第2版前言

本書(shū)的第1版已經(jīng)在教學(xué)中試用了三個(gè)學(xué)期。因此，我有機(jī)會(huì)反思自己的溝通技巧和教學(xué)技能。

除了糾正一些筆誤和小錯(cuò)誤，我決定改寫(xiě)很多證明，使得解釋更清晰也更易讀。本書(shū)的每一處改動(dòng)都認(rèn)真考慮了學(xué)生的反應(yīng)和他們?cè)趯W(xué)習(xí)中的反饋。本書(shū)的很多章節(jié)都被重新組織，一些章節(jié)甚至重新編寫(xiě)，并使用了更好的記號(hào)。第2版包括了超過(guò)150頁(yè)的新材料，包括貫穿全書(shū)的定理、圖示、偽代碼和例子，全書(shū)加起來(lái)超過(guò)了500頁(yè)。

在有關(guān)矩陣、向量和線性映射的章中加入了新的主題。此外，全書(shū)增加了大量?jī)?nèi)容。有關(guān)歐氏空間的內(nèi)容現(xiàn)在從向量空間的章中移除，并將其放置在一個(gè)關(guān)于內(nèi)積空間的獨(dú)立章中介紹。最后，在書(shū)的末尾給出了每章習(xí)題的答案。

在本版中，本書(shū)仍分為兩部分：第Ⅰ部分闡述了線性代數(shù)基礎(chǔ)，第Ⅱ部分介紹了線性代數(shù)高級(jí)主題。

第Ⅰ部分由前六章組成。第1章介紹代數(shù)及集合論中的基本記號(hào)、概念和定義。第2章描述有關(guān)矩陣的定理和應(yīng)用。第3章著重分析線性方程組的解析理論和數(shù)值方法。第4章介紹三維空間中的向量。第5章討論復(fù)數(shù)和多項(xiàng)式以及代數(shù)基本定理。第6章從代數(shù)和矩陣?yán)碚摰慕嵌冉榻B二次曲線。

第Ⅱ部分由后七章組成。第7章介紹代數(shù)結(jié)構(gòu)，并介紹群論和環(huán)論。第8章分析向量空間。第9章介紹內(nèi)積空間，并特別強(qiáng)調(diào)歐氏空間。第10章討論線性映射。第11章介紹復(fù)雜度和算法定理。第12章介紹圖論，并從線性代數(shù)的角度進(jìn)行闡述。最后，第13章給出了一個(gè)例子，說(shuō)明如何將前幾章學(xué)習(xí)的所有代數(shù)知識(shí)應(yīng)用于電氣工程實(shí)踐中。

在附錄A中，布爾代數(shù)是非線性代數(shù)的一個(gè)例子。附錄B給出了本書(shū)中一些定理的證明，因?yàn)檫@些定理的證明需要一些微積分和數(shù)學(xué)分析知識(shí)，超出了本書(shū)的范疇，所以在正文中證明被省略。

我認(rèn)為按照目前的形式，本書(shū)是第1版的一個(gè)實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)版。雖然整體結(jié)構(gòu)和風(fēng)格大體上保持不變，但使用了新的方式呈現(xiàn)和說(shuō)明這些概念，這就使得本書(shū)能夠被更多讀者接受，并引導(dǎo)他們向線性代數(shù)的更高水平邁進(jìn)。

補(bǔ)充一點(diǎn)，本書(shū)第2版的目的是讓任何對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，并想在數(shù)學(xué)上下功夫的人都能理解代數(shù)。



