法國 Bourbaki 學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)特別是純數(shù)學(xué)是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，現(xiàn)代數(shù)學(xué)有三大母結(jié)構(gòu): 代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從單結(jié)構(gòu)的初始公理體系出發(fā)通過添加公理?xiàng)l件的方式可以得到各種特殊結(jié)構(gòu)，從多種結(jié)構(gòu)出發(fā)通過設(shè)置公理體系之間的協(xié)調(diào)性條件可以得到各種多結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

At the center of our universe are found the great types of structures, of which the principal ones were called the mother-structures: algebraic structures, ordered structures and topological structures. Each of these types has the smallest number of axioms, and by enriching with supplementary axioms, it comes a harvest of new consequences. Those of multiple structures involve two or more of the great mother-structures simultaneously, combined organically by one or more axioms which set up a connection between them.(①

序結(jié)構(gòu)是帶有偏序關(guān)系的集合，格結(jié)構(gòu)是帶有某種完備性的序結(jié)構(gòu)。序與格論起源于19 世紀(jì)末群論中的一個(gè)問題: 設(shè)A, B, C 是Abel 群G 的子群，問A, B, C 通過加法運(yùn)算和交運(yùn)算可以生成多少個(gè)互不相同的子群? 換成格序術(shù)語，即由三個(gè)元素生成的自由模格具有多少個(gè)元素②(? 1900 年，R. Dedekind 回答了這個(gè)問題[12]。20 世紀(jì)30 年代，G. Birkhoff 和O. Ore 開始系統(tǒng)研究序與格論。由Birkhoff 撰寫的世界上第一部格論專著Lattice Theory 于1940 年出版，后來又分別在1948 年和1967 年再版。序與格論及其相關(guān)領(lǐng)域重要的英文書目主要有:

– Lattice Theory (Birkhoff, 1940, 1948, 1967)[5]

– Lattice Theory (Gr?tzer, 1971)[27]

– Distributive Lattices (Balbes, Dwinger, 1974)[3]

– General Lattice Theory (Gr?tzer, 1978, 1998)[27]

– A Compendium on Continuous Lattices (Gierz, et. al., 1980)[23]

– A Course in Universal Algebra (Burris, Sankappanavar, 1981)[8]

– Stone Spaces (Johnstone, 1982)[40]

– Introduction to Lattices and Order (Davey, Priestley, 1990, 2002)[10]

– Continuous Lattices and Domains (Gierz, et. al., 2003)[24]

– Lattices and Ordered Algebraic Structures (Blyth, 2005)[6]

– Lattices and Ordered Sets (Roman, 2008)[68]

– Frames and Locales (Picado, Pultr, 2012)[60]

– Spectral Spaces (Dickmann, Schwartz, Tressl, 2019)[14]

中文書目主要有(按年份排序, 同一年份的按作者姓名字母排序):

–《格論》（中山正（董克誠譯），1964）[101]

–《格論基礎(chǔ)》（胡長流，宋振明，1990）[36]

–《拓?fù)浞肿痈窭碚摗罚ㄍ鯂��。?990）[83]

–《格論初步》（張杰，1990）[99]

–《Frame 與連續(xù)格》（鄭崇友，樊磊，崔宏斌，1994，2000）[100]

–《模糊集與剩余格》（方進(jìn)明，2012）[19]

–《一般格論基礎(chǔ)》（李海洋，2012）[47]

–《格論導(dǎo)引》（方捷，2014）[18]

–《Quantale 理論基礎(chǔ)》（韓勝偉，趙彬，2016）[30]

–《序與拓?fù)洹罚ㄐ鞎匀��?016）[90]

–《概率計(jì)量邏輯及其應(yīng)用》（周紅軍，2016）[102]

中國的序與格論及其相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)術(shù)研究發(fā)展基本上可分為三個(gè)階段:

第一階段: 解放初期的萌芽階段。解放后的中國滿目瘡痍、百廢待興，學(xué)習(xí)和研究資料十分匱乏。1964 年，河北大學(xué)董克誠教授將日本學(xué)者中山正的《格論: 格的代數(shù)理論》翻譯為中文，成為格論的第一部中文書籍。

第二階段: 20 世紀(jì)90 年代的發(fā)展階段。這是改革開放的十余年后，離第一部中文格論書籍的出版已過去近三十年。伴隨著各種新思潮的涌入，Bourbaki 學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義思想深深地影響了中國數(shù)學(xué)工作者，20 世紀(jì)60 年代末70 年代初提出的Domain 理論中格序結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相融合的內(nèi)容及研究方法更是引起了中國學(xué)者極大的興趣。1990 年全國共出版了三部格論著作，1994 年Frame 和Domain理論方面的專著《Frame 與連續(xù)格》的出版將中國序與格論研究推向一個(gè)高度，該書在2000 年進(jìn)行了修訂，添加了很多國內(nèi)學(xué)者的重要工作。格論領(lǐng)域內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者從此擁有了開展學(xué)習(xí)和研究的豐富資料，為后續(xù)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

