書獎(jiǎng)。
目錄
譯者序
序
撰稿人
目錄
第Ⅰ部分 引論 1
Ⅰ.1 數(shù)學(xué)是做什么的 1
Ⅰ.2 數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和語(yǔ)法 10
Ⅰ.3 一些基本的數(shù)學(xué)定義 25
Ⅰ.4 數(shù)學(xué)研究的一般目的 72
第Ⅱ部分 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源 115
Ⅱ.1 從數(shù)到數(shù)系 115
Ⅱ.2 幾何學(xué) 124
Ⅱ.3 抽象代數(shù)的發(fā)展 143
Ⅱ.4算法 160
Ⅱ.5 數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格性的發(fā)展.178
Ⅱ.6 證明的概念的發(fā)展 195
Ⅱ.7 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的危機(jī) 215
第Ⅲ部分 數(shù)學(xué)概念 236
Ⅲ.1 選擇公理 236
Ⅲ.2 決定性公理 239
Ⅲ.3 貝葉斯分析 239
Ⅲ.4 辮群 241
Ⅲ.5 廈 243
Ⅲ.6 Calabi-Yi流形 246
Ⅲ.7 基數(shù) 249
Ⅲ.8 范疇 249
Ⅲ.9 緊性與緊化 253
Ⅲ.10 計(jì)算復(fù)雜性類 256
Ⅲ.11 可數(shù)與不可數(shù)集合 257
Ⅲ.12 G代數(shù) 260
Ⅲ.13 曲率 260
Ⅲ.14 設(shè)計(jì) 261
Ⅲ.15 行列式 264
Ⅲ.16 微分形式和積分 266
Ⅲ.17 維 276
Ⅲ.18 廣義函數(shù) 282
Ⅲ.19 對(duì)偶性 286
Ⅲ.20 動(dòng)力系統(tǒng)和淚沌 290
Ⅲ.21 橢圓曲線 291
Ⅲ.22 歐幾里得算法和連分?jǐn)?shù) 292
Ⅲ.23 歐拉方程和納維-斯托克斯方程 297
Ⅲ.24 伸展圄 302
Ⅲ.25 指數(shù)和對(duì)數(shù)畫數(shù) 306
Ⅲ.26 快速傅里葉變換 312
Ⅲ.27 傅里葉變換 314
Ⅲ.28 富克斯群 320
Ⅲ.29 函數(shù)壁間 324
Ⅲ.30 伽羅瓦群 328
Ⅲ.31 Gamma 函數(shù) 329
Ⅲ.32 生成函數(shù) 331
Ⅲ.33 虧格 332
Ⅲ.34 圖 332
Ⅲ.35 哈密頓函數(shù) 333
Ⅲ.36 熱方程 334
Ⅲ.37 希爾伯特空間 340
Ⅲ.38 同調(diào)與上同調(diào) 342
Ⅲ.39 同倫群 343
Ⅲ.40 理想類群 343
Ⅲ.41 無(wú)理數(shù)和超越數(shù) 344
Ⅲ.42 伊辛模型 346
Ⅲ.43 約當(dāng)法式 347
Ⅲ.44 紐結(jié)多項(xiàng)式 350
Ⅲ.45 K理論 354
Ⅲ.46 利奇格網(wǎng) 355
Ⅲ.47 L函數(shù) 355
Ⅲ.48 李的理論 358
Ⅲ.49 線性與非線性被以及孤子 366
Ⅲ.50 線性算子及其性質(zhì) 373
Ⅲ.51 數(shù)論中的局部與整體 376
Ⅲ.52 芒德布羅集合 381
Ⅲ.53 流形 382
Ⅲ.54 擬陣 382
Ⅲ.55 測(cè)度 385
Ⅲ.56 度量空間 388
Ⅲ.57 集合理論的模型 389
Ⅲ.58 模算術(shù) 390
Ⅲ.59 模形式 392
Ⅲ.60 模空間 395
Ⅲ.61 魔群 395
Ⅲ.62 賦范空間與巴拿赫空間 396
Ⅲ.63 數(shù)域 398
Ⅲ.64 優(yōu)化與拉格朗日乘子 400
Ⅲ.65 軌道流形 405
Ⅲ.66 序數(shù) 405
Ⅲ.67 佩亞諾公理 406
Ⅲ.68 置換群 407
Ⅲ.69 相變 410
Ⅲ.70 π 411
Ⅲ.71 概率分布 413
Ⅲ.72 射影空間 421
Ⅲ.73 三次型 421
Ⅲ.74 量子計(jì)算 424
Ⅲ.75 量子群 428
Ⅲ.76 四元數(shù)，八元數(shù)和賦范除法代數(shù) 434
Ⅲ.77 表示 440
Ⅲ.78 里奇流 440
Ⅲ.79 黎曼曲面 444
Ⅲ.80 黎曼函數(shù) 447
Ⅲ.81 環(huán)，理想與模 447
Ⅲ.82 概型 449
Ⅲ.83 薛定誨方程 450
Ⅲ.84 單形算法 454
