目錄
第1章 鴿巢原理及其應用 1
1.1 鴿巢原理的簡單形式 1
1.2 鴿巢原理在組合與數(shù)論上的應用 3
1.3 鴿巢原理的加強形式 5
1.4 問題探究 8
第2章 排列、組合與二項式系數(shù) 10
2.1 基本計數(shù)法則 10
2.2 集合的排列與組合 11
2.3 多重集的排列與組合 14
2.4 二項式系數(shù)與二項式定理 18
2.5 組合恒等式的組合意義 23
2.6 李善蘭恒等式及其他 27
2.7 Newton 二項式定理 31
2.8 多項式的正規(guī)族表示 34
2.9 Cauchy 恒等式 40
2.10 Newton 差分公式 43
2.11 二項式定理的 Jensen 拓廣 45
2.12 問題探究 51
第3章 容斥原理及其應用 54
3.1 容斥原理 54
3.2 排列中的不動點問題 60
3.3 秩為 k 的集合的排列問題 62
3.4 禁止元素半相鄰的排列問題 64
3.5 有禁區(qū)的排列問題 68
3.6 問題探究 74
第4章 生成函數(shù)與遞歸關(guān)系 76
4.1 生成函數(shù)的定義與性質(zhì) 76
4.2 多重集的 r-組合數(shù) 82
4.3 Snake Oil 方法 84
4.4 指數(shù)型生成函數(shù)與多重排列問題 88
4.5 二項式反演公式 91
4.6 常系數(shù)線性齊次遞歸關(guān)系的求解 94
4.7 常系數(shù)線性非齊次遞歸關(guān)系的求解 99
4.8 Catalan 數(shù) 104
4.9 Riordan 陣組合求和與 Cartier-Foata 常數(shù)項法 106
4.10 n 元集的 k 元子集中元素關(guān)系限制的計數(shù)問題 111
4.11 問題探究 117
第5章 二階線性齊次遞歸序列 122
5.1 Fibonacci 序列 122
5.2 一般二階線性齊次遞歸序列 126
5.3 二階線性遞歸序列卷積型和及其相關(guān)性質(zhì) 132
5.4 一類非齊次廣義 Fibonacci 序列 Fn = Fn.1 + Fn.2 + r 的性質(zhì) 137
5.5 一類廣義 Fibonacci 序列與 Aitken 變換 141
5.6 廣義 Fibonacci 序列的多重卷積和 143
5.7 一類遞歸序列的兩項偶次冪和的乘積展開 149
5.8 問題探究 154
第6章 組合序列及其性質(zhì) 157
6.1 兩類 Stirling 數(shù) 157
6.2 Bernoulli-Euler 多項式與 Bernoulli-Euler 數(shù) 166
6.3 Bernoulli 數(shù)多重積的封閉表示 173
6.4 復合函數(shù)的 Gould 求導公式 175
6.5 恒等式與部分分式分解 177
6.6 包含 Bernoulli 數(shù)與 Fibonacci 數(shù)的恒等式 184
6.7 幾類廣義的 Bernoulli-Euler 數(shù)與多項式的進一步推廣 188
6.8 Bernoulli 矩陣及其代數(shù)性質(zhì) 191
6.9 廣義 Aigner-Catalan-like 數(shù)及其應用 202
6.10 問題探究 212
第7章 組合反演公式及其應用 217
7.1 組合序列反演公式與矩陣逆 217
7.2 Gould-Hsu 反演公式 222
7.3 Pfaff-Saalschutz 求和公式與 Gould-Hsu 反演 228
7.4 Krattenthaler 一般反演公式 233
7.5 分拆多項式與 Faa di Bruno 公式 237
7.6 涉及不完全 Bell 分拆多項式的一類恒等式 246
7.7 Lagrange 反演公式 252
7.8 Lagrange 反演公式的應用 262
7.9 Stirling 數(shù)偶 266
7.10 問題探究 269
第8章 Calkin 恒等式及其交錯形式 275
8.1 Ω 算子方法 275
8.2 Calkin 恒等式及其交錯形式 278
8.3 Calkin 恒等式及其交錯形式的組合證明 280
8.4 若干 Calkin 類型的恒等式 298
8.5 Calkin 恒等式及其交錯形式的進一步拓廣 314
8.6 問題探究 322
參考文獻 323