目錄
前言
第1章 函數(shù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 函數(shù)的概念 3
1.1.3 具有某種特征的函數(shù) 5
習題1-1 7
1.2 初等函數(shù) 8
1.2.1 復合釀 8
1.2.2 反函數(shù) 9
1.2.3 基本初等函數(shù) 10
1.2.4 初等函數(shù) 13
習題1-2 14
復習題1 14
附錄一 一些常用初等代數(shù)公式及結論 15
附錄二 一些常用的曲線及其方程 18
課外閱讀(一) 25
第2章 函數(shù)的極限 27
2.1 數(shù)列的極限 27
2.1.1 數(shù)列極限的定義 27
2.1.2 單調有界原理 30
2.1.3 數(shù)列極限的性質 32
習題2-1 34
2.2 函數(shù)的極限 35
2.2.1 當x→∞時，函數(shù)f(x)的極限 34
2.2.2 當x→x0時，函數(shù)f(x)的極限 37
2.2.3 左極限和右極限 39
習題2-2 40
2.3 函數(shù)極限的性質和運算 40
2.3.1 函數(shù)極限的性質 40
2.3.2 函數(shù)極限的四則運算 42
2.3.3 復合函數(shù)的極限 44
習題2-3 44
2.4 兩個重要極限 45
習題2-4 51
2.5 無窮小與無窮大 52
2.5.1 無窮小 52
2.5.2 無窮大 53
2.5.3 無窮小與無窮大的關系 54
2.5.4 無窮小的比較 54
習題2-5 57
2.6 連續(xù)函數(shù) 58
2.6.1 連續(xù)函數(shù)的概念 58
2.6.2 函數(shù)的間斷點 60
2.6.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 61
2.6.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 63
習題2-6 65
復習題2 67
課外閱讀(二) 69
第3章 導數(shù)與微分 72
3.1 導數(shù)的概念 72
3.1.1 導數(shù)的引入 72
3.1.2 導數(shù)的概念 73
3.1.3 導數(shù)的幾何意義 77
3.1.4 可導與連續(xù)的關系 78
習題3-1 80
3.2 求導法則與導數(shù)公式 81
3.2.1 函數(shù)四則運算的求導法則 81
3.2.2 反函數(shù)的求導法則 83
3.2.3 復合函數(shù)的求導法則 85
3.2.4 初等函數(shù)的導數(shù) 87
3.2.5 再論兩個重要極限 87
習題3-2 89
3.3 高階導數(shù) 90
習題3-3 92
3.4 隱函數(shù)與由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 92
3.4.1 隱函數(shù)的求導方法 92
3.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導公式 95
習題3-4 97
3.5 微分 98
3.5.1 微分概念 98
3.5.2 微分的幾何意義 100
3.5.3 微分的運算法則和公式 100
3.5.4 微分在近似計算中的應用 102
習題3-5 103
復習題3 103
課外閱讀(三) 106
第4章 微分中值定理與導數(shù)的應用 110
4.1 微分中值定理 110
4.1.1 羅爾定理 110
4.1.2 拉格朗曰中值定理 112
4.1.3 柯西中值定理 115
習題4-1 116
4.2 洛必達法則 117
4.2.1 *型未定式 117
4.2.2 *型未定式 120
4.2.3 其他未定式 121
習題4-2 123
4.3 泰勒公式 124
4.3.1 泰勒巾值定理 124
4.3.2 麥克勞林公式 126
4.3.3 函數(shù)的泰勒展開式(直接法)舉例 127
4.3.4 泰勒公式的應用 129
4.3.5 常用初等函數(shù)的麥克勞林公式 129
習題4-3 130
4.4 函數(shù)的單調性與極值 130
4.4.1 函數(shù)的單調性 130
4.4.2 函數(shù)的極值 133
習題4-4 136
4.5 最優(yōu)化問題 136
4.5.1 最大值與最小值 136
4.5.2 最大利潤與最小成本問題 137
4.5.3 庫存問題 138
4.5.4 復利問題 140
4.5.5 其他優(yōu)化問題 140
習題4-5 142
4.6 函數(shù)的凸性、曲線的拐點及漸近線 143
4.6.1 函數(shù)的凸性、曲線的拐點 143
4.6.2 曲線的漸近線 145
4.6.3 函數(shù)圖形的描繪 147
習題4-6 148
4.7 曲率 149
4.7.1 弧微分 149
4.7.2 曲率及其計算公式 151
4.7.3 曲率圓與曲率半徑 153
習題4-7 154
4.8 方程的近似解 154
4.8.1 二分法 155
4.8.2 切線法 156
復習題4 157
課外閱讀(四) 159
第5章 不定積分 164
5.1 不定積分的概念與性質 164
5.1.1 原函數(shù)的概念 164
5.1.2 不定積分的概念 164
5.1.3 不定積分的幾何意義 165
5.1.4 基本積分表 166
5.1.5 不定積分的性質 166
習題5-1 167
5.2 不定積分的換元積分法 168
5.2.1 第一類換元積分法(湊微分法) 168
