本教材根據(jù)筆者在華中科技大學(xué)講授的信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程所編講義整理而成，共分為8章，適合信息安全、網(wǎng)絡(luò)空間安全、密碼科學(xué)與技術(shù)及相關(guān)專業(yè)本科生學(xué)習(xí)使用，可為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)密碼學(xué)理論提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備。第1章講述整數(shù)整除中的帶余除法、因子、*大公因數(shù)、*小公倍數(shù)和算術(shù)基本定理等基本概念，大多數(shù)學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容是比較熟悉的，筆者希望通過(guò)展示從帶余除法到*終的算術(shù)基本定理的推演過(guò)程，系統(tǒng)化地向?qū)W生展示整數(shù)研究的一般方法。在第3章所示的多項(xiàng)式的唯一因式分解定理的證明過(guò)程中，這種系統(tǒng)化的方法再次得到體現(xiàn)。第2章講述同余，也就是模運(yùn)算，包括整數(shù)同余的基本性質(zhì)和同余式(組)的求解。學(xué)習(xí)重點(diǎn)是歐拉定理、費(fèi)馬小定理、中國(guó)剩余定理和一般同余式(組)的基本求解方法。同余和同余式(組)是公鑰密碼學(xué)重要的研究對(duì)象，例如，RSA加密算法就是模冪運(yùn)算的體現(xiàn)。第3章講述有限域的結(jié)構(gòu)定理，整數(shù)關(guān)于素?cái)?shù)p的模加和模乘形成*小的有限域Zp，Zp上的多項(xiàng)式關(guān)于n次不可約多項(xiàng)式的模加和模乘形成Zp的元素個(gè)數(shù)為pn的擴(kuò)域。有限域的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是有限域的加法結(jié)構(gòu)(向量結(jié)構(gòu))和乘法結(jié)構(gòu)、子域及域的擴(kuò)張的相關(guān)性質(zhì)。第4章講述二次剩余與方根，這部分內(nèi)容直接對(duì)應(yīng)密碼學(xué)中的Rabin密碼、GM密碼和離散對(duì)數(shù)等問(wèn)題。將第4章的內(nèi)容放在有限域等代數(shù)知識(shí)之后學(xué)習(xí)是筆者經(jīng)過(guò)多次教學(xué)實(shí)踐之后的慎重決定，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中能關(guān)聯(lián)第3章所學(xué)的有限域的知識(shí)，進(jìn)一步熟悉用代數(shù)的思想分析和解決問(wèn)題，以免造成知識(shí)脫節(jié)。第5章講述代數(shù)系統(tǒng)中環(huán)的基礎(chǔ)理論，一方面，將前面所學(xué)的多項(xiàng)式和有限域的知識(shí)作進(jìn)一步的提升和串聯(lián)，使學(xué)生掌握理想和剩余類環(huán)的基本概念，另一方面，重點(diǎn)介紹整環(huán)的唯一分解條件，說(shuō)明在整環(huán)中，唯一分解定理并不總是成立的。第6章講述代數(shù)數(shù)論研究的重要內(nèi)容數(shù)域。包括數(shù)域的概念和數(shù)域的擴(kuò)張、代數(shù)整數(shù)和代數(shù)整數(shù)環(huán)，以及研究數(shù)域的重要工具范數(shù)與跡。學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是代數(shù)整數(shù)環(huán)，整個(gè)代數(shù)學(xué)的知識(shí)架構(gòu)再次得到補(bǔ)充和延伸。第7章講述格的相關(guān)理論，一方面介紹了格的定義與*短向量問(wèn)題，另一方面介紹了格密碼和誤差還原問(wèn)題，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要重點(diǎn)了解格理論在密碼學(xué)中的應(yīng)用。第8章講述了布爾函數(shù)、兩種Walsh變換、布爾函數(shù)的非線性度和Bent函數(shù)，介紹了布爾函數(shù)的安全性指標(biāo)。教材每一章后面均有適量的練習(xí)題，練習(xí)題是對(duì)相應(yīng)章節(jié)內(nèi)容的鞏固和擴(kuò)展，是完整學(xué)習(xí)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不可缺少的部分。為便于學(xué)生更好地理解抽象理論知識(shí)，提高解決實(shí)際數(shù)學(xué)、密碼學(xué)問(wèn)題的能力，教材在每一章后面還附有一定的補(bǔ)充知識(shí)或者思考題(擴(kuò)展閱讀與實(shí)踐)，要求學(xué)生用SageMath編程解決問(wèn)題，根據(jù)教學(xué)目的的不同，實(shí)際教學(xué)中也可以選擇Mathematica、Miracl、Python等其他編程環(huán)境。附錄A對(duì)部分思考題的實(shí)現(xiàn)給出了參考代碼，附錄B對(duì)一些常見(jiàn)的SageMath函數(shù)分類進(jìn)行了舉例說(shuō)明，便于讀者查詢。梁哲銘、姜雨奇、何智禹等同學(xué)積極參與了本教材的寫(xiě)作、試用，付出了辛勤的勞動(dòng)。由于編者水平有限，教材內(nèi)容難免存在疏漏，懇請(qǐng)廣大師生批評(píng)指正。編者2023年5月于武漢