本書就是按照這個(gè)四個(gè)板塊, 每個(gè)板塊對(duì)應(yīng)一種圖書�！禝MO中的問題、定理與方法 數(shù)論卷》是叢書中的一種, 分類整理了其中數(shù)論問題和解答, 分析數(shù)論問題的命題規(guī)律, 統(tǒng)計(jì)了中國隊(duì)在歷屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克上的表現(xiàn), 為從事數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)的師生提供有價(jià)值的資料。
一般認(rèn)為，現(xiàn)今正式的數(shù)學(xué)競賽始于1894年匈牙利舉行的數(shù)學(xué)競賽，這項(xiàng)活動(dòng)逐漸得到世界各國的重視。人們非常貼切地把數(shù)學(xué)競賽比喻為“思維的體操”，蘇聯(lián)（1934年）更是干脆稱其為“數(shù)學(xué)奧林匹克”，比起以往的稱呼——“數(shù)學(xué)競賽”，它更能體現(xiàn)出一種追求卓越才智的奧林匹克競技精神。
到了1959年，數(shù)學(xué)競賽的國際化成熟了，“國際數(shù)學(xué)奧林匹克”（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）應(yīng)運(yùn)而生。第1屆IMO于1959年在羅馬尼亞布拉索夫舉辦，截至2022年，IMO已經(jīng)成功舉辦了63屆，其中1980年因故未舉辦。除了2020年因受到新冠疫情影響，由俄羅斯舉辦的第61屆IMO延后至9月之外，IMO通常在每年的7月份舉辦。IMO活動(dòng)的模式逐漸被固定：正式比賽分兩天，每天4個(gè)半小時(shí)做3道題目，每題滿分7分，總分42分；正式參加比賽的代表隊(duì)由6名選手組成，另派1名領(lǐng)隊(duì)（Leader）和1名副領(lǐng)隊(duì)（Deputy Leader）。約有一半?yún)①愡x手可獲獎(jiǎng)牌，其中有1/12左右的學(xué)生獲得金牌，2/12左右的選手獲得銀牌，3/12左右的選手獲得銅牌。
IMO是目前世界上最有影響力的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽之一。近年來參與這一賽事的國家和地區(qū)已經(jīng)超過100個(gè)，世界上的主要大國全部參與該項(xiàng)賽事。
IMO的試題由各參賽隊(duì)提供，然后由東道主組織專家組成選題委員會(huì)對(duì)這些試題進(jìn)行研究和挑選，從中選出30道左右的試題作為預(yù)選題（Shortlist Problems），代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合這四塊內(nèi)容各七八道試題，然后提交給由各領(lǐng)隊(duì)組成的領(lǐng)隊(duì)會(huì)議（July Meeting）討論投票表決，最終產(chǎn)生6道試題作為正式考題。東道主不提供試題。
這一活動(dòng)，對(duì)推動(dòng)世界各國之間數(shù)學(xué)教育的交流、促進(jìn)數(shù)學(xué)教育水平的提高、增加各國青年學(xué)生的相互學(xué)習(xí)和了解、激發(fā)廣大中學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及對(duì)發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)生都起到了重要的作用。而60多年的發(fā)展歷程，是一批數(shù)學(xué)家、活動(dòng)組織者、廣大選手共同努力的結(jié)果，值得總結(jié)與研究。尤其是作為活動(dòng)最重要的依托——競賽試題的發(fā)展、涉及的數(shù)學(xué)思想與方法更值得研究。其實(shí)，我們?nèi)A東師范大學(xué)國際數(shù)學(xué)奧林匹克研究中心的幾位同事，早在第60屆之前就有研究與出版著作的想法。為此，我們十多人開展了一些研討活動(dòng)。由于新冠疫情的影響，此項(xiàng)工作有所推遲。根據(jù)IMO試題涉及的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四大類，我們也按照四卷來編寫，總的書名為《IMO中的問題、定理與方法》，列入《IMO研究叢書》。
每卷先介紹相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和方法，然后對(duì)歷屆IMO試題重新進(jìn)行分類和整理，對(duì)部分試題提供了多種好的解法，并對(duì)試題進(jìn)行難度統(tǒng)計(jì)分析，且對(duì)中國隊(duì)的得分情況作了闡述等。需要說明的是有的試題不太好分類，它可能涉及代數(shù)和數(shù)論，也可能涉及代數(shù)和組合等，我們主要是按照它在預(yù)選題中放在哪一類，就把它歸于這一類。
這四本《IMO中的問題、定理與方法》，由本人提出整體寫作方案，諸位作者共同討論，對(duì)方案進(jìn)行細(xì)化，分別由陳錦華（代數(shù)）、林天齊（幾何）、張耿宇（數(shù)論）、徐光宇（組合）完成了大部分初稿，前三冊(cè)由本人補(bǔ)充、統(tǒng)稿、定稿，組合分冊(cè)由瞿振華補(bǔ)充、統(tǒng)稿、定稿。
