第1章 復數(shù)與復變函數(shù) 1
1.1 復數(shù)及其代數(shù)運算 1
1.1.1 復數(shù)的概念 1
1.1.2 復數(shù)的代數(shù)運算 2
習 題 7
1.2 復數(shù)的幾何表示 7
1.2.1 復平面 7
1.2.2 復無窮和復球面 12
習 題 13
1.3 復數(shù)的乘冪與方根 14
1.3.1 乘積與商 14
1.3.2 整數(shù)次冪與方根 14
習 題 18
1.4 區(qū) 域 19
1.4.1 開集和閉集 19
1.4.2 區(qū)域和連通性 21
習 題 23
1.5 復變函數(shù) 23
1.5.1 復變函數(shù)的定義 23
1.5.2 映射的概念 25
習 題 29
1.6 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性 30
1.6.1 復變函數(shù)的極限 30
1.6.2 復變函數(shù)的連續(xù)性 34
習 題 35
1.7
* 四元數(shù)及其應用 36
1.7.1 超復數(shù) 36
1.7.2 四元數(shù)的定義 37
1.7.3 三維旋轉 39
1.7.4 旋轉四元數(shù) 40
本章小結 41
作 業(yè) 45
第2章 解析函數(shù) 48
2.1 解析函數(shù)的概念 48
2.1.1 復變函數(shù)的導數(shù)與微分 48
2.1.2 解析函數(shù)及其簡單性質 51
習 題 52
2.2 柯西 黎曼方程 52
習 題 56
2.3 初等復變解析函數(shù) 57
2.3.1 復變指數(shù)函數(shù) 57
2.3.2 復變對數(shù)函數(shù) 58
2.3.3 復變冪函數(shù) 61
2.3.4 復變三角函數(shù)和復變雙曲函數(shù) 63
2.3.5 復變反三角函數(shù)和復變反雙曲函數(shù) 65
習 題 66
本章小結 68
作 業(yè) 70
第3章 復變函數(shù)的積分 72
3.1 復變函數(shù)積分的概念 72
3.1.1 復積分的定義 72
3.1.2 路徑積分的計算 74
3.1.3 路徑積分的性質 78
習 題 79
3.2 柯西 古薩基本定理 81
3.3 多連通域的柯西 古薩定理 82
習 題 86
3.4 原函數(shù)與不定積分 87
習 題 90
3.5 柯西積分公式 … 90
3.6 解析函數(shù)的高階導數(shù)公式 93
3.6.1 路徑積分的導數(shù) … 93
3.6.2 莫雷拉定理 95
習 題 96
3.7 解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系 97
習 題 100
本章小結 100
作 業(yè) 103
第4章 級 數(shù) 106
4.1 復數(shù)項級數(shù) 106
4.1.1 復數(shù)列的收斂性 106
4.1.2 復數(shù)項級數(shù)的概念 108
習 題 111
4.2 冪級數(shù) 111
4.2.1 冪級數(shù)的概念 111
4.2.2 收斂圓和收斂半徑 113
4.2.3 收斂半徑的求法 114
4.2.4 冪級數(shù)的運算和性質 115
習 題 117
4.3 泰勒級數(shù) 117
習 題 121
4.4 洛朗級數(shù) 121
習 題 126
本章小結 126
作 業(yè) 129
第5章 留 數(shù) 132
5.1 孤立奇點 132
5.1.1 可去奇點 132
5.1.2 本性奇點 133
5.1.3 極 點 133
5.1.4 復無窮處的奇點 134
5.1.5 函數(shù)的零點與極點的關系 134
習 題 137
5.2 留數(shù)和留數(shù)定理 137
5.2.1 留數(shù)的定義及留數(shù)定理 137
5.2.2 留數(shù)的計算規(guī)則 139
5.2.3 無窮遠點的留數(shù) 140
習 題 143
5.3 留數(shù)在定積分計算中的應用 144
5.3.1 三角函數(shù)在[0,2]上的積分 144
5.3.2 形如-f(x)dx 的積分 145
5.3.3 形如-f(x)cosxdx 或-f(x)sinxdx 的積分 147
習 題 149
本章小結 149
作 業(yè) 152
第6章 共形映射 155
6.1 共形映射的概念 155
6.1.1 解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義 155
6.1.2 共形映射的定義 156
6.1.3 臨界點附近的映射行為 158
習 題 159
6.2 分式線性映射 160
6.2.1 分式線性映射的定義 160
6.2.2 保圓性 162
6.2.3 保對稱性 163
習 題 166
6.3 施瓦茨 克里斯托費爾映射 167
6.3.1 將實軸映射為多邊形 168
6.3.2 施瓦茨 克里斯托費爾映射的概念 169
6.3.3 將上半平面映射為三角形或矩形 172
本章小結 175
第7章 彈性理論 179
7.1 彈性理論中的概念 179
7.2 應力狀態(tài) 180
7.2.1 三軸應力狀態(tài) 181
7.2.2 平面狀態(tài) 182
7.2.3 雙軸應力狀態(tài) 182
7.3 工程應力狀態(tài) 183
7.4 平衡方程 186
7.4.1 在笛卡爾坐標系下 186
7.4.2 在極坐標系下 187
7.5 雙調和方程 188
7.6 艾里應力函數(shù) 190
7.7 復勢函數(shù) 196
本章小結 203
第8章 線彈性斷裂力學 207
8.1 加載模式 207
8.2 韋斯特加德應力函數(shù) 208
8.2.1 邊界條件 210
8.2.2 近場應力分析 211
8.3 二維裂紋問題 212
8.3.1 Ⅰ型裂紋 212
8.3.2 Ⅱ型裂紋 216
8.3.3 Ⅲ型裂紋 218
8.4 裂紋問題的特征函數(shù)法 218
本章小結 222
附錄 A 復變函數(shù)的Python計算 225
A.1 用 Python化簡復數(shù) 225
A.1.1 在 Python中創(chuàng)建復數(shù) 225
A.1.2 Python中的復數(shù)類型 226
A.1.3 復數(shù)算術 227
A.1.4 Python中關于復數(shù)的數(shù)學模塊 230
A.1.5 Python中的復數(shù)剖析 236
A.1.6 用 Matplotlib在 Python中繪制復數(shù) 238
A.2 用SymPy做符號計算 240
A.2.1 符號的定義 241
A.2.2 函數(shù)類 241
A.2.3 極 限 242
A.2.4 積 分 242
A.2.5 微 分 243
A.2.6 四元數(shù) 244
A.2.7 繪 圖 245
參考文獻 248