目錄
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 集合 映射 函數(shù) 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 2
1.1.3 函數(shù) 3
習(xí)題1.1 9
1.2 隱函數(shù) 參數(shù)方程 極坐標(biāo) 10
1.2.1 隱函數(shù) 10
1.2.2 參數(shù)方程 11
1.2.3 極坐標(biāo) 13
習(xí)題1.2 15
1.3 數(shù)列的極限 16
1.3.1 數(shù)列的概念 16
1.3.2 數(shù)列極限的描述定義 17
1.3.3 收斂數(shù)列的性質(zhì) 18
*1.3.4 數(shù)列極限的精確定義 19
習(xí)題1.3 20
1.4 函數(shù)的極限 21
1.4.1 函數(shù)極限的描述定義 21
1.4.2 函數(shù)極限的性質(zhì) 23
*1.4.3 函數(shù)極限的精確定義 24
習(xí)題1.4 26
1.5 無窮小與無窮大 27
1.5.1 無窮小 27
1.5.2 無窮大 28
*1.5.3 無窮小無窮大的精確定義 29
習(xí)題1.5 31
1.6 極限運(yùn)算法則 31
1.6.1 極限的四則運(yùn)算法則 31
1.6.2 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 33
*1.6.3 定理的證明 35
習(xí)題1.6 37
1.7 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 37
1.7.1 夾逼準(zhǔn)則及應(yīng)用 37
1.7.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則及應(yīng)用 40
*1.7.3 相關(guān)結(jié)論的證明 43
習(xí)題1.7 45
1.8 無窮小的比較 45
1.8.1 無窮小的比較的定義 45
1.8.2 等價(jià)無窮小 46
習(xí)題1.8 49
1.9 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 49
1.9.1 函數(shù)的連續(xù)性 49
1.9.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 51
習(xí)題1.9 53
1.10 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性 54
1.10.1 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 54
1.10.2 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 54
1.10.3 初等函數(shù)及其連續(xù)性 55
習(xí)題1.10 57
1.11 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 57
1.11.1 值小值定理 57
1.11.2 零點(diǎn)定理與介值定理 58
習(xí)題1.11 59
數(shù)學(xué)家簡介1 59
總習(xí)題1 60
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 62
2.1 導(dǎo)數(shù) 62
2.1.1 引例 62
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 63
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 66
2.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 67
習(xí)題2.1 68
2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則 69
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 69
2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 71
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 73
習(xí)題2.2 75
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 76
2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)的定義 76
2.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則 78
習(xí)題2.3 79
2.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 80
2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 80
2.4.2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 83
2.4.3 相關(guān)變化率 85
習(xí)題2.4 86
2.5 函數(shù)的微分 88
2.5.1 微分概念 88
2.5.2 微分的幾何意義 89
2.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 90
2.5.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 92
習(xí)題2.5 93
數(shù)學(xué)家簡介2 93
總習(xí)題2 94
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 費(fèi)馬引理 97
3.1.2 羅爾中值定理 97
3.1.3 拉格朗日中值定理 98
3.1.4 柯西中值定理 100
習(xí)題3.1 101
3.2 洛必達(dá)法則 102
3.2.1 型不定式的極限 103
3.2.2 型不定式的極限 105
3.2.3 其他類型不定式的極限 105
習(xí)題3.2 107
3.3 泰勒公式 108
3.3.1 泰勒公式的幾種形式 108
3.3.2 泰勒公式的證明和應(yīng)用 112
習(xí)題3.3 114
3.4 函數(shù)的單調(diào)性 極值和值 114
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 114
3.4.2 函數(shù)的極值 116
3.4.3 函數(shù)的值 119
習(xí)題3.4 121
3.5 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 122
3.5.1 曲線的凹凸性 122
3.5.2 曲線的拐點(diǎn) 124
習(xí)題3.5 126
3.6 函數(shù)圖形的描繪 126
3.6.1 曲線的漸近線 126
3.6.2 函數(shù)圖形的描繪舉例 128
習(xí)題3.6 130
3.7 曲率 131
3.7.1 弧微分 131
3.7.2 曲率及其計(jì)算公式 132
3.7.3 曲率圓和曲率半徑 134
習(xí)題3.7 135
*3.8 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 135
3.8.1 邊際函數(shù) 135
3.8.2 彈性函數(shù) 137
*習(xí)題3.8 139
數(shù)學(xué)家簡介3 140
總習(xí)題3 140
第4章 不定積分 144
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 144
4.1.1 原函數(shù)與不定積分 144
4.1.2 基本積分表 147
4.1.3 不定積分的性質(zhì) 148
習(xí)題4.1 150
4.2 不定積分的換元積分法 152
4.2.1 不定積分的類換元積分法 152
4.2.2 不定積分的第二類換元積分法 158
習(xí)題4.2 163
4.3 不定積分的分部積分法 164
習(xí)題4.3 168
4.4 有理函數(shù)與可化為有理函數(shù)的積分舉例 169
4.4.1 有理真分式與部分分式 169
4.4.2 有理函數(shù)的積分舉例 170
4.4.3 可化為有理函數(shù)的積分舉例 172
習(xí)題4.4 175
數(shù)學(xué)家簡介4 176
總習(xí)題4 177
第5章 定積分 179
5.1 定積分的概念和基本性質(zhì) 179
5.1.1 定積分問題舉例 179
5.1.2 定積分的定義與幾何意義 182
5.1.3 定積分的基本性質(zhì) 184
習(xí)題5.1 188
5.2 微積分學(xué)基本公式 189
5.2.1 變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 189
5.2.2 變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)存在定理 190
5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習(xí)題5.2 194
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 196
5.3.1 定積分的換元積分法 196
5.3.2 定積分的分部積分法 200
習(xí)題5.3 202
5.4 廣義積分 203
5.4.1 無限區(qū)間上的廣義積分 203
5.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 206
*5.4.3 Γ函數(shù)簡介 208
習(xí)題5.4 210
數(shù)學(xué)家簡介5 211
總習(xí)題5 212
第6章 定積分的應(yīng)用 214
6.1 定積分的微分元素法 214
6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 215
6.2.1 平面圖形的面積 215
6.2.2 立體圖形的體積 218
6.2.3 平面曲線的弧長 221
*6.2.4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 223
習(xí)題6.2 224
6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 225
6.3.1 變力沿直線所做的功 225
6.3.2 液壓力(側(cè)壓力) 226
6.3.3 萬有引力 228
習(xí)題6.3 229
*6.4 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 229
6.4.1 經(jīng)濟(jì)總量與邊際函數(shù) 229
6.4.2 收益流的現(xiàn)值與將來值 231
*習(xí)題6.4 233
數(shù)學(xué)家簡介6 234
總習(xí)題6 234
習(xí)題答案與提示 236
附錄1 三角函數(shù)公式 255
附錄2 二階和三階行列式簡介 257
附錄3 幾種常用的曲線 261
附錄4 積分表 264