5.2.2 第二類換元積分法 172
習題5-2 175
5.3 分部積分法 175
習題5-3 178
5.4 有理函數(shù)的積分 179
5.4.1 有理函數(shù)的積分 179
5.4.2 可化為有理函數(shù)的積分 181
習題5-4 182
復習題5 183
附錄三 積分表 184
課外閱讀(五) 192
第6章 定積分及其應用 196
6.1 定積分的概念 196
6.1.1 引例 196
6.1.2 定積分的定義 198
6.1.3 可積的條件 199
6.1.4 定積分的幾何意義 199
習題6-1 200
6.2 定積分的性質 200
習題6-2 203
6.3 微積分基本公式 204
6.3.1 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 204
6.3.2 積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 205
6.3.3 牛頓-萊布尼茨公式 207
習題6-3 208
6.4 換元積分法和分部積分法 209
6.4.1 換元積分法 209
6.4.2 定積分的分部積分法 212
習題6-4 214
6.5 反常積分 215
6.5.1 無窮區(qū)間上的反常積分 215
6.5.2 無界函數(shù)的反常積分 216
習題6-5 218
6.6 定積分在幾何上的應用 218
6.6.1 定積分的元素法 218
6.6.2 平面圖形的面積 220
6.6.3 旋轉體的體積 222
6.6.4 平行截面面積為已知的立體的體積 224
6.6.5 平面曲線弧長 225
習題6-6 227
6.7 定積分在物理學上的應用 228
6.7.1 變力沿直線所做的功 228
6.7.2 水壓力 229
6.7.3 引力 229
習題6-7 230
復習題6 230
課外閱讀(六) 233
第7章 微分方程 237
7.1 微分方程的基本概念 237
習題7-1 240
7.2 一階微分方程 240
7.2.1 可分離變量的微分方程 240
7.2.2 齊次方程 243
7.2.3 一階線性微分方程 245
習題7-2 249
7.3 可降階的高階微分方程 250
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 250
7.3.2 不顯含未知函數(shù)y的微分方程* 250
7.3.3 不顯含自變量x的微分方程* 251
習題7-3 252
7.4 二階常系數(shù)線性微分方程 252
7.4.1 二階常系數(shù)線性微分方程解的結構 253
7.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 254
7.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 256
習題7-4 261
復習題7 262
課外閱讀(七) 264
課后習題答案(上冊) 269
第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 1
8.1 空間直角坐標系及兩點間的距離公式 1
8.1.1 空間直角坐標系 1
8.1.2 兩點間的距離公式 2
習題8-1 3
8.2 向量及其運算 3
8.2.1 向量的概念 3
8.2.2 向量的線性運算 4
8.2.3 向量的分解與向量的坐標表本 7
8.2.4 向量的模和方向余弦 8
習題8-2 9
8.3 向量的數(shù)量積與向量積 10
8.3.1 向量的數(shù)量積 10
8.3.2 向量在軸上的投影 11
8.3.3 向量的向量積 12
習題8-3 14
8.4 空間直線 14
8.4.1 空間直線的點向式方程 14
8.4.2 空間直線的參數(shù)方程 15
8.4.3 兩空間直線的夾角 16
習題8-4 16
8.5 空間平面 17
8.5.1 平面的點法式方程 17
8.5.2 平面的一般式方程 17
8.5.3 平面的一般方程的四種特殊情形 18
8.5.4 平面的截距式方程 19
8.5.5 兩平面的夾角 19
8.5.6 點到平面的距離 20
8.5.7 空間直線和平面的關系 20
習題8-5 21
8.6 曲面及其方程 22
8.6.1 曲面方程的概念 22
8.6.2 兩類特殊的曲面 22
8.6.3 二次曲面 24
習題8-6 28
8.7 空間曲線及其方程 28
8.7.1 空間曲線的一般方程 28
8.7.2 空間曲線的參數(shù)方程 29
8.7.3 空間曲線在坐標平面上的投影 30
習題8-7 30
復習題8 31
課外閱讀(八) 33
第9章 多元函數(shù)微分學及其應用 36
9.1 多元函數(shù)的基本概念 36
9.1.1 平面區(qū)域的概念 36
9.1.2 二元函數(shù)的概念 38
9.1.3 二元函數(shù)的極限 39
9.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 41
習題9-1 42
9.2 偏導數(shù)與高階偏導數(shù) 43
9.2.1 偏導數(shù)的定義及其計算法 43
9.2.2 高階偏雜 46
習題9-2 48
9.3 全微分及其應用 49
9.3.1 全微分雌義 49
9.3.2 函數(shù)可微的條件 50
9.3.3 全微分的計算 51
*9.3.4全微分在近似計算中的應用 52
習題9-3 53
9.4 多元復合函數(shù)微分法 53