Ferrante Neri

英國(guó)，諾丁漢

2019年4月

第1版前言

理論和實(shí)踐常常被認(rèn)為是獨(dú)立存在的，代表知識(shí)的兩個(gè)不同方面。事實(shí)上，一方面，應(yīng)用科學(xué)是建立在理論進(jìn)步的基礎(chǔ)上的。另一方面，理論研究往往著眼于世界和有待發(fā)展的現(xiàn)實(shí)需要。本書(shū)基于這樣的理念：理論和實(shí)踐不是相互脫節(jié)的，知識(shí)之間是互相聯(lián)系的。特別地，本書(shū)從計(jì)算機(jī)科學(xué)家、工程師和任何需要深入理解這門學(xué)科以使應(yīng)用科學(xué)得以進(jìn)步的人的視角來(lái)介紹線性代數(shù)的主要概念，同時(shí)不失數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。本書(shū)是面向應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域的研究人員和研究生的，但也可以作為數(shù)學(xué)專業(yè)的教材。

代數(shù)書(shū)要么非常正式，對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)家和工程師來(lái)說(shuō)不夠直觀，要么是普通的本科生教材，證明和定義沒(méi)有足夠的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。本書(shū)旨在在嚴(yán)謹(jǐn)性與直觀性之間保持平衡，針對(duì)每一個(gè)引入的概念，試圖都給出其示例、解釋和實(shí)際意義，并證明每一個(gè)命題。在適當(dāng)?shù)牡胤�，主題也會(huì)被表示為算法并輔以偽代碼。另外，本書(shū)不使用邏輯跳轉(zhuǎn)或直觀解釋來(lái)代替證明。

本書(shū)的“敘述”以（部分）數(shù)學(xué)思想為引線。經(jīng)歷了一個(gè)又一個(gè)世紀(jì)，這些數(shù)學(xué)思想影響著人們的觀點(diǎn)并帶來(lái)了近代科技的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想被認(rèn)為起源于石器時(shí)代，當(dāng)時(shí)的穴居人必須估計(jì)他觀察到的物體的數(shù)量。概念化過(guò)程發(fā)生在古代的某個(gè)時(shí)刻，這便是數(shù)學(xué)的開(kāi)端，也是邏輯學(xué)、理性思維和技術(shù)的開(kāi)端。

本書(shū)分為兩個(gè)部分，共有十三章。第Ⅰ部分介紹代數(shù)中的基本主題，適用于大學(xué)代數(shù)課程入門，而第Ⅱ部分給出的更為高級(jí)的主題適用于更為高級(jí)的課程。此外，本書(shū)可作為應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域的研究者的手冊(cè)，讀者可根據(jù)本書(shū)內(nèi)容主題的劃分，按自身的興趣選擇特定的主題。

第Ⅰ部分從第1章開(kāi)始，介紹代數(shù)學(xué)和集合論中的基本概念和定義。第1章中的定義和記號(hào)將用于后面各章。第2章研究矩陣代數(shù)，介紹定義和定理。第3章繼續(xù)討論矩陣代數(shù)，解釋線性代數(shù)方程組的理論原理，并舉例說(shuō)明解方程組的一些精確方法和近似方法。第4章先是以直觀方式將向量視為幾何對(duì)象進(jìn)行介紹，然后逐步抽象和推廣這一概念，從而得到了代數(shù)向量的概念，其本質(zhì)是要在矩陣?yán)碚摰幕�礎(chǔ)上求解線性方程組。有關(guān)向量的敘述引出了第5章。第5章討論了復(fù)數(shù)和多項(xiàng)式，并通過(guò)對(duì)代數(shù)基本定理的陳述和解釋，對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。前5章所得到的大部分知識(shí)在第6章中將再次被提出，第6章介紹并解釋圓錐曲線，證明圓錐曲線除了幾何意義外，還有代數(shù)解釋，因而等價(jià)于矩陣。

按照對(duì)稱的原則，第Ⅱ部分從第7章開(kāi)始，通過(guò)演示基本代數(shù)結(jié)構(gòu)開(kāi)始介紹高級(jí)代數(shù)知識(shí)。第8章介紹群和環(huán)的理論以及域的概念——它們構(gòu)成了這一章的基礎(chǔ)，同時(shí)介紹向量空間。向量空間的理論是從理論的角度進(jìn)行介紹的，同時(shí)也參考了它們的物理意義和幾何意義。這些思想將在第10章中用于處理線性映射