目錄
前言
第二版前言
第一版前言
緒論 1
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 4
1.1 函數(shù)的基本概念 4
1.1.1 準備知識 4
1.1.2 函數(shù)的概念 5
1.1.3 函數(shù)特性 7
習(xí)題1.1 8
1.2 初等函數(shù) 9
1.2.1 基本初等函數(shù) 9
1.2.2 函數(shù)的復(fù)合 11
1.2.3 初等函數(shù)的概念 12
習(xí)題1.2 13
1.3 極限的概念 13
1.3.1 極限引例 13
1.3.2 極限的直觀定義 14
1.3.3 極限的精確定義 15
習(xí)題1.3 19
1.4 極限的性質(zhì)與運算 19
1.4.1 極限的性質(zhì) 19
1.4.2 極限的運算 20
習(xí)題1.4 25
1.5 無窮小量 26
1.5.1 無窮小量與無窮大量 26
1.5.2 無窮小量的運算性質(zhì) 27
1.5.3 無窮小量的比較 28
習(xí)題1.5 30
1.6 函數(shù)的連續(xù)性 31
1.6.1 連續(xù)函數(shù)的概念 31
1.6.2 間斷點及其分類 32
1.6.3 連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性 34
習(xí)題1.6 34
1.7 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 36
1.7.1 最值定理 36
1.7.2 介值定理 36
習(xí)題1.7 37
1.8 極限模型應(yīng)用舉例 38
1.8.1 斐波那契數(shù)列與黃金分割 38
1.8.2 交流電路中的電流強度 39
習(xí)題1.8 40
復(fù)習(xí)題1 40
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 42
2.1 導(dǎo)數(shù) 42
2.1.1 導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生背景 42
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 44
2.1.3 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 48
2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 48
2.1.5 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 49
習(xí)題2.1 50
2.2 導(dǎo)數(shù)的運算法則 51
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 51
2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 53
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 54
2.2.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 57
習(xí)題2.2 58
2.3 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、相關(guān)變化率 60
2.3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 60
2.3.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 64
2.3.3 相關(guān)變化率 66
習(xí)題2.3 67
2.4 高階導(dǎo)數(shù) 68
2.4.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念 69
2.4.2 高階導(dǎo)數(shù)的計算 69
習(xí)題2.4 74
2.5 微分 74
2.5.1 微分的概念 74
2.5.2 微分的運算法則 77
2.5.3 函數(shù)的線性近似 79
習(xí)題2.5 80
2.6 導(dǎo)數(shù)與微分模型應(yīng)用舉例 81
2.6.1 實際問題中的導(dǎo)數(shù)模型 81
2.6.2 實際問題中的微分模型 82
2.6.3 經(jīng)營決策模型 83
習(xí)題2.6 84
復(fù)習(xí)題2 85
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 87
3.1 微分中值定理 87
3.1.1 羅爾定理 87
3.1.2 拉格朗日定理 89
3.1.3 柯西定理 93
習(xí)題3.1 93
3.2 洛必達法則 94
3.2.1 關(guān)于*型不定式的洛必達法則 95
3.2.2 關(guān)于三型不定式的洛必達法則 97
3.2.3 其他不定型 97
習(xí)題3.2 99
3.3 泰勒公式 101
3.3.1 泰勒定理 101
3.3.2 將函數(shù)展開為泰勒公式 103
3.3.3 泰勒公式的應(yīng)用 105
習(xí)題3.3 108
3.4 函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值 108
3.4 1 函數(shù)單調(diào)性的判定法 108
3.4.2 函數(shù)的極值 111
3.4.3 函數(shù)的最大值與最小值 115
習(xí)題3.4 117
3.5 函數(shù)的凹凸性與曲線的拐點 119
3.5.1 函數(shù)的凹凸性 119
3.5.2 曲線的拐點 121
習(xí)題3.5 124
3.6 函數(shù)圖形的描繪 124
3.6.1 曲線的漸近線 125
3.6.2 函數(shù)圖形的描繪舉例 128
習(xí)題3.6 131
3.7 優(yōu)化與微分模型應(yīng)用舉例 131
3.7.1 經(jīng)營優(yōu)化問題 132
3.7.2 運輸問題 134
3.7.3 庫存問題 136
習(xí)題3.7 137
復(fù)習(xí)題3 138
第4章 不定積分 141
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 141
