博洽內(nèi)容 獨(dú)特風(fēng)格
——《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》導(dǎo)讀

吳大任


（一）書(shū)和作者簡(jiǎn)介

德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱《初等數(shù)學(xué)》）已由舒湘芹等同志譯就，將由湖北教育出版社出版�！俺醯葦�(shù)學(xué)”指當(dāng)時(shí)德國(guó)中小學(xué)的數(shù)學(xué)，難度比我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)略高。本書(shū)曾由湖北教育出版社于20世紀(jì)90年代初出版。——編者中譯本出版，必將受到我國(guó)中青年教師和廣大數(shù)學(xué)工作者的歡迎，對(duì)我國(guó)各級(jí)學(xué)校的數(shù)學(xué)教育也將產(chǎn)生巨大作用。
F.克萊因（1849—1925）是有深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)家。他的貢獻(xiàn)遍及幾何、代數(shù)、函數(shù)論、理論物理以及數(shù)學(xué)史等，在這些領(lǐng)域，他都留下了經(jīng)典性著作。他是權(quán)威性的德國(guó)《數(shù)學(xué)百科全書(shū)》的主創(chuàng)者之一，曾任最高水平的德國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》的主編，致力于這兩項(xiàng)事業(yè)達(dá)四十春秋。他熱誠(chéng)地獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)教育及其改革，是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育國(guó)際委員會(huì)創(chuàng)始人之一，并始終積極參與其中的活動(dòng)。他著述《初等數(shù)學(xué)》這樣的書(shū)，真可謂出色當(dāng)行，游刃有余，得心應(yīng)手。這書(shū)內(nèi)容十分博洽，而論述生動(dòng)活潑，不拘一格，把嚴(yán)謹(jǐn)性和直觀性巧妙結(jié)合，深入淺出，使讀者有舉重若輕、左右逢源之感。
《初等數(shù)學(xué)》由F.克萊因的助手根據(jù)他在哥廷根大學(xué)講課內(nèi)容整理而成，分上下兩卷。上卷“算術(shù) 代數(shù) 分析”（第三版）于1924年出版；下卷“幾何”于1925年出版；英譯本于1939年出版。本書(shū)最終版共三卷，可參看本卷第三版序及第三卷譯者的話、第三版序�！�—編者60多年過(guò)去，數(shù)學(xué)面貌已有很大變化，我國(guó)目前的數(shù)學(xué)教育和德國(guó)當(dāng)年也有很大差異。我們閱讀這書(shū)時(shí)，對(duì)此必須注意。盡管如此，我們讀來(lái)，對(duì)其內(nèi)容和觀點(diǎn)，仍然感到十分親切。這是因?yàn)椋�其�?nèi)容主要是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，其觀點(diǎn)蘊(yùn)含著真理。當(dāng)時(shí)德國(guó)數(shù)學(xué)教育中的不少問(wèn)題，在今日我國(guó)仍然存在�？巳R因聲稱本書(shū)是為中學(xué)教師和成熟的大學(xué)生寫的，但按其內(nèi)容，所有對(duì)數(shù)學(xué)有一定了解的人都可以從中獲得教益和啟發(fā)。
數(shù)學(xué)科學(xué)的整體性和數(shù)學(xué)教育的連續(xù)性
要想用一兩句話來(lái)概括《初等數(shù)學(xué)》這本豐富多彩的書(shū)的特色，是困難的。也許可以說(shuō)：它所展示的數(shù)學(xué)科學(xué)，是一個(gè)不斷發(fā)展著的有機(jī)整體；克萊因所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)教育，是一個(gè)隨著數(shù)學(xué)發(fā)展而不斷更新的連續(xù)過(guò)程。正如書(shū)名《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》所示，書(shū)的著眼點(diǎn)是初等數(shù)學(xué)，觀點(diǎn)卻是高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)各個(gè)分支，特別是數(shù)學(xué)兩個(gè)基本對(duì)象——形與數(shù)結(jié)合起來(lái)了。講算術(shù)、代數(shù)、分析時(shí)，總是充分運(yùn)用豐富的幾何圖像。而講幾何時(shí)，用的是代數(shù)工具，又不乏幾何語(yǔ)言。它還以大量篇幅闡述數(shù)學(xué)的各種概念和方法的發(fā)展與完善過(guò)程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過(guò)。這些進(jìn)程還在繼續(xù)。
