第 一部分　數(shù)學(xué)直覺的背景知識

第 1 章　數(shù)學(xué)思維 / 2

1.1　概念的形成 / 3

1.2　基模 / 4

1.3　一個例子 / 6

1.4　自然數(shù)學(xué)與形式數(shù)學(xué) / 7

1.5　基于人類經(jīng)驗(yàn)建立形式化概念 / 8

1.6　形式化系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)定理 / 10

1.7　更靈活地使用形式數(shù)學(xué) / 10

1.8　習(xí)題 / 12

第 2 章　數(shù)系 / 15

2.1　自然數(shù) / 15

2.2　分?jǐn)?shù) / 16

2.3　整數(shù) / 17

2.4　有理數(shù) / 18

2.5　實(shí)數(shù) / 19

2.6　繪圖的不精確性 / 22

2.7　實(shí)軸的理論模型 / 22

2.8　不同數(shù)的不同小數(shù)表示 / 25

2.9　有理數(shù)和無理數(shù) / 25

2.10　實(shí)數(shù)的必要性 / 27

2.11　小數(shù)算術(shù) / 28

2.12　序列 / 29

2.13　順序性質(zhì)和模 / 30

2.14　收斂 / 32

2.15　完備性 / 34

2.16　遞減序列 / 36

2.17　同一實(shí)數(shù)的不同小數(shù)表示 / 36

2.18　有界集 / 39

2.19　習(xí)題 / 42

第二部分　形式化的開端

第3 章　集合 / 46

3.1　成員 / 47

3.2　子集 / 51

3.3　是否存在宇集 / 53

3.4　并集和交集 / 55

3.5　補(bǔ)集 / 62

3.6　集合的集合 / 64

3.7　習(xí)題 / 66

第4 章　關(guān)系 / 68

4.1　有序?qū)?/ 68

4.2　數(shù)學(xué)的精確性和人類的理解 / 71

4.3　將有序?qū)Ω拍罨�的其他方�?/ 73

4.4　關(guān)系 / 76

4.5　等價(jià)關(guān)系 / 78

4.6　例子：模n 算術(shù) / 82

4.7　等價(jià)關(guān)系的一些細(xì)節(jié) / 85

4.8　順序關(guān)系 / 86

4.9　習(xí)題 / 89

第5 章　函數(shù) / 92

5.1　一些傳統(tǒng)函數(shù) / 92

5.2　函數(shù)的一般定義 / 93

5.3　函數(shù)的一般性質(zhì) / 97

5.4　函數(shù)的圖像 / 100

5.5　函數(shù)的復(fù)合 / 105

5.6　反函數(shù) / 107

5.7　限制 / 111

5.8　序列和n 元組 / 112

5.9　多元函數(shù) / 113

5.10　二元運(yùn)算 / 113

5.11　集合的索引族 / 115

5.12　習(xí)題 / 116

第6 章　數(shù)理邏輯 / 119

6.1　陳述 / 120

6.2　謂詞 / 121

6.3　所有和部分 / 123

6.4　多個量詞 / 124

6.5　否定 / 126

6.6　邏輯語法：聯(lián)結(jié)詞 / 128

6.7　和集合論的聯(lián)系 / 130

6.8　復(fù)合陳述公式 / 132

6.9　邏輯演繹 / 136

6.10　證明 / 138

6.11　習(xí)題 / 139

第7 章　數(shù)學(xué)證明 / 143

7.1　公理化系統(tǒng) / 147

7.2　理解證明與自我解釋 / 148

7.3　試題 / 149

7.4　習(xí)題 / 150

第三部分　公理化系統(tǒng)的發(fā)展

第8 章　自然數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法 / 154

8.1　自然數(shù) / 155

8.2　歸納定義 / 157

8.3　算術(shù)定律 / 160

8.4　自然數(shù)的順序 / 166

8.5　 0的唯一性 / 168

8.6　計(jì)數(shù) / 169

8.7　馮·諾伊曼的靈感 / 171

8.8　其他形式的歸納法 / 173

8.9　除法 / 175

8.10　因數(shù)分解 / 176

8.11　歐幾里得算法 / 176

8.12　思考 / 179

8.13　習(xí)題 / 179