第三階段: 21 世紀(jì)的繁榮階段。20 世紀(jì)90 年代后，中國學(xué)者學(xué)習(xí)和積淀了二十多年，逐步形成了若干個(gè)在國際上具有一定影響力的研究團(tuán)隊(duì)，研究水平和成果得到了全面發(fā)展和提升。這一階段的特征是，各研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合自身特點(diǎn)和優(yōu)勢，將格序結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了不同方面、不同層面和不同方向的深入研究，期間共有五部專著出版，特別是2016 年就有三部，從此格論研究達(dá)到了一個(gè)新的高度。

編寫本書的目的是: （1）闡述序與格等相關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)相關(guān)概念和結(jié)論的代數(shù)性的表述，為國內(nèi)學(xué)者和研究生的學(xué)習(xí)和研究提供素材；（2）細(xì)致處理諸多細(xì)節(jié)，使得理論體系更具嚴(yán)密性①(；（3）強(qiáng)調(diào)格論在其他方向的應(yīng)用，加入部分與粗糙集理論、形式概念分析相關(guān)的格論知識；（4）將完全分配格和剩余格列為重要內(nèi)容，單獨(dú)成章，為模糊數(shù)學(xué)理論的研究者提供全面的基礎(chǔ)知識；（5）將作者近年來的相關(guān)研究成果納入其中，充實(shí)格論內(nèi)容。讀者可能會注意到本書在結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的安排上與B.A. Davey 和H. Priestley 的Introduction to Lattices and Order具有一定的相似性，此書也是我們非常推崇的序與格論著作，建議初學(xué)者將此書選為入門學(xué)習(xí)的英文讀本。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，任何一個(gè)單一結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論在縱向方面的發(fā)展都已經(jīng)相對比較完善，所以逐步向多結(jié)構(gòu)交叉，或者與其他數(shù)學(xué)分支甚至與其他領(lǐng)域進(jìn)行橫向交叉研究將是今后數(shù)學(xué)研究的主旋律。本書以格序結(jié)構(gòu)為主體，將它與代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系作為主線貫穿全書，逐步展開序與格論的相關(guān)基礎(chǔ)理論知識的講述。下面分章節(jié)介紹全書內(nèi)容。

第1 章給出偏序集、格與完備格等基本結(jié)構(gòu)的定義，介紹序同態(tài)與格同態(tài)等保結(jié)構(gòu)映射、分配格與Boole 代數(shù)等常見格結(jié)構(gòu)、理想與濾子等重要子結(jié)構(gòu)，以及交素元與并素元等特殊元素。

第2 章介紹Galois 伴隨和Galois 連接。Galois 伴隨和Galois 連接都可以看作互逆映射對的一種泛化或推廣，但這兩個(gè)名詞在許多文獻(xiàn)中存在混用現(xiàn)象，實(shí)際上它們是兩個(gè)不同的概念。Galois 連接是一種逆序的映射對，其歷史淵源可以追溯到法國數(shù)學(xué)家E. Galois 開創(chuàng)的Galois 理論，其偏序集框架下的確切定義是由O. Ore 在1944 年提出的[55]。而Galois 伴隨則是一種保序的映射對，首先由J. Schmidt 在1953 年提出[71]。特別指出，由T.S. Blyth 和M.F. Janowitz 發(fā)展的剩余理論[7] 是Galois 伴隨的另一種表現(xiàn)形式。無論是Galois 伴隨還是Galois連接，都在代數(shù)學(xué)、序與格論、Domain 理論、形式概念分析和邏輯學(xué)等學(xué)科分支

中具有重要的應(yīng)用[13]。

第3 章是Heyting 代數(shù)，它由荷蘭數(shù)學(xué)家A. Heyting 在1930 年引入[32]，是經(jīng)典命題演算的Tarski-Lindenbaum 代數(shù)的推廣，或直覺主義演算的Tarski-Lindenbaum 代數(shù)。在數(shù)學(xué)方面，Heyting 代數(shù)是Boole 代數(shù)的一般化，曾被稱作偽Boole 代數(shù)或Brouwer 格[44]。從范疇論的角度來看，一個(gè)偏序集是Heyting代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它作為范疇是笛卡兒閉的[52]。本章介紹Heyting 代數(shù)的基本性質(zhì)及其與Boole 代數(shù)的關(guān)系、濾子與同余關(guān)系之間的一一對應(yīng)、相對極大濾子等特殊濾子，以及Heyting 代數(shù)的同態(tài)和直積等內(nèi)容。