以下試對(duì)《初等數(shù)學(xué)》的若干具體特色作些介紹。

（二）《初等數(shù)學(xué)》若干特色

高觀點(diǎn)
在《初等數(shù)學(xué)》的前言中，克萊因指出大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的“雙脫節(jié)”現(xiàn)象：大學(xué)生感到，他正在學(xué)的東西和中學(xué)學(xué)過(guò)的無(wú)關(guān)，而當(dāng)他們到中學(xué)任教時(shí)，大學(xué)所學(xué)的用不上，因而那些內(nèi)容就只存在于美好的記憶中。本書(shū)的直接目的自然是要改變這種不合理現(xiàn)象，以便把數(shù)學(xué)的新進(jìn)展中所產(chǎn)生的新觀念滲入中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，按我們現(xiàn)在的說(shuō)法，就是使數(shù)學(xué)教育“現(xiàn)代化”。
克萊因所采用的書(shū)名表明，他認(rèn)為教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。理由是，觀點(diǎn)越高，事物越顯得簡(jiǎn)單。例如在實(shí)數(shù)域里不好理解的某些東西，從復(fù)數(shù)域的觀點(diǎn)看，就清楚了；在歐氏空間里某些不好解釋的現(xiàn)象，從射影空間的觀點(diǎn)看，就有滿意的說(shuō)明。下面分別舉兩個(gè)具體的例子。
克萊因指出，在中學(xué)，關(guān)于對(duì)數(shù)的傳統(tǒng)講法是有明顯漏洞的。他建議把對(duì)數(shù)函數(shù)作為等角雙曲線下的面積來(lái)引進(jìn)，既簡(jiǎn)單又明確。他又指出，在復(fù)數(shù)域里，對(duì)數(shù)是多值函數(shù)，作為實(shí)函數(shù)的對(duì)數(shù)只是其中無(wú)數(shù)多個(gè)值之一。所以，在復(fù)數(shù)域里，對(duì)數(shù)函數(shù)的本質(zhì)才看得清楚。我們的教師，無(wú)論是否愿意（或可能）采納克萊因所建議的引進(jìn)對(duì)數(shù)方式，有一點(diǎn)是可以肯定的：如果他了解作為復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)他講實(shí)數(shù)時(shí)，就會(huì)心中有數(shù)，有可能彌補(bǔ)漏洞，至少當(dāng)學(xué)生提出疑問(wèn)時(shí)，他能正確回答，應(yīng)付裕如。
通過(guò)變換群來(lái)闡明不同幾何的本質(zhì)及其相互關(guān)系，本是克萊因的偉大創(chuàng)見(jiàn)之一。《初等數(shù)學(xué)》用了很大篇幅來(lái)論述歐氏幾何、仿射幾何和射影幾何的關(guān)系。我認(rèn)為，中學(xué)幾何是歐氏幾何，但也涉及圖形的仿射性質(zhì)（如三角形的重心）和射影性質(zhì)（如三點(diǎn)共線）。如果教師能區(qū)別各種性質(zhì)，在教學(xué)中自然是有利的�？巳R因舉了一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明局限在歐氏空間就不好理解的現(xiàn)象：兩個(gè)二階曲面一般相交于一條四階曲線，但兩個(gè)球面（二階曲面）一般只相交于一個(gè)（實(shí)的或虛的）圓（二階曲線）。原來(lái)，從射影空間觀點(diǎn)看，可以認(rèn)為，兩個(gè)球面還相交于“無(wú)窮遠(yuǎn)虛圓”，而兩個(gè)圓在一起，恰好構(gòu)成一條（退化的）四階曲線。
教師應(yīng)是多面手
克萊因?qū)�教師的要求是很高的。《初等�?shù)學(xué)》涉及的面很廣。除正文4大部分外，還有兩個(gè)附錄：“數(shù)e和π的超越性”和“集合論”。每一大部分的寫法和通常寫法都很不相同，且其內(nèi)容有不少超出通常寫法的習(xí)慣范圍。例如在“算術(shù)”部分寫了四元數(shù)；在“幾何”部分寫了高維（以至無(wú)窮維）空間，并且隨時(shí)講到歷史和應(yīng)用。顯然，克萊因認(rèn)為，教師對(duì)這些都應(yīng)當(dāng)掌握或了解。他認(rèn)為，大學(xué)生學(xué)到的具體東西不少，而許多重要的，以及在中學(xué)任教中用得著的東西卻往往被忽視了�！冻醯葦�(shù)學(xué)》就著眼于彌補(bǔ)這些缺憾，揭示數(shù)學(xué)各部分之間的聯(lián)系，指出它們的共性，它們產(chǎn)生與成長(zhǎng)的內(nèi)因、外因和過(guò)程以及它們的應(yīng)用，等等�？巳R因認(rèn)為，教師掌握的知識(shí)要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過(guò)懸?guī)r，渡過(guò)險(xiǎn)灘。他喜歡用“融合”這個(gè)詞�！冻醯葦�(shù)學(xué)》也確實(shí)體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)同高等數(shù)學(xué)的融合，數(shù)學(xué)各部分的融合，幾何觀念和算術(shù)觀念在這里以及許多其他地方，“算術(shù)”是廣義的，用來(lái)表示純幾何的對(duì)立面，包括代數(shù)和分析。的融合，感性與理性的融合（甚至一維、二維、三維空間的融合），等等。可以認(rèn)為，全書(shū)是以上各種融合的融合。強(qiáng)調(diào)這一切，是為了使大學(xué)生和教師對(duì)數(shù)學(xué)有較全面的觀點(diǎn)，有較高的修養(yǎng)。