第9 章　實(shí)數(shù) / 185

9.1　基本的算術(shù)結(jié)果 / 187

9.2　基本的順序結(jié)果 / 190

9.3　構(gòu)造整數(shù) / 191

9.4　構(gòu)造有理數(shù) / 195

9.5　構(gòu)造實(shí)數(shù) / 196

9.6　有理數(shù)序列 / 197

9.7　 上的順序 / 203

9.8　 的完備性 / 204

9.9　習(xí)題 / 206

第 10 章　作為完備有序域的實(shí)數(shù) / 209

10.1　環(huán)和域的例子 / 210

10.2　有序環(huán)和有序域的例子 / 212

10.3　回顧同構(gòu) / 214

10.4　一些特征 / 216

10.5　和直覺概念間的聯(lián)系 / 222

10.6　習(xí)題 / 223

第 11 章　復(fù)數(shù)以及后續(xù)數(shù)系 / 225

11.1　歷史背景 / 225

11.2　構(gòu)造復(fù)數(shù) / 228

11.3　復(fù)共軛 / 230

11.4　模 / 231

11.5　歐拉的指數(shù)函數(shù)方法 / 234

11.6　余弦和正弦的加法公式 / 236

11.7　復(fù)指數(shù)函數(shù) / 24

11.8　四元數(shù) / 243

11.9　形式數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)變 / 248

11.10　習(xí)題 / 248

第四部分　使用公理化系統(tǒng)

第 12 章　公理化系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)定理和靈活思考 / 252

12.1　結(jié)構(gòu)定理 / 255

12.2　不同數(shù)學(xué)思維方法的心理學(xué)解釋 / 257

12.3　構(gòu)建形式化理論 / 260

12.4　后續(xù)發(fā)展 / 268

12.5　習(xí)題 / 269

第 13 章　置換和群 / 271

13.1　置換 / 271

13.2　作為循環(huán)的置換 / 274

13.3　置換的群性質(zhì) / 275

13.4　群的公理 / 278

13.5　子群 / 282

13.6　同構(gòu)和同態(tài) / 285

13.7　劃分群來得到商群 / 287

13.8　群和子群的元素?cái)?shù)量 / 290

13.9　定義群結(jié)構(gòu)的劃分 / 291

13.10　群同態(tài)的結(jié)構(gòu) / 295

13.11　群結(jié)構(gòu) / 297

13.12　群論在數(shù)學(xué)中的主要貢獻(xiàn) / 298

13.13　后續(xù)發(fā)展 / 302

13.14　習(xí)題 / 304

第 14 章　基數(shù) / 307

14.1　康托爾的基數(shù) / 310

14.2　施羅德- 伯恩斯坦定理 / 316

14.3　基數(shù)的算術(shù) / 319

14.4　基數(shù)的順序關(guān)系 / 323

14.5　習(xí)題 / 324

第 15 章　無窮小量 / 327

15.1　比實(shí)數(shù)更大的有序域 / 329

15.2　超有序域 / 332

15.3　超有序域的結(jié)構(gòu)定理 / 332

15.4　在幾何數(shù)軸上表示無窮小量 / 334

15.5　放大到更高維度 / 340

15.6　無窮小量的微積分 / 341

15.7　非標(biāo)準(zhǔn)分析 / 342

15.8　非標(biāo)準(zhǔn)分析的奇妙可能性 / 349

15.9　習(xí)題 / 352

第五部分　強(qiáng)化基礎(chǔ)

第 16 章　集合論公理 / 356

16.1　一些困境 / 356

16.2　集合和類 / 357

16.3　集合論公理概述 / 358

16.4　選擇公理 / 360

16.5　一致性 / 361

16.6　習(xí)題 / 363

附錄　如何閱讀證明：自我解釋方法 / 364

如何自我解釋 / 364

自我解釋的例子 / 365

自我解釋和其他方法的對比 / 365

練習(xí)證明1 / 366

練習(xí)證明2 / 366

記住…… / 367

參考文獻(xiàn) / 368