目錄
前言
第1章 常微分方程雨點(diǎn)邊值問題的差分解法 1
1.1 Dirichlet 邊值問題
1.1.1 基本轍分不等式 2
1.1.2 解的先驗(yàn)估計(jì)式 4
1.2 差分格式 5
1.2.1 差分格式的建立 7
1.2.2 差分格式解的存在性 8
1.2.3 差分格式的求解 9
1.2.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 13
1.2.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 17
1.2.6 Richardson 外推法 19
1.2.7 緊差分格式 21
1.3 導(dǎo)數(shù)邊界值問題 24
1.3.1 差分格式的建立 24
1.3.2 差分格式的求解 26
小結(jié)與拓展 30
習(xí)題1 31
第2章 橢圓型方程的差分解法 34
2.1 Dirichlet 邊值問題 34
2.2 五點(diǎn)差分格式 36
2.2.1 差分格式的建立 36
2.2.2 差分格式解的存在性 39
2.2.3 差分格式的求解 39
2.2.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 43
2.2.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 45
2.2.6 Richardson 外推法 46
2.3 緊差分格式 49
2.3.1 差分格式的建立 49
2.3.2 差分格式解的存在性 50
2.3.3 差分格式的求解 51
2.3.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 55
2.3.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 58
2.4 導(dǎo)數(shù)邊界值問題 59
2.4.1 差分格式的建立 59
2.4.2 差分格式的求解 61
2.5 雙調(diào)和方程邊值問題 64
小結(jié)與拓展 65
習(xí)題2 66
第3章 拋物型方程的差分解法 69
3.1 Dirichlet 初邊值問題 69
3.2 向前Euler 格式 71
3.2.1 差分格式的建立 73
3.2.2 差分格式解的存在性 74
3.2.3 差分格式的求解 74
3.2.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 76
3.2.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 78
3.3 向后Euler 格式 80
3.3.1 差分格式的建立 81
3.3.2 差分格式解的存在性 82
3.3.3 差分格式的求解 83
3.3.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 86
3.3.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 87
3.4 Richardson 格式 88
3.4.1 差分格式的建立 88
3.4.2 差分格式的求解 89
3.4.3 差分格式的不穩(wěn)定性 90
3.5 Crank-Nicolson 格式 92
3.5.1 差分格式的建立 92
3.5.2 差分格式解的存在性 93
3.5.3 差分格式的求解 94
3.5.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 97
3.5.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 99
3.5.6 Richardson 外推法 100
3.6 緊差分格式 102
3.6.1 差分格式的建立 102
3.6.2 差分格式解的存在性 104
3.6.3 差分格式的求解 106
3.6.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 108
3.6.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 109
3.7 非線性拋物方程 110
3.7.1 向前Euler 格式 111
3.7.2 向后Euler 格式 117
3.7.3 Cr創(chuàng)業(yè)-Nioolson 格式 122
3.8 導(dǎo)數(shù)邊界值問題 130
小結(jié)與拓展 132
習(xí)題3 134
第4章 雙曲型方程的差分解法 143
4.1 Dirichlet 初邊值問題. 143
4.2 顯式差分格式 145
4.2.1 差分格式的建立 145
4.2.2 差分格式解的存在性 148
4.2.3 差分格式的求解 148
4.2.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 151
4.2.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 155
4.3 隱式差分格式 157
4.3.1 差分格式的建立 157
4.3.2 差分格式解的存在性 159
4.3.3 差分格式的求解 162
4.3.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 163
4.3.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 166
4.4 緊差分格式 168
小結(jié)與拓展 171
習(xí)題4 171
第5章 高維方程的交替方向法 178
5.1 二維拋鈾型方程的交替方向隱格式 178
5.1.1 差分格式的建立 179
5.1.2 差分格式解的存在性 181
5.1.3 差分格式的求解 182
5.1.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 187
5.1.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 188
5.2 二維雙曲型方程的交替方向隱格式 189
5.2.1 差分格式的建立 190
5.2.2 差分格式解的存在性 192
5.2.3 差分格式的求解 193
5.2.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 198
5.2.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 200
5.3 三維拋物型方程的緊交替方向隱格式. 202
5.3.1 差分格式的建立 202
5.3.2 差分格式解的存在性 205
5.3.3 差分格式的求解 206
5.3.4 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式 210
5.3.5 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性
5.4 二維雙曲型方程的緊交替方向隱格式 213
小結(jié)與拓展216
習(xí)題5 216
第6章 有限元方法簡(jiǎn)介 220
6.1 常微分方程邊值問題的有限元解法 220
6.1.1 變分原理 221
6.1.2 Ritz-Galerkin 方法 224
6.1.3 有限元方法 229
6.2 橢圓型方程邊值問題的有限元解法 237
6.2.1 變分原理 237
6.2.2 Ritz-Galerkin 方法 239
6.2.3 有限元方法 243
6.3 拋物型方程初邊值問題的有限元解法 251
小結(jié)與拓展254
習(xí)題6 254
參考文獻(xiàn) 56
附錄A 有限Fourier 級(jí)數(shù) 257
A.1 有限Fourier 級(jí)數(shù) 257
A.2 兩點(diǎn)邊值問題差分解的先驗(yàn)估計(jì)式 260
A.3 拋物型方程第一邊值問題差分解的先驗(yàn)估計(jì)式 262
A.4 雙曲型方程第一邊值問題差分解的先驗(yàn)估計(jì)式 264
小結(jié)與拓展 267
附錄B Schrodinger 方程的差分方法 268
B.1 Schrodinger 方程及其守恒律 268
B.2 兩層非線性差分格式 270
B.2.1 差分格式的建立 270
B.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 271
B.2.3 差分格式解的存在唯一性 274
B.2.4 差分格式的收斂性 276
B.2.5 差分格式的選代解法 277
B.3 三層線性化差分格式 279
B.3.1 差分格式的建立 279
B.3.2 差分格式的可解性 280
B.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 281
B.3.4 差分格式的收斂性 284
B.4 緊差分格式 286
B.4.1 差分格式的建立 286
B.4.2 差分格式的可解性和收斂性 288
小結(jié)與拓展 291