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 141
4.1.2 不定積分的幾何意義 143
4.1.3 基本積分表 143
4.1.4 不定積分的性質(zhì) 144
習(xí)題4.1 147
4.2 換元積分法 148
4.2.1第一類換元法(湊微分法） 148
4.2.2 第二類換元法 156
習(xí)題4.2 161
4.3 分部積分法 163
習(xí)題4.3 167
4.4 有理函數(shù)的積分 168
4.4.1 有理真分式的積分 168
4.4.2 三角函數(shù)有理式積分 171
習(xí)題4.4 173
4.5 不定積分模型應(yīng)用舉例 173
4.5.1 在幾何中的應(yīng)用 173
4.5.2 在物理中的應(yīng)用 174
4.5.3 在經(jīng)濟中的應(yīng)用 176
復(fù)習(xí)題4 178
第5章 定積分及其應(yīng)用 181
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 181
5.1.1 引例 181
5.1.2 定積分的定義 183
5.1.3 可積的充分條件 184
5.1.4 定積分的幾何意義 185
5.1.5 定積分的性質(zhì) 187
習(xí)題5.1 191
5.2 微積分基本公式 192
5.2.1 變速直線運動的位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 192
5.2.2 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 193
5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 195
習(xí)題5.2 198
5.3 定積分的換元法與分部積分法 200
5.3.1 定積分的換元法 200
5.3.2 定積分的分部積分法 203
習(xí)題5.3 205
5.4 廣義積分 207
5.4.1 無窮限的廣義積分 207
5.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 209
習(xí)題5 4 212
5.5定積分的幾何應(yīng)用 213
5.5.1微元法 213
5.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用 214
習(xí)題5 5 223
5.6 定積分模型應(yīng)用舉例 224
5.6.1 功 224
5 6 2 引力 227
5.6.3 質(zhì)量 229
5.6.4 數(shù)值逼近 230
5.6.5 掃雪機清掃積雪模型 232
5.6.6 經(jīng)濟問題 233
習(xí)題5.6 233
復(fù)習(xí)題5 234
部分習(xí)題參考答案 237
參考文獻 256
附錄Ⅰ 初等數(shù)學(xué)常用公式 257
附錄Ⅱ 常用平面曲線及其方程 262
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 1
6.1 多元函數(shù)的基本概念 1
6.1.1 區(qū)域 1
6.1.2 多元函數(shù)的定義 2
6.1.3 多元函數(shù)的極限 3
6.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 5
習(xí)題6.1 6
6.2 偏導(dǎo)數(shù) 7
6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念 7
6.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的計算 7
6.2.3 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 9
6.2.4 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系 9
6.2.5 高階偏導(dǎo)數(shù) 10
習(xí)題6.2 12
6.3 全微分 12
6.3.1 全微分的定義 12
6.3.2 可微的必要條件 13
6.3.3 可微的充分條件 14
6.3.4 利用全微分作近似計算 16
習(xí)題6.3 16
6.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 17
6.4.1 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則 17
6.4.2 多元函數(shù)一階全微分形式不變性 19
習(xí)題6.4 20
6.5 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 21
6.5.1 由一個方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 21
6.5.2 由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 22
習(xí)題6.5 24
6.6 多元函數(shù)的極值 25
6.6.1 無條件極值 25
6.6.2 最值 27
6.6.3 條件極值、拉格朗日乘數(shù)法 29
習(xí)題6.6 31
6.7 多元函數(shù)微分學(xué)模型應(yīng)用舉例 31
6.7.1 交叉彈性 31
6.7.2 最優(yōu)價格模型 34
習(xí)題6.7 35
復(fù)習(xí)題6 36
第7章 重積分及其應(yīng)用 38
7.1 二重積分 38
7.1.1 二重積分模型 38
7.1.2 二重積分的性質(zhì) 41
習(xí)題7.1 42
7.2 二重積分的計算 43
7.2.1 在直角坐標系下計算二重積分 43
7.2.2 在極坐標系下計算二重積分 49
習(xí)題7.2 53
7.3 三重積分 55
7.3.1 三重積分的定義 55
7.3.2 三重積分的計算 56
習(xí)題7.3 64
7.4 重積分模型應(yīng)用舉例 65
7.4.1 幾何應(yīng)用 66
7.4.2 物理應(yīng)用 70
7.4.3 重積分在生活中的應(yīng)用 74
習(xí)題7.4 75
復(fù)習(xí)題7 76
第8章 曲線積分、曲面積分及其應(yīng)用 79