數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史
克萊因反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一個(gè)教育原則是按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律（包括年齡及成熟程度）進(jìn)行教學(xué)。具體地說(shuō)，要由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低到高，由感性到理性等。他講數(shù)學(xué)歷史，是因?yàn)�，他認(rèn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，在某種意義上，是與人類對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的歷史過(guò)程相應(yīng)的。當(dāng)然，這絕不是說(shuō)，學(xué)生的認(rèn)知要重復(fù)歷史上人類的認(rèn)知。
在講述數(shù)學(xué)的歷史時(shí)，克萊因強(qiáng)調(diào)對(duì)事物認(rèn)識(shí)深化的必然性（這不排除偶然性）。某些新概念的出現(xiàn)，是由于客觀條件已經(jīng)成熟而非產(chǎn)生不可。例如他指出，負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，是不以數(shù)學(xué)家的意志為轉(zhuǎn)移的。非歐幾何產(chǎn)生后，許多數(shù)學(xué)家是被迫承認(rèn)它的。微積分由粗糙到嚴(yán)格，有著艱辛的歷程。函數(shù)概念和幾何對(duì)象范疇等的演化，都有過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程。我以為，了解一些歷史是很有意義的；我們的課程往往分別構(gòu)成首尾完整的邏輯體系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中很難充分領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)是如何逐步成長(zhǎng)起來(lái)，它又將如何繼續(xù)發(fā)展。
公理體系
《初等數(shù)學(xué)》多處談到公理體系，特別是關(guān)于數(shù)的公理和幾何公理�？巳R因認(rèn)為，公理不能脫離直覺(jué)，不能排除人對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)。因而反對(duì)那樣一種觀點(diǎn)：認(rèn)為公理可以隨心所欲地選取，只要它們彼此相容，即不產(chǎn)生矛盾就可以了。他還認(rèn)為，不能按照公理體系進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)檫@首先不符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。邏輯不是數(shù)學(xué)教學(xué)中的唯一指導(dǎo)思想。此外，他還有一個(gè)更深刻的理由。他把數(shù)學(xué)比作一棵樹(shù)，公理比作樹(shù)的根，當(dāng)樹(shù)逐漸長(zhǎng)大時(shí)，軀干和枝葉向上長(zhǎng)，同時(shí)根也向下長(zhǎng)。因此既沒(méi)有最后的終點(diǎn)，也沒(méi)有最初的始點(diǎn)，即沒(méi)有進(jìn)行教學(xué)的絕對(duì)基礎(chǔ)。至于教師，之所以要了解公理對(duì)數(shù)學(xué)的作用和意義，則是和他對(duì)教師的要求一致的；公理體系在數(shù)學(xué)作為一個(gè)演繹的邏輯結(jié)構(gòu)中，畢竟占有極其重要的地位，不了解它就不能了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和全貌。而在教學(xué)中，教師固然要考慮大多數(shù)學(xué)生的興趣和接受能力，同時(shí)他又應(yīng)能滿足一些才華出眾的學(xué)生的求知欲望，適當(dāng)?shù)鼗卮鹚麄兛赡芴岢龅膯?wèn)題。
尺規(guī)作圖和費(fèi)馬大定理