Ⅲ.85 特殊函數(shù) 458
Ⅲ.86 譜 466
Ⅲ.87 球面調(diào)和 469
Ⅲ.88 辛流形 472
Ⅲ.89 張量積 478
Ⅲ.90 拓?fù)淇臻g 479
Ⅲ.91 變換 482
Ⅲ.92 三角函數(shù) 490
Ⅲ.93 萬(wàn)有覆疊 493
Ⅲ.94 變分法 495
Ⅲ.95 簇 500
Ⅲ.96 向量叢 501
Ⅲ.97 馮·諾依曼代數(shù) 501
Ⅲ.98 小波 502
Ⅲ.99 策墨羅-弗朗克爾公理 502
第ⅠⅠ部分引論
I.1 數(shù)學(xué)是做什么的
要對(duì)“什么是數(shù)學(xué)”這樣一個(gè)問題給出一個(gè)令人滿意的回答,其困難是眾所周知的.本書的處理途徑是：不試圖去回答它.我們不打算給出數(shù)學(xué)的定義,而是通過描述它的許多最重要的概念、定理和應(yīng)用,使得對(duì)于什么是數(shù)學(xué)有一個(gè)好的看法.然而,想使這些材料的信息有意義,對(duì)于數(shù)學(xué)的內(nèi)容作某種分類還是有必要的.
對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行分類最明顯的方法是按照其內(nèi)容來進(jìn)行.這篇簡(jiǎn)短的引論以及下面比較長(zhǎng)的條目如一些基本的數(shù)學(xué)定義[Ⅰ.3]就是采取的這個(gè)方法.但是,這并不是唯一的方法,甚至顯然也不是最好的方法.另一種途徑是按照數(shù)學(xué)家們喜歡思考的問題的類型來分類,這會(huì)給這門學(xué)科以一種不同的視角,而這是很有用的,時(shí)常有這樣的情況,兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域,如果您只注意它們的主題材料,可能看起來很不相同,但是如果您看一看它們考察的問題,則又十分相似.第Ⅰ部分的最后一個(gè)條目數(shù)學(xué)研究的一般目的[Ⅰ.4]就是從這個(gè)觀點(diǎn)來觀察數(shù)學(xué)的.在那篇文章末尾有一個(gè)簡(jiǎn)短的討論,您可以把它看成是第三種分類,就是并不對(duì)數(shù)學(xué)本身來分類,而是對(duì)數(shù)學(xué)期刊的一篇典型論文內(nèi)容的各個(gè)部分來分類.這篇論文里既有定理和證明,也有定義、例子、引理、公式、猜想等等.那里討論的要點(diǎn)就是想說明這些詞是什么意思,以及為什么數(shù)學(xué)的產(chǎn)出物里面的這些東西也是很重要的.
1. 代數(shù)、幾何和分析
雖然一旦想把數(shù)學(xué)主題分類,就必定立即需要加上種種限制.然而有一個(gè)粗略的分類無(wú)疑可以作為最初的近似,這就是把數(shù)學(xué)分成代數(shù)、幾何和分析.所以我們就以此開始,以后再作各種修飾.
1.1 代數(shù)與幾何的對(duì)比
絕大多數(shù)讀過中學(xué)的人都會(huì)把代數(shù)看成用字母代表數(shù)所得到的數(shù)學(xué).時(shí)常會(huì)把代數(shù)與算術(shù)作一個(gè)對(duì)照：算術(shù)就是對(duì)數(shù)作更直接的研究.所以“3× 7=?”這樣的問題就被認(rèn)為是屬于算術(shù)的,而“若x+y=10,而xy=21,則x與y中較大的一個(gè)取何值”就被看作是代數(shù).在比較高水平的數(shù)學(xué)里面,這個(gè)對(duì)比就不那么顯眼,原因也很簡(jiǎn)單,因?yàn)閿?shù)字單獨(dú)出現(xiàn)而不與字母相伴是極為罕見的.
然而,代數(shù)與幾何之間就有著不同的對(duì)比,而且它在比較高深的水平上要重要得多.中學(xué)里關(guān)于幾何的概念是：它是研究圖形的,例如圓、三角形、立方體和球面,還有諸如旋轉(zhuǎn)、反射、對(duì)稱等等概念.這樣,幾何的對(duì)象以及這些對(duì)象所經(jīng)歷的過程,比之代數(shù)的方程,有著多得多的可視的特性.
這種對(duì)比一直持續(xù)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的前沿.數(shù)學(xué)有些部分涉及按
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