感謝歷屆中國隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)，書中從第26屆起的中文試題是用他們?cè)贗MO上翻譯的簡體中文版。感謝中國國家隊(duì)隊(duì)員，書中有一些好的解法選自隊(duì)員在IMO上的解答。本書在編寫過程中，參閱了國內(nèi)外的一些資料，這里就不一一列舉致謝了。
本書起初成稿，所收集的試題截至第62屆IMO，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)也按照第1屆至第62屆來計(jì)算。在全書定稿之際，第63屆IMO結(jié)束了，中國隊(duì)6名隊(duì)員全部獲得了滿分，取得了中國隊(duì)歷史上最好的成績，于是我們把最新的這屆試題與解答也放入了書中，并對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了修改，供大家參考。
雖然作者對(duì)IMO的試題努力進(jìn)行認(rèn)真研究，提供了一些好的思路和解法，但囿于我們的水平，不當(dāng)乃至錯(cuò)誤之處恐難避免，敬請(qǐng)讀者不吝指正。
熊斌，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任，華東師范大學(xué)國際數(shù)學(xué)奧林匹克研究中心主任。曾10次擔(dān)任IMO中國隊(duì)領(lǐng)隊(duì)、主教練。在國內(nèi)外發(fā)表了100余篇論文，主編和編著的著作 150多本。2018 年，因過去20年在中國數(shù)學(xué)競賽方面的卓越成就被授予國際數(shù)學(xué)保羅·厄爾多斯獎(jiǎng)( Paul Erdos Award）。2021年，在第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）上，受邀做了45分鐘題為“中國的資優(yōu)生教育——中國數(shù)學(xué)競賽的概況”的報(bào)告。
瞿振華，現(xiàn)任教于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，研究方向?yàn)榇鷶?shù)幾何與數(shù)論。中學(xué)時(shí)期曾獲得1999年國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌。自2010年起，多次參與中國數(shù)學(xué)奧林匹克、中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克、國家集訓(xùn)隊(duì)等的命題工作，并提供了大量的試題。曾任第59屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克中國隊(duì)領(lǐng)隊(duì)，并多次作為觀察員參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克。熱心中學(xué)數(shù)學(xué)普及工作，撰寫多篇中學(xué)數(shù)學(xué)普及文章，任《中等數(shù)學(xué)》雜志編委。
張耿宇，本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，研究生畢業(yè)于美國哥倫比亞大學(xué)。高中就讀于上海市上海中學(xué)，其間獲得兩次全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎(jiǎng)，兩次中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）金牌并入選國家集訓(xùn)隊(duì)。畢業(yè)后始終保持對(duì)數(shù)學(xué)競賽的興趣和熱情，對(duì)數(shù)學(xué)問題的提出與解答進(jìn)行研究，廣泛參與中小學(xué)數(shù)學(xué)教育活動(dòng)。
前言
〇 IMO及數(shù)論試題概述
一 整數(shù)的整除
1.1 相關(guān)性質(zhì)、定理與方法
1. 整除的相關(guān)定義和性質(zhì)
2. 整除的相關(guān)定理和方法
1.2 IMO中的問題與解答
1. 整除性討論
2. 素?cái)?shù)、素因子與互素
3. 函數(shù)相關(guān)問題
4. 其他問題
1.3 本章小結(jié)
二 同余
2.1 相關(guān)性質(zhì)、定理與方法
1. 同余的相關(guān)定義和性質(zhì)
2. 同余的相關(guān)定理和方法
2.2 IMO中的問題與解答
1. 存在性問題
2. 求滿足條件的數(shù)或數(shù)組
3. 探求項(xiàng)與項(xiàng)之間關(guān)系
4. 最值問題
2.3 本章小結(jié)
三 不定方程
3.1 相關(guān)性質(zhì)、定理與方法
1. 常見的不定方程類型
2. 解不定方程的常用方法
3.2 IMO中的問題與解答
1. 求解不定方程
2. 證明不定方程滿足某種性質(zhì)
3.3 本章小結(jié)
附錄一 歷屆IMO參賽及獲獎(jiǎng)信息
附錄二 歷屆IMO數(shù)論試題索引
附錄三 人名索引
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