8.1 第一型曲線積分 79
8.1.1 金屬曲線的質(zhì)量 79
8.1.2 第一型曲線積分的定義 79
8.1.3 第一型曲線積分的計算 81
習(xí)題8.1 83
8.2 第二型曲線積分 83
8.2.1 變力沿曲線所做的功 83
8.2.2 第二型曲線積分的定義 84
8.2.3 第二型曲線積分的計算 85
8.2.4 兩類曲線積分之間的關(guān)系 87
習(xí)題8.2 89
8.3 格林公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 89
8.3.1 單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域 89
8.3.2 格林公式 90
8.3.3 平面曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件 94
8.3.4 全微分方程 97
習(xí)題8.3 99
8.4 第一型曲面積分 99
8.4.1 空間曲面的質(zhì)量 99
8.4.2 第一型曲面積分的定義 100
8.4.3 第一型曲面積分的計算 100
習(xí)題8.4 103
8.5 第二型曲面積分 103
8.5.1 流量問題 103
8.5.2 第二型曲面積分的定義 105
8.5.3 第二型曲面積分的計算 107
8.5.4 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 109
習(xí)題8.5 111
8.6 高斯公式、斯托克斯公式 111
8.6.1 高斯公式 111
8.6.2 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 114
8.6.3 斯托克斯公式 114
習(xí)題8.6 119
8.7 線面積分模型應(yīng)用舉例 119
8.7.1 通量與散度 119
8.7.2 環(huán)量與旋度 121
習(xí)題8.7 123
復(fù)習(xí)題8 123
第9章 常微分方程及其應(yīng)用 125
9.1 微分方程的基本概念 125
9.1.1案例引人 125
9.1.2 微分方程的定義 127
9.1.3 微分方程的解 127
習(xí)題9.1 129
9.2 —階微分方程 130
9.2.1 可分離變量的微分方程、齊次方程 130
9.2.2 —階線性微分方程、伯努利方程 136
9.2.3 利用變量代換求解一階微分方程 141
習(xí)題9.2 142
9.3 可降階的高階微分方程 143
9.3.1 y(n)=f(x)型 144
9.3.2 y〃=f(x,y)型 145
9.3.3 y〃=f(y,y)型 146
習(xí)題9.3 146
9.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 147
9.4.1 二階齊次線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu) 147
9.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 149
習(xí)題9.4 153
9.5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 153
9.5.1 二階非齊次線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu) 153
9.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 154
習(xí)題9.5 161
9.6 常微分方程模型應(yīng)用舉例 161
9.6.1 死亡時間判定模型 161
9.6.2 人口增長模型 163
9.6.3 放射性廢料的處理模型 164
9.6.4 魚雷擊艦問題 165
習(xí)題9.6 167
復(fù)習(xí)題9 167
第10章 無窮級數(shù)及其應(yīng)用 169
10.1 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 169
10.1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念 169
10.1.2 常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 172
10.1.3 級數(shù)收斂的必要條件 175
習(xí)題10.1 176
10.2 正項級數(shù)判斂 177
10.2.1 正項級數(shù)收斂的充要條件 178
10.2.2 比較判別法 178
10.2.3 比值判別法 182
10.2.4 根值判別法 184
習(xí)題10.2 185
10.3 —般常數(shù)項級數(shù)判斂 186
10.3.1 交錯級數(shù) 186
10.3.2 絕對收斂與條件收斂 188
習(xí)題10.3 191
10.4 冪級數(shù) 191
10.4.1 函數(shù)項級數(shù) 191
10.4.2 冪級數(shù)及其收斂區(qū)間 193
10.4.3 冪級數(shù)的運算性質(zhì)和函數(shù) 197
習(xí)題10.4 199
10.5 函數(shù)展開成冪級數(shù) 200
10.5.1 泰勒級數(shù) 200
10.5.2 函數(shù)展開成冪級數(shù) 202
習(xí)題10.5 209
10.6 傅里葉級數(shù) 209
10.6.1 三角級數(shù)和三角函數(shù)系的正交性 209
10.6.2 傅里葉級數(shù)的概念 211
10.6.3 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 213
10.6.4 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 216
10.6.5 周期延拓 218
10.6.6 奇延拓與偶延拓 220
10.6.7 以2Z為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 222
習(xí)題10.6 224
10.7 無窮級數(shù)模型應(yīng)用舉例 225
習(xí)題10.7 231
復(fù)習(xí)題10 232
部分習(xí)題參考答案 235
參考文獻 255