這兩個(gè)問(wèn)題在《初等數(shù)學(xué)》中并不占重要位置，但克萊因?qū)λ鼈兊膸拙渚�辟議論，卻可以用來(lái)作為對(duì)我們?cè)S多青少年學(xué)生和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者的忠告�！冻醯葦�(shù)學(xué)》較詳細(xì)地討論了用圓規(guī)和直尺作圖問(wèn)題。在談到三等分角問(wèn)題即只用直尺和圓規(guī)把一個(gè)任意給定的角分為三等分的問(wèn)題，是所謂“幾何三大問(wèn)題”之一，另外兩個(gè)問(wèn)題是“化圓為方”和“倍立方”。它們是古老的課題，但早已證明都是不可能的。化圓為方問(wèn)題同圓周率的超越性有關(guān)，其他兩問(wèn)題之不可能是用算術(shù)方法來(lái)證明的。時(shí)，克萊因指出：許多人拿出自己的“解法”，希望別人指出錯(cuò)誤所在，但他們的知識(shí)基本上限于初等幾何，又不肯去了解利用算術(shù)方法早已作出的不可能性證明。為了使讀者對(duì)這種算術(shù)證明有所了解，以便當(dāng)他們接到送來(lái)的“解法”時(shí)，能站穩(wěn)腳跟，他給出了用直尺和圓規(guī)不可能作正七邊形的證明。
費(fèi)馬大定理最近幾年才有了重大突破，但尚未最后解決。費(fèi)馬大定理已由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯??懷爾斯于1994年證明�！�—編者《初等數(shù)學(xué)》對(duì)這個(gè)“定理”的含義有個(gè)十分有趣的圖解，對(duì)它的歷史直到克萊因時(shí)代的研究狀況有簡(jiǎn)明的介紹�？巳R因指出，自從1907年人們獲悉解答這問(wèn)題（即證明或否定費(fèi)馬大定理）的人會(huì)得到高額獎(jiǎng)金后，就出現(xiàn)了大量的“證明”。這些人屬于各行各業(yè)，但他們有一個(gè)共同點(diǎn)：完全不了解探索這個(gè)問(wèn)題所遇到的嚴(yán)重?cái)?shù)學(xué)困難，也不想去了解困難所在，只妄想靠突發(fā)的靈感就一下子加以解決。他們的結(jié)果當(dāng)然是毫無(wú)意義的。

（三）對(duì)我們的啟發(fā)

以上對(duì)《初等數(shù)學(xué)》的管窺蠡測(cè)，不求全面，但求無(wú)大錯(cuò)，可告無(wú)罪于該書(shū)作者和本文讀者。下面結(jié)合我國(guó)現(xiàn)狀，談幾點(diǎn)個(gè)人淺見(jiàn)，統(tǒng)請(qǐng)高明指教。
中學(xué)數(shù)學(xué)教師的提高方向
許多統(tǒng)計(jì)數(shù)字表明，我國(guó)中小學(xué)教師中有很大百分比沒(méi)有達(dá)到教育領(lǐng)導(dǎo)部門所規(guī)定的最低業(yè)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)。這里不談這些現(xiàn)象存在的根本原因（如教育投資長(zhǎng)期太少，教師待遇過(guò)低），只談教師提高的方向。我以為，拓廣教師的知識(shí)領(lǐng)域，提高他們的教學(xué)修養(yǎng)，是當(dāng)務(wù)之急。為此，一個(gè)非常重要的策略是，必須把教師從“題�！敝薪饷摮鰜�(lái)。不少教師抱怨，經(jīng)常要花大量時(shí)間和精力去搜集習(xí)題，把解題方法分類，編寫習(xí)題解答，等等，根本顧不上進(jìn)修。而不那樣做，四面八方又不諒解。教師的這種苦衷，了解的人恐怕不多。事實(shí)上，“題海戰(zhàn)術(shù)”對(duì)廣大學(xué)生也是利少弊多。用各種方式幫助現(xiàn)有中小學(xué)教師提高，高等學(xué)校有責(zé)任，也有余力。在中小學(xué)教師大半已達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)后，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)還應(yīng)有所提高。
初等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問(wèn)題
若干年前，許多國(guó)家進(jìn)行過(guò)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的研究和試驗(yàn)。現(xiàn)在談?wù)撍�的人似乎少些了。我以為，�?wèn)題不在于要不要現(xiàn)代化，而在于如何現(xiàn)代化。有一條原則是必須堅(jiān)持的，即要按學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)武裝中學(xué)教師，是初等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的前提。
大學(xué)數(shù)學(xué)系的任務(wù)
師范院校要面向中學(xué)的原則已經(jīng)定下來(lái)了，“向綜合大學(xué)看齊”的傾向也已經(jīng)改過(guò)來(lái)。其實(shí)，我以為，師范院校只要注意保持“師范”特色，綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系的課，師范院校也可以開(kāi)設(shè)。我說(shuō)的是“可以”，不是“全部必須”。因?yàn)橹袑W(xué)教師掌握這些課的內(nèi)容有好處。至于綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)生也可以（甚至必須）有一定比例到中學(xué)任教。那種認(rèn)為綜合大學(xué)畢業(yè)生到中學(xué)教書(shū)是“大材小用”的說(shuō)法，是站不住腳的。為什么大學(xué)生和研究生報(bào)名當(dāng)旅館服務(wù)員就不算“大材小用”？在許多國(guó)家，師范院校以外的大學(xué)畢業(yè)生還要通過(guò)教育課程的考試才能取得中學(xué)教師的資格呢。可見(jiàn)問(wèn)題的根本在于教師的待遇。
