本書是國家精品在線開放課程“微積分”的主講教材，力求達到教材的多元化、多樣性的目的，適應不同程度學生的學習. 本書主要針對拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)而編寫，分上、下兩冊. 上冊內(nèi)容包括極限與連續(xù)、導數(shù)與微分、微分中值定理及導數(shù)應用、不定積分、定積分及其應用、微分方程；下冊內(nèi)容包括多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學、第二型曲線積分與第二型曲面積分、無窮級數(shù)、含參變量積分、傅里葉分析. 本書可作為高等學校理工科專業(yè)微積分課程的教材，也適合參加考研的學生參考.
尹遜波，哈爾濱工業(yè)大學數(shù)學學院教授，主講的中國大學MOOC“微積分”為國家精品在線開放課程，2020年被評為黑龍江省教學名師。
第1章 極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 數(shù)集 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 初等函數(shù) 3
1.1.4 極坐標 8
習題1.1 10
1.2 數(shù)列的極限 11
習題1.2 15
1.3 數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準則 15
1.3.1 收斂數(shù)列的性質(zhì) 15
1.3.2 收斂數(shù)列的四則運算法則 17
1.3.3 收斂數(shù)列的判別法 19
習題1.3 26
*1.4 實數(shù)的基本定理 26
1.5 函數(shù)的極限 29
1.5.1 時函數(shù)的極限 29
1.5.2 時函數(shù)的極限 31
習題1.5 33
1.6 函數(shù)極限的性質(zhì)與兩個重要極限 33
1.6.1 函數(shù)極限的性質(zhì) 33
1.6.2 兩個重要極限 36
習題1.6 39
1.7 無窮小和無窮大 41
1.7.1 無窮小 41
1.7.2 無窮小的比較 42
1.7.3 無窮大 45
習題1.7 47
1.8 函數(shù)的連續(xù)性 47
1.8.1 連續(xù)與間斷 47
1.8.2 函數(shù)連續(xù)性的判定定理 50
1.8.3 連續(xù)在極限運算中的應用 51
1.8.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 52
1.8.5 一致連續(xù)性 55
習題1.8 57
綜合題 59
第2章 導數(shù)與微分 61
2.1 導數(shù)的概念 61
2.1.1 導數(shù)的引例 61
2.1.2 導數(shù)的定義 63
習題2.1 67
2.2 導數(shù)的基本公式與四則運算求導法則 68
2.2.1 導數(shù)的基本公式 68
2.2.2 四則運算求導法則 70
習題2.2 73
2.3 其他求導法則 73
2.3.1 反函數(shù)與復合函數(shù)求導法則 73
2.3.2 隱函數(shù)與參數(shù)函數(shù)求導法則 75
*2.3.3 極坐標下導數(shù)的幾何意義 78
2.3.4 相對變化率問題 79
習題2.3 80
2.4 高階導數(shù) 82
2.4.1 高階導數(shù)的定義 82
2.4.2 高階導數(shù)的公式 84
習題2.4 89
2.5 微分 89
2.5.1 微分的定義 89
2.5.2 微分的運算 91
*2.5.3 微分在近似計算中的應用 93
*2.5.4 微分在誤差估計中的應用 94
2.5.5 高階微分 95
習題2.5 96
綜合題 97
第3章 微分中值定理及導數(shù)應用 99
3.1 微分中值定理 99
3.1.1 羅爾中值定理 99
3.1.2 拉格朗日中值定理 101
3.1.3 柯西中值定理 104
習題3.1 106
3.2 洛必達法則 108
3.2.1 和型未定式 108
3.2.2 其他類型未定式 110
習題3.2 112
3.3 泰勒中值定理 113
習題3.3 119
3.4 極值、最值、凹凸性及函數(shù)作圖 120
3.4.1 極值與最值 120
3.4.2 凸函數(shù)、曲線的凸向及拐點 124
3.4.3 曲線的漸近線 126
3.4.4 函數(shù)的分析作圖法 127
習題3.4 128
3.5 平面曲線的曲率 130
3.5.1 弧微分 130
3.5.2 曲線的曲率 131
習題3.5 135
綜合題 135
第4章 不定積分 137
4.1 原函數(shù)與不定積分 137
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 137
4.1.2 不定積分的性質(zhì)與基本公式 139
習題4.1 141
4.2 換元積分法 142
習題4.2 147
4.3 分部積分法 148
習題4.3 153
4.4 幾類函數(shù)的積分 153
4.4.1 有理函數(shù)的積分 153
4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分 156
4.4.3 簡單無理函數(shù)的積分 157
習題4.4 159
綜合題 160
第5章 定積分及其應用 162
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 162
5.1.1 定積分的概念 162
5.1.2 達布上和與達布下和 165
5.1.3 可積函數(shù) 169
5.1.4 定積分的性質(zhì) 172
習題5.1 175
5.2 微積分學基本定理 176
習題5.2 180
5.3 定積分的計算 182
5.3.1 定積分的換元積分法 182
5.3.2 定積分的分部積分法 185
習題5.3 189
5.4 廣義積分 191
5.4.1 無窮區(qū)間上的廣義積分 191
5.4.2 無窮區(qū)間上廣義積分斂散性判別法 193
5.4.3 無界函數(shù)的廣義積分 195
5.4.4 函數(shù) 200
習題5.4 201
5.5 定積分的應用 202
5.5.1 微元法 202
5.5.2 平面圖形的面積 202
5.5.3 立體體積 206
5.5.4 平均值與平面曲線的弧長 210
5.5.5 定積分在物理問題中的應用 213
習題5.5 216
綜合題 217
第6章 微分方程 220
6.1 微分方程的基本概念 220
習題6.1 223
6.2 一階微分方程 223
6.2.1 可分離變量的方程 223
6.2.2 一階線性微分方程 224
6.2.3 變量代換 226
6.2.4 應用實例 230
習題6.2 234
6.3 可降階的高階微分方程 235
6.3.1 型方程 236
6.3.2 型方程 236
6.3.3 型方程 237
6.3.4 應用實例 238
習題6.3 241
6.4 線性微分方程及其解的結構 242
6.4.1 二階線性微分方程舉例 242
6.4.2 線性微分方程解的結構 244
6.4.3 常數(shù)變易法 246
習題6.4 249
6.5 常系數(shù)線性微分方程 249
6.5.1 常系數(shù)齊次線性微分方程 249
6.5.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程 251
6.5.3 歐拉方程 255
習題6.5 258
6.6 線性微分方程組 259
6.6.1 線性微分方程組的定義 259
6.6.2 線性微分方程組通解結構 260
6.6.3 常系數(shù)齊次線性微分方程組 263
6.6.4 常系數(shù)非齊次線性微分方程組 265
習題6.6 267
綜合題 268
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