矩陣?yán)碚撌且婚T理論上高度抽象，但又極具應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而且已成為現(xiàn)代各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，如自動(dòng)化與人工智能、計(jì)算機(jī)科學(xué)、力學(xué)與機(jī)械工程、管理科學(xué)與工程等處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)工具。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論和方法，對(duì)工科研究生是必不可少的。

本書作為北京航空航天大學(xué)工科研究生的必修課程矩陣?yán)碚摰慕滩囊咽褂枚嗄�。該課程在講授過程中，無論授課對(duì)象是誰，課程設(shè)置和講授內(nèi)容基本都保持不變，因此具有極強(qiáng)的魯棒性。編者于2017年起獨(dú)立承擔(dān)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院的矩陣?yán)碚撜n程教學(xué)，經(jīng)過八輪次的課程探索與實(shí)踐，對(duì)課程內(nèi)容的安排作了精心處理，加入了諸多面向信息類專業(yè)的應(yīng)用案例，深受廣大學(xué)生歡迎。特別是北京航空航天大學(xué)于2023年開始對(duì)全校研究生公共數(shù)學(xué)課程進(jìn)行本研貫通改革，編者作為課程負(fù)責(zé)人主持了矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用課程的改革，逐漸形成了基礎(chǔ)理論（共性） 典型應(yīng)用（個(gè)性）的課程架構(gòu)；該課程于2024年入選工業(yè)和信息化部工程碩博士特色優(yōu)質(zhì)課程。在撰寫本書的過程中，編者力求使其內(nèi)容既具有一定的理論體系和理論深度，又注重深入淺出、簡潔易懂，對(duì)大量較為抽象的概念賦予簡明的幾何意義或具體實(shí)例，以便于學(xué)生理解并掌握矩陣相關(guān)的基本概念、理論和方法，從而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與思維、應(yīng)用與創(chuàng)新能力的目的。

本書分為6章，比較全面、系統(tǒng)地介紹了矩陣的基本理論、方法和典型應(yīng)用。第1章線性代數(shù)引論，是本書的基礎(chǔ)理論，主要介紹線性空間與內(nèi)積空間。第2章線性映射與矩陣，是本書的理論核心，闡釋了矩陣是有限維線性空間的線性變換的一種表達(dá)形式，從而賦予矩陣以幾何直觀，使得在線性代數(shù)課程中難以理解的諸多疑問，如相似矩陣具有相同的特征值、矩陣乘法往往不可以交換等豁然開朗。第3章矩陣分解，是應(yīng)用最廣的矩陣?yán)碚摵头椒ǎ�主要介紹廣泛應(yīng)用的滿秩分解、三角分解、QR分解、Schur分解、譜分解和奇異值分解；此外，還介紹了矩陣相抵、相似對(duì)角化問題和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型問題，這些內(nèi)容是矩陣?yán)碚撗芯俊⒕仃囉?jì)算及應(yīng)用不可缺少的工具和方法。第4章矩陣分析，是矩陣?yán)碚搶?duì)數(shù)學(xué)分析課程的推廣，介紹范數(shù)理論、矩陣級(jí)數(shù)理論、矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣，這些內(nèi)容已廣泛應(yīng)用于諸多理論分析和工程問題。第5章廣義逆矩陣，是矩陣?yán)碚撝斜容^現(xiàn)代的部分，主要介紹常見的4種廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用，并分析了正交投影矩陣與廣義逆矩陣之間的聯(lián)系。第6章非負(fù)矩陣，介紹非負(fù)矩陣的一些基本性質(zhì)，包括正矩陣、素矩陣、不可約非負(fù)矩陣和隨機(jī)矩陣等幾類矩陣的性質(zhì)，這些內(nèi)容與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、概率論、組合數(shù)學(xué)等學(xué)科有著密切聯(lián)系，是矩陣?yán)碚撝邪l(fā)展活躍的領(lǐng)域之一。

特別地，每章都單獨(dú)用一節(jié)來開展矩陣?yán)碚撗芯颗c應(yīng)用。比如，第1章討論了多項(xiàng)式插值與多項(xiàng)式空間的基之間的關(guān)系；第2章研究了圖的矩陣表示問題；第3章將諸多應(yīng)用如線性方程組與線性常微分方程組求解、矩陣特征值與逆矩陣的計(jì)算、正交投影與圖像壓縮等融入各種矩陣分解中；第4章研究了主元分析法對(duì)數(shù)據(jù)降維的基本原理；第5章討論了廣義逆矩陣在區(qū)間線性規(guī)劃中的應(yīng)用問題；第6章研究了非負(fù)矩陣在人口遷移問題中的應(yīng)用。這些內(nèi)容具有較強(qiáng)的針對(duì)性和實(shí)用性，為進(jìn)一步理解矩陣的基本理論與方法、開展研究和解決工程問題提供了重要案例。

在本書編寫過程中，考慮到授課的實(shí)際情況，將諸如投影與最佳逼近、Hermite矩陣、矩陣的Kronecker積、線性矩陣方程等問題以片段或應(yīng)用的形式分散在一些章節(jié)中，希望讀者在閱讀過程中注意總結(jié)。