大學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革
大學(xué)數(shù)學(xué)教育也大有改革余地。例如必修課分量偏重，“上層建筑”要求偏高，基礎(chǔ)不全不牢等，都不利于人才的健康成長(zhǎng)；在大量招收研究生后更是如此。在這里，我只著重談?wù)剮缀涡蜗髥?wèn)題。許多數(shù)學(xué)大師都強(qiáng)調(diào)形與數(shù)的統(tǒng)一。希爾伯特說(shuō)過(guò)：“算術(shù)記號(hào)是寫下來(lái)的圖形，幾何圖形是畫(huà)下來(lái)的公式�！笨巳R因認(rèn)為，幾何基礎(chǔ)可能要以算術(shù)為起點(diǎn)，卻不能脫離幾何直觀；而且他講算術(shù)問(wèn)題時(shí)，總要結(jié)合幾何圖像。他們的觀點(diǎn)是完全一致的。問(wèn)題是，在我們的高等數(shù)學(xué)教育中，幾何形象被嚴(yán)重忽視了。作為基礎(chǔ)課的解析幾何已不能保持最低限度的分量。許多代數(shù)和分析課強(qiáng)調(diào)自我演繹體系，從邏輯和審美觀點(diǎn)看很好，缺點(diǎn)是形與數(shù)固有的內(nèi)在聯(lián)系割斷了。純幾何的演繹體系似乎已逐漸成為歷史，為幾何、算術(shù)、代數(shù)所取代，但也不能因此而拋棄幾何直覺(jué)。另一個(gè)問(wèn)題是，我們很少對(duì)學(xué)生介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史。在這兩方面，我認(rèn)為綜合大學(xué)有不少地方可以向師范院校學(xué)習(xí)。我們并不需要在綜合大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)恢復(fù)50年代作為必修課的幾何基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)史，但可以通過(guò)改革教學(xué)內(nèi)容和方法來(lái)達(dá)到加強(qiáng)幾何形象的目的。當(dāng)然，這涉及教師的培養(yǎng)與提高問(wèn)題。
善于數(shù)學(xué)的“熱門課題”
在我國(guó)青少年學(xué)生和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者中，“幾何三大問(wèn)題”（主要是三等分角問(wèn)題）和費(fèi)馬大定理（以及哥德巴赫問(wèn)題）都是（或曾經(jīng)是）“熱門課題”，但他們“研究”的質(zhì)量似乎比克萊因時(shí)代的德國(guó)還低。其實(shí)前者已證明為不可能，后者即使在數(shù)學(xué)界也只是“熱門話題”而不是“熱門課題”。它們?cè)谖覈?guó)某些人中之所以成為“熱門”，部分原因是他們片面理解“解放思想”，更重要的是我們宣傳教育不夠，我們希望教師們能做這些人的工作。對(duì)于執(zhí)著要搞這兩類問(wèn)題的人，在肯定其精神可嘉之余，要教育他們尊重科學(xué)，實(shí)事求是，適當(dāng)?shù)叵蛩麄儭皾娎渌�”；鼓�?lì)學(xué)生打好基礎(chǔ)，鼓勵(lì)業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者把精力和時(shí)間用于更能發(fā)揮自己專長(zhǎng)的地方。
一點(diǎn)希望
希望我國(guó)有更多人像克萊因那樣關(guān)心數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)與提高，關(guān)心數(shù)學(xué)教育改革，并為此做些實(shí)事。《初等數(shù)學(xué)》中譯版的現(xiàn)實(shí)意義就在于，它將促進(jìn)這兩方面工作的進(jìn)程。但是德文本出版已過(guò)了64年，英譯本出版也過(guò)了50年。現(xiàn)代數(shù)學(xué)已發(fā)生了極大變化，新成果、新概念、新觀點(diǎn)、新學(xué)科層出不窮。但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)與真理是永恒的，像克萊因那樣探索數(shù)學(xué)教育的規(guī)律，當(dāng)是一以貫之的。我們熱切希望我國(guó)高水平的數(shù)學(xué)多面手寫出更結(jié)合我國(guó)實(shí)際的、現(xiàn)代化的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》。這樣一本書(shū)出版，將是我國(guó)數(shù)學(xué)教育史上的一件大事。



1989年6月于南開(kāi)大學(xué)