9.4.1 多元復合函數(shù)求導法則 54
9.4.2 全微分形式不變性 57
習題9-4 58
9.5 隱函數(shù)求導法則 59
9.5.1 一個方程的情形 60
9.5.2 方程組謝青形 61
習題9-5 64
9.6 偏導數(shù)的幾何應用 64
9.6.1 空間曲線的切線與法平面 64
9.6.2 空間曲面的切平面與法線方程 67
習題 9-6 70
9.7 多元函數(shù)的極值及其求法 70
9.7.1 二元函數(shù)極值的概念 70
9.7.2 二元函數(shù)的最大值與最小值 73
9.7.3 條件極值拉格朗日乘數(shù)法 74
習題9-7 77
9.8 方向導數(shù)與梯度 78
9.8.1 問題的提出 78
9.8.2 方向導數(shù)的定義 78
9.8.3 梯度 81
習題9-8 83
9.9 數(shù)學建模舉例 84
9.9.1 數(shù)學模型 84
9.9.2 最小二乘法 84
9.9.3 線性規(guī)劃問題 86
復習題9 88
課外閱讀(九) 90
第10章 重積分 92
10.1 二重積分的概念與性質 92
10.1.1 引例 92
10.1.2 二重積分的概念 93
10.1.3 二重積分的性質 95
習題10-1 96
10.2 直角坐標系下二重積分的計算 97
10.2.1 直角坐標系下二重積分的計算 97
10.2.2 二重積分的對稱性質 102
習題10-2 104
10.3 二重積分的換元法 105
10.3.1 在極坐標系下二重積分的計算 105
*10.3.2 二重積分的換元法 109
習題10-3 111
10.4 三重積分的概念及直角坐標系下的計算 111
10.4.1 三重積分的概念 111
10.4.2 在直角坐標系下三重積分的計算 113
10.4.3 三重積分的對稱性質 115
習題10-4 116
10.5 柱面坐標系下和球面坐標系下三重積分的計算 116
10.5.1 在柱面坐標系下三重積分的計算 116
10.5.2 在球面坐標系下三重積分的計算 118
習題10-5 120
10.6 重積分的應用 121
10.6.1 曲面的面積 121
10.6.2 物體的質心 124
10.6.3 物體的轉動慣量 125
10.6.4 引力 127
習題10-6 128
復習題10 128
課外閱讀(十) 130
第11章 曲線和曲面積分 134
11.1 第一型曲線積分 134
11.1.1 第一型曲線積分的定義 134
11.1.2 第一型曲線積分的性質 135
11.1.3 第一型曲線積分的計算方法 135
習題11-1 137
11.2 第二型曲線積分 138
11.2.1 第二型的曲線積分的定義 139
11.2.2 第二型曲線積分的性質 140
11.2.3 第二型曲線積分的計算方法 140
習題11-2 144
11.3 曲線積分與路徑無關的條件 145
11.3.1 格林公式 145
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件 149
習題11-3 153
11.4 第一型曲面積分 154
11.4.1 第一型曲面積分的概念與性質 154
11.4.2 第一型曲面積分的計算方法 155
習題11-4 157
11.5 第二型曲面積分 157
11.5.1 有向曲面 157
11.5.2 對坐標的曲面積分的計算法 161
11.5.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 164
習題11-5 165
11.6 高斯公式與斯托克斯公式 166
11.6.1 高斯公式 166
11.6.2 通量與散度 168
11.6.3 斯托克斯公式 170
11.6.4 環(huán)流量與旋度 174
習題11-6 175
復習題11 176
課外閱讀(十一) 179
第12章 無窮級數(shù) 182
12.1 數(shù)項級數(shù)的概念和性質 182
12.1.1 數(shù)項級數(shù)及其斂散性 182
12.1.2 數(shù)項級數(shù)的基本性質 184
習題12-1 185
12.2 正項級數(shù)及其斂散性判別法 186
習題12-2 192
12.3 任意項級數(shù) 193
12.3.1 交錯級數(shù) 193
12.3.2 任意項級數(shù)及其斂散性判別法 195
習題12-3 196
12.4 冪級數(shù) 196
12.4.1 函數(shù)項級數(shù) 196
12.4.2 冪級數(shù)及其斂散性 197
12.4.3 冪級數(shù)的運算 201
習題12-4 202
12.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開 203
12.5.1 展開定理 203
12.5.2 函數(shù)幕級數(shù)展開的應用舉例 206
習題12-5 207
12.6 傅里葉級數(shù) 208
12.6.1 傅里葉級數(shù)的定義 208
12.6.2 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 212
12.6.3 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 213
12.6.4 幾個預備結果 215
12.6.5 狄利克雷收斂定理的證明 217
習題12-6 218
復習題12 219
課外閱讀(十二) 222
課后習題答案(下冊) 229
參考文獻 260