公鑰密碼學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第二版）
本書(shū)是根據(jù)作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在原有講義的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)修改、補(bǔ)充而成的。書(shū)中介紹了公鑰密碼學(xué)涵蓋的數(shù)論代數(shù)基本知識(shí)與理論體系：第1章至第6章分別介紹了初等數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)，主要包括同余、剩余類(lèi)、原根和連分?jǐn)?shù)的基本理論以及在公鑰密碼學(xué)中的應(yīng)用等；第7章至第9章描述了群、環(huán)、域三個(gè)基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)；第10章介紹了與密碼學(xué)相關(guān)的計(jì)算復(fù)雜性理論及基本數(shù)學(xué)算法；第11章簡(jiǎn)單介紹了格理論及格密碼分析的基本方法。
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目錄
第二版前言
第一版序
第一版前言
第1章 整除 1
1.1 整除的概念 1
1.2 最大公因子與最小公倍數(shù) 5
1.3 Euclid算法 10
1.4 求解一次不定方程——Euclid算法應(yīng)用之一 13
1.5 整數(shù)的素分解 14
1.6 使用SageMath進(jìn)行整除相關(guān)的計(jì)算 20
習(xí)題1 21
第2章 同余 23
2.1 同余的基本概念和基本性質(zhì) 23
2.2 剩余類(lèi)與剩余系 26
2.3 Euler定理 31
2.4 Wilson定理 34
2.5 使用SageMath進(jìn)行同余相關(guān)的計(jì)算 37
習(xí)題2 38
第3章 同余方程 40
3.1 一元高次同余方程的概念 40
3.2 一次同余方程 43
3.3 一次同余方程組與孫子定理 44
3.4 一般同余方程 47
3.5 二次剩余 49
3.6 Legendre符號(hào)與acobi符號(hào) 52
3.7 使用SageMath求解同余方程 59
習(xí)題3 59
第4章 指數(shù)與原根 61
4.1 指數(shù)及其性質(zhì) 61
4.2 原根及其性質(zhì) 64
4.3 指標(biāo)、既約剩余系的構(gòu)造 67
4.4 n次剩余 72
4.5 使用SageMath進(jìn)行指數(shù)與原根相關(guān)的計(jì)算 75
習(xí)題4 76
第5章 素?cái)?shù)分布的初等結(jié)果 78
5.1 素?cái)?shù)的基本性質(zhì)與分布的主要結(jié)果介紹 78
5.2 Euler恒等式的證明 81
5.3 弱形式素?cái)?shù)定理的證明 83
5.4 素?cái)?shù)定理的等價(jià)命題 90
5.5 使用SageMath進(jìn)行素?cái)?shù)分布相關(guān)的計(jì)算 93
習(xí)題5 94
第6章 簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù) 95
6.1 簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)及其基本性質(zhì) 95
6.2 實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示 98
6.3 連分?jǐn)?shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用——對(duì)RSA算法的低解密指數(shù)攻擊 103
6.4 使用SageMath進(jìn)行簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)相關(guān)的計(jì)算 104
習(xí)題6 105
第7章 近世代數(shù)基本概念 106
7.1 映射 106
7.2 代數(shù)運(yùn)算 109
7.3 帶有運(yùn)算集合之間的同態(tài)映射與同構(gòu)映射 111
7.4 等價(jià)關(guān)系與分類(lèi) 112
習(xí)題7 113
第8章 群論 114
8.1 群的定義 114
8.2 循環(huán)群 116
8.3 子群、子群的陪集 117
8.4 同態(tài)基本定理 121
8.5 有限群的實(shí)例 124
8.6 使用SageMath進(jìn)行群論相關(guān)的計(jì)算 127
習(xí)題8 128
第9章 環(huán)與域 129
9.1 環(huán)的定義 129
9.2 整環(huán)、域、除環(huán) 131
9.3 子環(huán)、理想、環(huán)的同態(tài) 135
9.4 孫子定理的一般形式 140
9.5 歐氏環(huán) 142
9.6 有限域 144
9.7 商域 145
9.8 使用SageMath進(jìn)行環(huán)與域相關(guān)的計(jì)算 148
習(xí)題9 151
第10章 公鑰密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題 152
10.1 時(shí)間估計(jì)與算法復(fù)雜性 152
10.2 素檢測(cè) 158
10.3 分解因子問(wèn)題 160
10.4 RSA問(wèn)題與強(qiáng)RSA問(wèn)題 161
10.5 二次剩余 162
10.6 離散對(duì)數(shù)問(wèn)題 164
10.7 使用SageMath求解公鑰密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題 166
習(xí)題10 167
第11章 格的基本知識(shí) 168
11.1 基本概念 168
11.2 格相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 169
11.3 格基約化算法 171
11.4 LLL算法應(yīng)用 173
11.5 使用SageMath進(jìn)行格相關(guān)的計(jì)算 179
習(xí)題11 179
參考文獻(xiàn) 181
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