第4 章介紹Frame 與拓?fù)浔硎径ɡ�。拓�(fù)浣Y(jié)構(gòu)和格序結(jié)構(gòu)之間有著非常自然的聯(lián)系，從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)出發(fā)，如果我們“忘掉”基礎(chǔ)集，則開集族構(gòu)成一個(gè)特殊的完備格，另外還可以利用開集族誘導(dǎo)基礎(chǔ)集上的預(yù)序關(guān)系（即特殊化序）；反過來，從格序結(jié)構(gòu)出發(fā)，我們可以在上面定義很多內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)�，如序拓�(fù)�、Alexandrov拓?fù)浜蚐cott 拓?fù)涞取?0 世紀(jì)30 年代末期，M.H. Stone 關(guān)于Boole 代數(shù)與分配格的拓?fù)浔硎径ɡ沓霈F(xiàn)后[75-77]，人們開始廣泛關(guān)注和重視這方面內(nèi)容的研究。1938 年，H. Walman 提出可以利用格論方法來研究拓?fù)淇臻g的性質(zhì)[80]；1957 年，C. Ehresmann 認(rèn)為具有某種分配性的格本身就可以作為一種廣義拓?fù)淇臻g來研究[15]，其中frame 是替代拓?fù)淇臻g的開集格的較直接而有效的格結(jié)構(gòu)。后來的研究表明，這種融合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和格序結(jié)構(gòu)于一體的研究是極具特色的，并逐步形成了“序與拓?fù)洹钡姆�(wěn)定研究方向。P.T. Johnstone 的著作Stone Spaces 是對該領(lǐng)域的研究工作的系統(tǒng)總結(jié)[40]，鄭崇友、樊磊和崔宏斌的專著《Frame 與連續(xù)格》則是該領(lǐng)域內(nèi)國內(nèi)學(xué)生和研究人員的必讀書目[100]，徐曉泉的專著《序與拓?fù)洹穫?cè)重論述該領(lǐng)域的一些最新進(jìn)展[90]。

第5 章介紹基本的Domain 結(jié)構(gòu)和連續(xù)格理論。Domain 理論由圖靈獎(jiǎng)得主D.S. Scott 于20 世紀(jì)70 年代開創(chuàng)[72,73]，來源于兩個(gè)不同的背景: 一個(gè)是理論計(jì)算機(jī)中的函數(shù)式語言的研究；另一個(gè)是純數(shù)學(xué)方面的研究。在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的語義學(xué)特別是指稱語義學(xué)的研究中，基本思想是在輸入集和輸出集上基于所含信息量的多少賦予序結(jié)構(gòu)，構(gòu)成定向完備偏序集；而作為程序的映射則是Scott 連續(xù)映射，Scott 拓?fù)淝∈鞘沟糜成涞腟cott 連續(xù)性和拓?fù)溥B續(xù)性等價(jià)的那個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在純數(shù)學(xué)方面，20 世紀(jì)70 年代中期，J.D. Lawson，K.H. Hofmann 和A.R. Stralka等人發(fā)現(xiàn)，連續(xù)格等價(jià)于緊的Lawson 交半格，從而可以從拓?fù)浯鷶?shù)的角度研究Domain 理論[34,45]。1980 年，Scott 等6 位作者共同撰寫了Domain 理論的第一部專著A Compendium of Continuous Lattices，2003 年再版的Continuous Lattices and Domains 一書將后來20 多年的許多研究成果收入其中。J. Goubault-Larrecq 的專著Non-Hausdorff Topology and Domain Theory 以廣義度量空間為基本結(jié)構(gòu)對Domain 理論進(jìn)行了專題式研究[26]。現(xiàn)如今，Domain 理論已被廣泛應(yīng)用到拓?fù)鋵W(xué)、邏輯學(xué)、積分理論、動(dòng)力系統(tǒng)等研究領(lǐng)域中。

第6 章全面講述完全分配格及等價(jià)刻畫。完全分配格是集代數(shù)特征、序特征和拓?fù)涮卣饔谝惑w的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。其早期研究主要集中在代數(shù)結(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)方面[4,64-66]，后來隨著Domain 理論的興起，人們發(fā)現(xiàn)完全分配格實(shí)際上是連續(xù)dcpo 上的Scott 拓?fù)涞拈_集格[33,46]，再后來王國俊先生更是把完全分配格當(dāng)作一種特殊的無點(diǎn)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，直接將它作為研究對象，創(chuàng)立了拓?fù)浞肿痈窭碚揫83]。另外，在模糊數(shù)學(xué)中，完全分配格通常被選作賦值格[48,82]，它在一些概念的表述過程和一些結(jié)論的證明方法中所起的作用類似于單位區(qū)間[0,1]，因此以[0,1] 為賦值格的模糊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相關(guān)內(nèi)容和結(jié)論大多可以被推廣到以完全分配格為賦值格的框架下。本章講述完全分配格的基本概念和各種刻畫方法，包括三角小于刻畫、極小集刻畫、Domain 式刻畫、拓?fù)涫娇坍嫼完P(guān)系型刻畫等。

第7 章介紹模糊邏輯的公共代數(shù)結(jié)構(gòu)——剩余格。剩余格是由M. Ward 和R.P. Dilworth 在1939 年為研究交換環(huán)的理想格而引入的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)[86]，它是子結(jié)構(gòu)命題邏輯的語義代數(shù)[20]。模糊邏輯的語義代數(shù)，如MTL-代數(shù)、BL-代數(shù)、MV-代數(shù)、R0-代數(shù)和Heyting 代數(shù)等都是特殊的剩余格。關(guān)于剩余格的名稱在很多文獻(xiàn)中不太統(tǒng)一，本書指最狹義的剩余格，即有界的整的交換的剩余格。剩余格和完備剩余格因其完善的邏輯背景和豐富的演算能力，被廣泛應(yīng)用到模糊數(shù)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的研究中。本章介紹剩余格基本理論及MTL-代數(shù)、可除剩余格、正則剩余格和MV-代數(shù)等特殊剩余格。

本書中常有一些結(jié)論被“顯然”和“容易證明”等詞一筆帶過，主要目的是要給讀者留下發(fā)揮的空間。但我們也建議讀者將更多的精力放在這些地方，不要輕易“放過”它們，同時(shí)爭取把每章后面的習(xí)題都做一遍。如此，會收到非同一般的學(xué)習(xí)效果.

本書的成稿離不開作者學(xué)習(xí)和科研道路上的三位導(dǎo)師: 陜西師范大學(xué)李生剛教授、趙彬教授、北京理工大學(xué)史福貴教授，特別是2002 年趙彬教授在擔(dān)任副校長期間，百忙之中每周抽出固定時(shí)間系統(tǒng)地完整地講授了格論和Domain 理論，引領(lǐng)作者進(jìn)入了這絢麗多彩的格論世界。特別感謝新加坡南洋理工大學(xué)趙東升教授為本書作序，為本書增色添彩。本書寫作過程中得到了湖南大學(xué)李慶國教授、揚(yáng)州大學(xué)徐羅山教授、廣州大學(xué)李海洋教授、中國海洋大學(xué)岳躍利教授、鹽城師范學(xué)院奚小勇教授、北京理工大學(xué)龐斌副教授、北京郵電大學(xué)沈沖博士、煙臺大學(xué)王凱博士等的支持和幫助，他們在閱讀書稿時(shí)提出了很多建設(shè)性的意見和建議。本書部分內(nèi)容作為講義在河北科技大學(xué)和南京信息工程大學(xué)格論學(xué)習(xí)班上講授過，感謝王榮欣老師、趙蕾老師，博士后石毅，博士生張光旭、吳國俊，碩士生陶久鑫、陳曉慶、陳燁、楊俊、韓新月、孫佳、張亞寧，本科生任蜚白和張珊等，感謝北京理工大學(xué)教師和學(xué)生團(tuán)隊(duì)，他們在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)了書稿中的很多錯(cuò)誤。特別感謝吳國俊同學(xué)詳細(xì)地通讀了全書，指出了書中各種類型的問題。感謝南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院學(xué)院辦公室宋潤琦老師在我們查找和閱讀法文材料時(shí)給予的幫助。同時(shí)也非常感謝清華大學(xué)出版社高效而細(xì)致的工作。

感謝國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(12231007，11871189) 對本書的資助。本書近一半內(nèi)容是第一作者任職于河北科技大學(xué)期間完成的，在此感謝河北科技大學(xué)特別是理學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)、同事和學(xué)生多年來的支持與幫助，感謝南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)和同事的支持與鼓勵(lì)，本書成果可由兩校共享。

限于作者的水平，書中的不妥之處乃至謬誤在所難免，希望各位專家與讀者提出寶貴意見。有任何問題可發(fā)送郵件至作者郵箱(①，作者不勝感激。

作者

2022 年1 月

① 摘自[Bourbaki N. L'architecture des mathématiques, 1948] 的英文版[Bourbaki N. The architecture of mathematics. Amer. Math. Monthly, 1950, 57(4): 221-232]。

② 群的正規(guī)子群之集構(gòu)成模格，見文獻(xiàn)[10] 中例4.6（5）。

(

( ① 如諸表示定理中的分配格范疇實(shí)際上是指有界分配格和保界格同態(tài)構(gòu)成的范疇，這一點(diǎn)大部分格論著作都沒有指出。

( ① yaowei@nuist.edu.cn。